初中数学同步训练必刷提高卷（北师大版七年级下册 4.3探索三角形全等的条件）
一、选择题
1．小明用同种材料制成的金属框架如图所示，已知∠B=∠E，AB=DE，BF=EC，其中框架△ABC的质量为840克，CF的质量为106克，则整个金属框架的质量为（ ）
A．734克 B．946克 C．1052克 D．1574克
2．（2023七下·商河期末） 如图，有一块三角形玻璃，小明不小心将它打破. 带上这块玻璃，能配成同样大小的一块，其理由是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023七下·雅安期末）如图，，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023七下·嘉定期末）如图，用直尺和圆规作出的角平分线，在作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020七下·密山期末）如图，AB＝AC，D，E分别是AB，AC上的点，下列条件不能判断△ABE≌△ACD的是（ ）
A．∠B＝∠C B．BE＝CD C．AD＝AE D．BD＝CE
6．已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：
①BD=CE；②∠ACE+∠DBC=45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC=180°．
其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2023七下·常熟期末）如图，点B，E，C，F在同一直线上，，，添加一个条件能判定的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023七下·新都期末）如图，已知，，在不加辅助线的情况下，增加下列4个条件中的一个：
①，②，③，④，
能使的条件的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．（2023七下·禅城期末）如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，，请添加一个条件，使得．添加的条件可以是 （只需写一个，不添加辅助线）；
10．（2023七下·蕉岭期末）如图，已知与交于点，，要使，添加一个你认为合适的条件为 ．
11．（2021七下·光明期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，且AD、BE的交于点F，若BF＝AC，CD=6，BD＝8，则线段AF的长度为 ．
12．（2023七下·萧县期末）如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF．给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③ACN≌ABM；④CD＝DN．其中符合题意结论的序号是 ．
三、作图题
13．（2023七下·宝安期末）如图，在中，是边上一点，是边上一点，连接.
（1）过点作的平行线，与的延长线交于点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若是的中点，求证：.
四、解答题
14．（2023七下·花溪月考）如图，已知△DEF的顶点E在△ABC的边BC上，F在BC的延长线上，且BE=CF，∠ABC=∠DEF，请你再添加一个条件，使得△ABC≌△DEF，并说明理由（不再添加其他线条和字母）
15．（2023七下·花溪月考）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=AC，E是BD上一点，且∠ABD=∠ACD，∠EAD=∠BAC.
（1） 试说明：AE=AD；
（2） 若BD=8，DC=5，求ED的长.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】∵∠B=∠E，AB=DE，∵BF=EC，∴BC=EF，∴△ABC≌△DEF，
∴整个金属框架的质量为840×2-106=1574克。
故答案为：D
【分析】根据已知条件用边角边可证△ABC≌△DEF，则整个金属框架的质量=框架△ABC的质量2-重合部分CF的质量即可。
2．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：由题意得带上这块玻璃，能配成同样大小的一块，其理由是，
故答案为：B
【分析】根据三角形全等的判定即可求解。
3．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】在△BEF和△DCF中，
，
∴，
∴A正确；
∵， ，
∴BF+CF=DF+FE，
即BC=DE，
∵，
∴∠B=∠D，
在△BCA和△DEA中，
，
∴，
∴B正确；
∵，
∴，
∴C正确；
综上，D选项没有条件可以证出是否正确，
故答案为：D.
【分析】利用全等三角形的判定方法和性质逐项判断即可.
4．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定（SSS）；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由作图过程知：OC=OD，CE=DE，又OE=OE，所以△OCE≌△ODE（SSS）。
故答案为：A.
