初中数学同步训练必刷培优卷（北师大版七年级下册 4.2图形的全等）
一、选择题
1．（2024八上·靖宇期末）图中的小正方形边长都相等，若△MNP≌△MFQ，则点Q可能是图中的（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
2．（2023八上·禄劝期中）如图，（点A，B，C的对应点分别为D，E，F），若，，则的度数为（ ）
A．110° B．105° C．100° D．90°
3．（2023八上·聊城月考）如图所示，已知AB＝AC，AE＝AF，AE⊥EC于E，AF⊥BF于F，则图中全等的三角形共有（ ）
A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
4．（2023八上·师宗期中）如图，△ABC≌△DEF，若∠A=130°，∠FED=15°，则∠C等于 （ ）
A．15° B．25° C．35° D．45°
5．（2023八上·恩施期末）如图，已知点D在AC上，点B在AE上，，且∠BDA=∠A，若∠A：∠C=4：3．则∠DBC=（ ）
A．12° B．24° C．20° D．36°
6．（2023八上·正定期中）在和中，，，．已知，则（ ）
A．40° B．40°或140°
C．或 D．
7．（2021八上·铁锋期末）如图，已知在正方形中，厘米，，点E在边上，且厘米，如果点P在线段BC上以2厘米／秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动，设运动时间为t秒，当ΔBPE与ΔCQP全等时，t的值为（ ）
A．2 B．2或1.5 C．2.5 D．2.5或2
8．（2023八上·莒南月考）如图，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．（2024八上·大兴期末）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，那么的度数为 ．
10．（2020八上·泰兴月考）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2= .
11．（2023八上·献县月考）三个全等三角形按如图的形式摆放，则的度数是 .
12．（2020八上·麻城期中）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝60，E，F 分别为线段 AB 和射线 BD 上的一点，若点 E 从点 B 出发向点 A 运动，同时点 F 从点 B 出发向点 D 运动，二者速度之比为 3：7，运动到某时刻同时停止，在射线 AC 上取一点 G，使△AEG 与△BEF 全等，则 AG 的长为 .
三、解答题
13．（2023八上·涪城月考） 如图所示，已知于点，≌．
（1）若，，求的长．
（2）求证：．
14．（2023八上·涪城月考） 如图，、、三点在同一条直线上，且≌．
（1）若，，求；
（2）若，求．
15．（2024八上·交城期中）如图，△ABD≌△CAE，点A，D，E三点在一条直线上.
（1）求证：BD=CE+DE；
（2）当△ABD满足什么条件时，BD∥CE 请说明理由.
16．（2023八上·龙马潭月考）如图，AB＝8cm，∠A＝∠B＝60°，AC＝BD＝6cm，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上以xcm/s的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）．问：
（1）AP＝ ，BP＝ ，BQ＝ （用含x或t的代数式表示）；
（2）当运动时间t为何值时，△ACP与△BPQ全等．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：观察图象可知．
故答案为：D．
【分析】根据全等三角形的判定求解．
2．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵
∴
故答案为：A
【分析】根据全等三角形性质及三角形内角和定理即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】全等图形
【解析】【解答】根据题意可得，
△AEC≌△AFC ，△AGC≌△AHB，△AEG≌△AFH，△GOB≌△HOC，
故选：A.
【分析】根据已知条件并结合三角形的判定定理得出三角形全等的对数.
4．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：△ABC≌△DEF，
∠B=∠DEF=15°，
∠A＝130°，
∠C =180°-15°-130°=35°，
故答案为：C.
【分析】利用三角形全等的性质求得∠B=15°，结合已知条件利用三角形内角和定理即可求解.
5．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△DBE
∴∠ABC=∠DBE，∠C=∠E，∠A=∠BDE
设∠C=∠E=x，则∠A=∠BDE=∠BDA=x；
∴在三角形ADE中，∠A+∠ADE+∠E=180°，即x+x+x+x=180°，解得x=36°；
∴在三角形ABD中∠DBA=180°-×36°-×36°=84°
∴∠DBC=∠ABC-∠DBA=180°-∠A-∠C-∠DBA=180°-×36°-36°-84°=12°
故答案为：A.
【分析】根据三角形全等的性质，可得全等三角形对应角相等；根据三角形内角和定理，列一元一次方程，即可求出∠C的值以及∠DBA的值；根据角的运算，列代数式即可求解.
6．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】①当BC=B'C'时，△ABC≌△A'B'C'，如图所示：
∴∠C'=∠C=n°；
②当BC≠B'C'时，如图所示，
根据题意可得：A'C'=A'D'，
∴∠D'=∠A'C'D'=∠C=n°，
∴∠A'C'B'=180°-∠A'C'D'=180°-n°，
综上，∠C'的度数为或，
故答案为：C.
【分析】分类讨论：①当BC=B'C'时，②当BC≠B'C'时，再分别画出图象，再利用全等三角形的性质及角的运算分别求解即可.
7．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：①当点Q的运动速度与点P的运动速度都是2厘米/秒，若，，
∵厘米，厘米，
∴厘米，
∴厘米，
∴运动时间（秒）；
②当点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，
∴，
∵，
∴要使与全等，只要厘米，厘米即可．
∴点P，Q运动的时间（秒），
故答案为：D．
【分析】分两种情况：①当点Q的运动速度与点P的运动速度都是2厘米/秒，若，，②当点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，再利用全等三角形的性质求解即可。
8．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】①∵，∴AC=AF，∴①正确；
②∵，∴∠EAF=∠BAC，∴∠EAF-∠BAF=∠BAC-∠BAF，∴∠EAB=∠FAC，∴②正确；
③∵，∴EF=BC，∴③正确；
④∵，∴∠E=∠B，∵∠EAO=180°-∠E-∠AOE，∠BFO=180°-∠B-∠BOF，∠AOE=∠BOF，∴∠，∴④正确；
综上，正确的结论是①②③④，共4个，
故答案为：D.
【分析】利用全等三角形的性质逐项分析判断即可.
9．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：根据三角形内角和定理得a、c两条边的夹角为，
两个三角形全等，.
故答案为：.
【分析】先根据三角形内角和定理解得另一个角等于，再根据全等三角形的性质“全等三角形的对应角相等”即可得到.
10．【答案】45°
【知识点】全等图形
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意可得∠1=∠3，
则∠1+∠2=∠3+∠2=45°.
故答案为：45°.
【分析】直接利用网格得出对应角∠1=∠3，进而得出答案.
11．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1+∠5+∠9=180°
∠3+∠7+∠6=180°
∠2+∠4+∠8=180°
∴∠1+∠5+∠9+∠3+∠7+∠6+∠2+∠4+∠8=540°
∵∠6+∠9+∠8=180°
∴∠1+∠5+∠7+∠3+∠2+∠4=360°
∵三个全等的三角形
∴∠5+∠7+∠4=180°
∴∠1+∠2+∠3=180°
故填：180°
【分析】本题考查三角形全等的性质和三角形内角和定理。利用平角的性质可得出∠1+∠5+∠9=180°，∠3+∠7+∠6=180°，∠2+∠4+∠8=180°，三角形内角和定理可得出∠6+∠9+∠8=180°，∠5+∠7+∠4=180°，进而得出答案.
12．【答案】18或70
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：设BE=3t，则BF=7t，因为∠A=∠B=90°，使△AEG与△BEF全等，可分两种情况：
情况一：当BE=AG，BF=AE时，
∵BF=AE，AB=60，
∴7t=60-3t，
解得：t=6，
∴AG=BE=3t=3×6=18；
情况二：当BE=AE，BF=AG时，
∵BE=AE，AB=60，
∴3t=60-3t，
解得：t=10，
∴AG=BF=7t=7×10=70，
综上所述，AG=18或AG=70.
故答案为：18或70.
【分析】设BE=3t，则BF=7t，因为∠A=∠B=90°，使△AEG与△BEF全等，可分两种情况：①当BE=AG，BF=AE时，②当BE=AE，BF=AG时，据此分别建立方程进行解答即可.
13．【答案】（1）解：≌，
，
，
，
的长为；
（2）解：证明：，
，
，
≌，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的性质可得，再利用线段的和差及等量代换可得；
（2）利用全等三角形的性质可得，再利用角的运算求出，即可得到.