【分析】根据作图过程知道，满足了两个三角形的三边对应相等，即可得出答案。
5．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A，∠B＝∠C 利用 ASA 即可说明 △ABE≌△ACD ，说法符合题意，故此选项不符合题意；
B，BE＝CD 不能说明 △ABE≌△ACD ，说法不符合题意，故此选项符合题意；
C，AD＝AE 利用 SAS 即可说明 △ABE≌△ACD ，说法符合题意，故此选项不符合题意；
D，BD＝CE 利用 SAS 即可说明 △ABE≌△ACD ，说法符合题意，故此选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据全等三角形的性质和判定即可求解．
6．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：①∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
∵在△BAD和△CAE中，，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，本选项正确；
②∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABD+∠DBC=45°，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∴∠ACE+∠DBC=45°，本选项正确；
③∵∠ABD+∠DBC=45°，
∴∠ACE+∠DBC=45°，
∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，
则BD⊥CE，本选项正确；
④∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAE+∠DAC=360°﹣90°﹣90°=180°，故此选项正确，
故选：D．
【分析】①由AB=AC，AD=AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形ABD与三角形AEC全等，由全等三角形的对应边相等得到BD=CE，本选项正确；
②由三角形ABD与三角形AEC全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC=45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC=45°，本选项正确；
③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE，本选项正确；
④利用周角减去两个直角可得答案．
7．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、∵
∴
在和中
∴，则本项符合题意；
B、∵，，
∵"SSA"无法证明三角形全等，则本项不符合题意；
C、∵，，，
∵"SSA"无法证明三角形全等，则本项不符合题意；
D、∵
∴，
∵，，
∵"SSA"无法证明三角形全等，则本项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据三角形全等的判定定理，逐项判断即可.
8．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠ACE=∠2+∠ACE，即∠ACB=∠ECD，
①∵CA=CD，∠ACB=∠ECD，BC=CE，
∴（SAS） ，故①符合题意；
②∵∠ACB=∠ECD，∠B=∠E，CA=CD，
∴（AAS） ，故②符合题意；
③由CA=CD，AB=DE，∠ACB=∠ECD，无法判断，故③不符合题意；
④∵∠A=∠D，CA=CD，∠ACB=∠ECD，
∴（ASA），故④符合题意；
故答案为：C.
【分析】三角形的判定方法：SAS，SSS，AAS，ASA，据此逐个判断即可.
9．【答案】（答案不唯一）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：添加：∠A=∠D，
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（ASA）
故答案为：∠A=∠D.
【分析】已知，， 欲使，可根据ASA、AAS、SAS进行添加即可.
10．【答案】（答案不唯一）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：在△AOC和△BOD中，OA=OB（已知），∠AOC=∠BOD（对顶角），
故若添加或∠A=∠B或∠C=∠D，均可判断 ，
故答案为：OC=OD.
【分析】根据题意，已知OA=OB，∠AOC=∠BOD，根据证明三角形全等的方法，①：(SAS)即需添加；②(ASA)即需添加∠A=∠B；③(AAS)即需添加∠C=∠D，即可填出答案.
11．【答案】2
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，
∴∠ADC=∠FDB=90°，∠AEB=90°，
∴∠1+∠C=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠C，
∵∠2=∠3，
∴∠3=∠C，
在△ADC和△BDF中，
，
∴△BDF≌△ADC（AAS），
∴FD=CD，AD=BD，
∵CD=6，BD=8，
∴AD=8，DF=6，
∴AF=8-6=2，
故答案为：2．
【分析】先用三角形全等的判定证明△BDF≌△ADC，再利用全等的性质求出 AF的长度
12．【答案】①②③
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】 ①由题意，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C 可得∠EAB＝∠FAC，两边同时减∠BAC ∴∠1＝∠2；② ABE和 ABF中，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF ，∴ ABE≌ ABF（AAS）∴BE＝CF
E＝ACF；③由②的结论可知，AB=AC；∠B＝∠C，∠CAB＝∠CAB，∴∠BMA＝∠CNA； ACN和 ABM中，同样根据AAS定理，判定 ACN≌ ABM；④现有条件下无法证明CD＝DN．
【分析】熟练掌握全等三角形的证明。
13．【答案】（1）解：如图，为所求
（2）证明：∵
∴，
∵是的中点，
∴
在和中
∴
∴
【知识点】作图-平行线；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据内错角相等，两直线平行，作一个角∠FAD=∠C，即可作出过点A与BC平行的直线.
（2）根据条件先证明，从而得到.
14．【答案】解：答案不唯一，如可添加条件：
∠A=∠D，理由如下：
因为 BE=CF，所以BE+EC=CF+EC，即 BC=EF
在△ABC 和△DEF中，
因为∠A=∠D，∠ABC=∠DEF，BC=EF
所以△ABC≌△DEF（AAS）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【分析】 可添加条件：∠A=∠D，由 BE=CF，可得BC=EF，再利用AAS即可证明△ABC≌△DEF .