14．【答案】（1）解：≌，，，
，，
；
（2）解：，
，
≌，
，，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的性质可得 ，，再利用线段的和差求出DE的长即可；
（2）利用全等三角形的性质可得，，再利用角的运算和等量代换可得.
15．【答案】（1）证明：∵△ABD≌△CAE
∴BD=AE，AD=CE
∵AE=AD+DE
∴BD=CE+DE
（2）解：当△ABD满足∠ADB=90°时，BD∥CE
∵△ABD≌△CAE
∴∠ADB=∠CEA
∵∠ADB=90°
∴∠CEA=90°，∠BDE=90°
∴∠CEA=∠BDE
∴BD∥CE
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质
【解析】【分析】(1)根据全等三角形的性质知：BD=AE，AD=CE，等量代换即可证明.
(2)当BD∥CE时，∠BDE=∠AEC，再根据 △ABD≌△CAE 得到∠ADB=∠AEC，最后得到∠ADB=90°，即可求解.
16．【答案】（1）tcm；（8-t）cm；txcm
（2）解：当△ACP≌△BPQ时，AC＝BP，
∴8-t＝6，
∴t＝2；
当△ACP≌△BQP时，AP＝BP，
∴t＝4，
∴t＝2或t＝4时，△ACP与△BPQ全等．
【知识点】列式表示数量关系；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：（1）∵点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，
∴AP=tcm；
∵AB=8cm，
∴BP=(8-t)cm；
∵点Q在线段BD上以xcm/s的速度由点B向点D运动，
∴BQ=txcm.
故第1空答案为：tcm；故第2空答案为： （8-t）cm ；故第3空答案为： txcm 。
【分析】（1）首先根据运动的速度和时间得出AP=tcm；BQ=txcm；再根据AB=8cm，即可得出BP=（8-t）cm ；
（2） △ACP与△BPQ全等 ，可分为两种情况：①当△ACP≌△BPQ时，AC＝BP， 可得 8-t＝6， 可得 t＝2；当△ACP≌△BQP时，AP＝BP， 可得t=4，即可得出 t＝2或t＝4时，△ACP与△BPQ全等．
1 / 1初中数学同步训练必刷培优卷（北师大版七年级下册 4.2图形的全等）
一、选择题
1．（2024八上·靖宇期末）图中的小正方形边长都相等，若△MNP≌△MFQ，则点Q可能是图中的（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：观察图象可知．
故答案为：D．
【分析】根据全等三角形的判定求解．
2．（2023八上·禄劝期中）如图，（点A，B，C的对应点分别为D，E，F），若，，则的度数为（ ）
A．110° B．105° C．100° D．90°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵
∴
故答案为：A
【分析】根据全等三角形性质及三角形内角和定理即可求出答案.
3．（2023八上·聊城月考）如图所示，已知AB＝AC，AE＝AF，AE⊥EC于E，AF⊥BF于F，则图中全等的三角形共有（ ）
A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
【答案】A
【知识点】全等图形
【解析】【解答】根据题意可得，
△AEC≌△AFC ，△AGC≌△AHB，△AEG≌△AFH，△GOB≌△HOC，
故选：A.
【分析】根据已知条件并结合三角形的判定定理得出三角形全等的对数.
4．（2023八上·师宗期中）如图，△ABC≌△DEF，若∠A=130°，∠FED=15°，则∠C等于 （ ）
A．15° B．25° C．35° D．45°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：△ABC≌△DEF，
∠B=∠DEF=15°，
∠A＝130°，
∠C =180°-15°-130°=35°，
故答案为：C.
【分析】利用三角形全等的性质求得∠B=15°，结合已知条件利用三角形内角和定理即可求解.
5．（2023八上·恩施期末）如图，已知点D在AC上，点B在AE上，，且∠BDA=∠A，若∠A：∠C=4：3．则∠DBC=（ ）
A．12° B．24° C．20° D．36°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△DBE
∴∠ABC=∠DBE，∠C=∠E，∠A=∠BDE
设∠C=∠E=x，则∠A=∠BDE=∠BDA=x；
∴在三角形ADE中，∠A+∠ADE+∠E=180°，即x+x+x+x=180°，解得x=36°；
∴在三角形ABD中∠DBA=180°-×36°-×36°=84°
∴∠DBC=∠ABC-∠DBA=180°-∠A-∠C-∠DBA=180°-×36°-36°-84°=12°
故答案为：A.
【分析】根据三角形全等的性质，可得全等三角形对应角相等；根据三角形内角和定理，列一元一次方程，即可求出∠C的值以及∠DBA的值；根据角的运算，列代数式即可求解.
6．（2023八上·正定期中）在和中，，，．已知，则（ ）
A．40° B．40°或140°
C．或 D．
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】①当BC=B'C'时，△ABC≌△A'B'C'，如图所示：
∴∠C'=∠C=n°；
②当BC≠B'C'时，如图所示，
根据题意可得：A'C'=A'D'，
∴∠D'=∠A'C'D'=∠C=n°，
∴∠A'C'B'=180°-∠A'C'D'=180°-n°，
综上，∠C'的度数为或，
故答案为：C.
【分析】分类讨论：①当BC=B'C'时，②当BC≠B'C'时，再分别画出图象，再利用全等三角形的性质及角的运算分别求解即可.
7．（2021八上·铁锋期末）如图，已知在正方形中，厘米，，点E在边上，且厘米，如果点P在线段BC上以2厘米／秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动，设运动时间为t秒，当ΔBPE与ΔCQP全等时，t的值为（ ）
A．2 B．2或1.5 C．2.5 D．2.5或2
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：①当点Q的运动速度与点P的运动速度都是2厘米/秒，若，，
∵厘米，厘米，
∴厘米，
∴厘米，
∴运动时间（秒）；
②当点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，
∴，
∵，
∴要使与全等，只要厘米，厘米即可．
∴点P，Q运动的时间（秒），
故答案为：D．
【分析】分两种情况：①当点Q的运动速度与点P的运动速度都是2厘米/秒，若，，②当点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，再利用全等三角形的性质求解即可。
8．（2023八上·莒南月考）如图，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】①∵，∴AC=AF，∴①正确；
②∵，∴∠EAF=∠BAC，∴∠EAF-∠BAF=∠BAC-∠BAF，∴∠EAB=∠FAC，∴②正确；
③∵，∴EF=BC，∴③正确；
④∵，∴∠E=∠B，∵∠EAO=180°-∠E-∠AOE，∠BFO=180°-∠B-∠BOF，∠AOE=∠BOF，∴∠，∴④正确；
综上，正确的结论是①②③④，共4个，
故答案为：D.
【分析】利用全等三角形的性质逐项分析判断即可.
二、填空题
9．（2024八上·大兴期末）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，那么的度数为 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：根据三角形内角和定理得a、c两条边的夹角为，
两个三角形全等，.
故答案为：.
【分析】先根据三角形内角和定理解得另一个角等于，再根据全等三角形的性质“全等三角形的对应角相等”即可得到.
10．（2020八上·泰兴月考）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2= .
【答案】45°
【知识点】全等图形
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意可得∠1=∠3，
则∠1+∠2=∠3+∠2=45°.
故答案为：45°.
【分析】直接利用网格得出对应角∠1=∠3，进而得出答案.
11．（2023八上·献县月考）三个全等三角形按如图的形式摆放，则的度数是 .
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1+∠5+∠9=180°
∠3+∠7+∠6=180°
∠2+∠4+∠8=180°
∴∠1+∠5+∠9+∠3+∠7+∠6+∠2+∠4+∠8=540°
∵∠6+∠9+∠8=180°
∴∠1+∠5+∠7+∠3+∠2+∠4=360°
∵三个全等的三角形
∴∠5+∠7+∠4=180°
∴∠1+∠2+∠3=180°
故填：180°
【分析】本题考查三角形全等的性质和三角形内角和定理。利用平角的性质可得出∠1+∠5+∠9=180°，∠3+∠7+∠6=180°，∠2+∠4+∠8=180°，三角形内角和定理可得出∠6+∠9+∠8=180°，∠5+∠7+∠4=180°，进而得出答案.