15．【答案】（1）证明：因为∠BAC=∠EAD
所以∠BAC-∠EAC=∠EAD-∠EAC，即∠BAE=∠CAD
又因为 AB=AC，∠ABE=∠ACD
所以△ABE≌△ACD（ASA）
所以 AE=AD
（2）解：因为△ABE≌△ACD，所以 BE=CD
因为 BD=8，DC=5，所以 ED=BD-BE=BD-CD=8-5=3
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定（ASA）；线段的计算
【解析】【分析】（1） 根据 ∠BAC=∠EAD ，先证得 ∠BAE=∠CAD ，再利用ASA即可证得 △ABE≌△ACD，再根据全等三角形的性质即可得到 AE=AD ；
（2）由△ABE≌△ACD可得BE=CD，再利用线段的和差计算即可求得ED的长.
1 / 1初中数学同步训练必刷提高卷（北师大版七年级下册 4.3探索三角形全等的条件）
一、选择题
1．小明用同种材料制成的金属框架如图所示，已知∠B=∠E，AB=DE，BF=EC，其中框架△ABC的质量为840克，CF的质量为106克，则整个金属框架的质量为（ ）
A．734克 B．946克 C．1052克 D．1574克
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】∵∠B=∠E，AB=DE，∵BF=EC，∴BC=EF，∴△ABC≌△DEF，
∴整个金属框架的质量为840×2-106=1574克。
故答案为：D
【分析】根据已知条件用边角边可证△ABC≌△DEF，则整个金属框架的质量=框架△ABC的质量2-重合部分CF的质量即可。
2．（2023七下·商河期末） 如图，有一块三角形玻璃，小明不小心将它打破. 带上这块玻璃，能配成同样大小的一块，其理由是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：由题意得带上这块玻璃，能配成同样大小的一块，其理由是，
故答案为：B
【分析】根据三角形全等的判定即可求解。
3．（2023七下·雅安期末）如图，，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】在△BEF和△DCF中，
，
∴，
∴A正确；
∵， ，
∴BF+CF=DF+FE，
即BC=DE，
∵，
∴∠B=∠D，
在△BCA和△DEA中，
，
∴，
∴B正确；
∵，
∴，
∴C正确；
综上，D选项没有条件可以证出是否正确，
故答案为：D.
【分析】利用全等三角形的判定方法和性质逐项判断即可.
4．（2023七下·嘉定期末）如图，用直尺和圆规作出的角平分线，在作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定（SSS）；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由作图过程知：OC=OD，CE=DE，又OE=OE，所以△OCE≌△ODE（SSS）。
故答案为：A.
【分析】根据作图过程知道，满足了两个三角形的三边对应相等，即可得出答案。
5．（2020七下·密山期末）如图，AB＝AC，D，E分别是AB，AC上的点，下列条件不能判断△ABE≌△ACD的是（ ）
A．∠B＝∠C B．BE＝CD C．AD＝AE D．BD＝CE
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A，∠B＝∠C 利用 ASA 即可说明 △ABE≌△ACD ，说法符合题意，故此选项不符合题意；
B，BE＝CD 不能说明 △ABE≌△ACD ，说法不符合题意，故此选项符合题意；
C，AD＝AE 利用 SAS 即可说明 △ABE≌△ACD ，说法符合题意，故此选项不符合题意；
D，BD＝CE 利用 SAS 即可说明 △ABE≌△ACD ，说法符合题意，故此选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据全等三角形的性质和判定即可求解．
6．已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：
①BD=CE；②∠ACE+∠DBC=45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC=180°．
其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：①∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
∵在△BAD和△CAE中，，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，本选项正确；
②∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABD+∠DBC=45°，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∴∠ACE+∠DBC=45°，本选项正确；
③∵∠ABD+∠DBC=45°，
∴∠ACE+∠DBC=45°，
∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，
则BD⊥CE，本选项正确；
④∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAE+∠DAC=360°﹣90°﹣90°=180°，故此选项正确，
故选：D．
【分析】①由AB=AC，AD=AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形ABD与三角形AEC全等，由全等三角形的对应边相等得到BD=CE，本选项正确；
②由三角形ABD与三角形AEC全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC=45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC=45°，本选项正确；
③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE，本选项正确；
④利用周角减去两个直角可得答案．
7．（2023七下·常熟期末）如图，点B，E，C，F在同一直线上，，，添加一个条件能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、∵
∴
在和中
∴，则本项符合题意；
B、∵，，
∵"SSA"无法证明三角形全等，则本项不符合题意；
C、∵，，，
∵"SSA"无法证明三角形全等，则本项不符合题意；
D、∵
∴，
∵，，
∵"SSA"无法证明三角形全等，则本项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据三角形全等的判定定理，逐项判断即可.