12．（2020八上·麻城期中）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝60，E，F 分别为线段 AB 和射线 BD 上的一点，若点 E 从点 B 出发向点 A 运动，同时点 F 从点 B 出发向点 D 运动，二者速度之比为 3：7，运动到某时刻同时停止，在射线 AC 上取一点 G，使△AEG 与△BEF 全等，则 AG 的长为 .
【答案】18或70
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：设BE=3t，则BF=7t，因为∠A=∠B=90°，使△AEG与△BEF全等，可分两种情况：
情况一：当BE=AG，BF=AE时，
∵BF=AE，AB=60，
∴7t=60-3t，
解得：t=6，
∴AG=BE=3t=3×6=18；
情况二：当BE=AE，BF=AG时，
∵BE=AE，AB=60，
∴3t=60-3t，
解得：t=10，
∴AG=BF=7t=7×10=70，
综上所述，AG=18或AG=70.
故答案为：18或70.
【分析】设BE=3t，则BF=7t，因为∠A=∠B=90°，使△AEG与△BEF全等，可分两种情况：①当BE=AG，BF=AE时，②当BE=AE，BF=AG时，据此分别建立方程进行解答即可.
三、解答题
13．（2023八上·涪城月考） 如图所示，已知于点，≌．
（1）若，，求的长．
（2）求证：．
【答案】（1）解：≌，
，
，
，
的长为；
（2）解：证明：，
，
，
≌，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的性质可得，再利用线段的和差及等量代换可得；
（2）利用全等三角形的性质可得，再利用角的运算求出，即可得到.
14．（2023八上·涪城月考） 如图，、、三点在同一条直线上，且≌．
（1）若，，求；
（2）若，求．
【答案】（1）解：≌，，，
，，
；
（2）解：，
，
≌，
，，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的性质可得 ，，再利用线段的和差求出DE的长即可；
（2）利用全等三角形的性质可得，，再利用角的运算和等量代换可得.
15．（2024八上·交城期中）如图，△ABD≌△CAE，点A，D，E三点在一条直线上.
（1）求证：BD=CE+DE；
（2）当△ABD满足什么条件时，BD∥CE 请说明理由.
【答案】（1）证明：∵△ABD≌△CAE
∴BD=AE，AD=CE
∵AE=AD+DE
∴BD=CE+DE
（2）解：当△ABD满足∠ADB=90°时，BD∥CE
∵△ABD≌△CAE
∴∠ADB=∠CEA
∵∠ADB=90°
∴∠CEA=90°，∠BDE=90°
∴∠CEA=∠BDE
∴BD∥CE
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质
【解析】【分析】(1)根据全等三角形的性质知：BD=AE，AD=CE，等量代换即可证明.
(2)当BD∥CE时，∠BDE=∠AEC，再根据 △ABD≌△CAE 得到∠ADB=∠AEC，最后得到∠ADB=90°，即可求解.
16．（2023八上·龙马潭月考）如图，AB＝8cm，∠A＝∠B＝60°，AC＝BD＝6cm，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上以xcm/s的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）．问：
（1）AP＝ ，BP＝ ，BQ＝ （用含x或t的代数式表示）；
（2）当运动时间t为何值时，△ACP与△BPQ全等．
【答案】（1）tcm；（8-t）cm；txcm
（2）解：当△ACP≌△BPQ时，AC＝BP，
∴8-t＝6，
∴t＝2；
当△ACP≌△BQP时，AP＝BP，
∴t＝4，
∴t＝2或t＝4时，△ACP与△BPQ全等．
【知识点】列式表示数量关系；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：（1）∵点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，
∴AP=tcm；
∵AB=8cm，
∴BP=(8-t)cm；
∵点Q在线段BD上以xcm/s的速度由点B向点D运动，
∴BQ=txcm.
故第1空答案为：tcm；故第2空答案为： （8-t）cm ；故第3空答案为： txcm 。
【分析】（1）首先根据运动的速度和时间得出AP=tcm；BQ=txcm；再根据AB=8cm，即可得出BP=（8-t）cm ；
（2） △ACP与△BPQ全等 ，可分为两种情况：①当△ACP≌△BPQ时，AC＝BP， 可得 8-t＝6， 可得 t＝2；当△ACP≌△BQP时，AP＝BP， 可得t=4，即可得出 t＝2或t＝4时，△ACP与△BPQ全等．
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