8．（2023七下·新都期末）如图，已知，，在不加辅助线的情况下，增加下列4个条件中的一个：
①，②，③，④，
能使的条件的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠ACE=∠2+∠ACE，即∠ACB=∠ECD，
①∵CA=CD，∠ACB=∠ECD，BC=CE，
∴（SAS） ，故①符合题意；
②∵∠ACB=∠ECD，∠B=∠E，CA=CD，
∴（AAS） ，故②符合题意；
③由CA=CD，AB=DE，∠ACB=∠ECD，无法判断，故③不符合题意；
④∵∠A=∠D，CA=CD，∠ACB=∠ECD，
∴（ASA），故④符合题意；
故答案为：C.
【分析】三角形的判定方法：SAS，SSS，AAS，ASA，据此逐个判断即可.
二、填空题
9．（2023七下·禅城期末）如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，，请添加一个条件，使得．添加的条件可以是 （只需写一个，不添加辅助线）；
【答案】（答案不唯一）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：添加：∠A=∠D，
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（ASA）
故答案为：∠A=∠D.
【分析】已知，， 欲使，可根据ASA、AAS、SAS进行添加即可.
10．（2023七下·蕉岭期末）如图，已知与交于点，，要使，添加一个你认为合适的条件为 ．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：在△AOC和△BOD中，OA=OB（已知），∠AOC=∠BOD（对顶角），
故若添加或∠A=∠B或∠C=∠D，均可判断 ，
故答案为：OC=OD.
【分析】根据题意，已知OA=OB，∠AOC=∠BOD，根据证明三角形全等的方法，①：(SAS)即需添加；②(ASA)即需添加∠A=∠B；③(AAS)即需添加∠C=∠D，即可填出答案.
11．（2021七下·光明期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，且AD、BE的交于点F，若BF＝AC，CD=6，BD＝8，则线段AF的长度为 ．
【答案】2
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，
∴∠ADC=∠FDB=90°，∠AEB=90°，
∴∠1+∠C=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠C，
∵∠2=∠3，
∴∠3=∠C，
在△ADC和△BDF中，
，
∴△BDF≌△ADC（AAS），
∴FD=CD，AD=BD，
∵CD=6，BD=8，
∴AD=8，DF=6，
∴AF=8-6=2，
故答案为：2．
【分析】先用三角形全等的判定证明△BDF≌△ADC，再利用全等的性质求出 AF的长度
12．（2023七下·萧县期末）如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF．给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③ACN≌ABM；④CD＝DN．其中符合题意结论的序号是 ．
【答案】①②③
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】 ①由题意，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C 可得∠EAB＝∠FAC，两边同时减∠BAC ∴∠1＝∠2；② ABE和 ABF中，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF ，∴ ABE≌ ABF（AAS）∴BE＝CF
E＝ACF；③由②的结论可知，AB=AC；∠B＝∠C，∠CAB＝∠CAB，∴∠BMA＝∠CNA； ACN和 ABM中，同样根据AAS定理，判定 ACN≌ ABM；④现有条件下无法证明CD＝DN．
【分析】熟练掌握全等三角形的证明。
三、作图题
13．（2023七下·宝安期末）如图，在中，是边上一点，是边上一点，连接.
（1）过点作的平行线，与的延长线交于点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若是的中点，求证：.
【答案】（1）解：如图，为所求
（2）证明：∵
∴，
∵是的中点，
∴
在和中
∴
∴
【知识点】作图-平行线；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据内错角相等，两直线平行，作一个角∠FAD=∠C，即可作出过点A与BC平行的直线.
（2）根据条件先证明，从而得到.
四、解答题
14．（2023七下·花溪月考）如图，已知△DEF的顶点E在△ABC的边BC上，F在BC的延长线上，且BE=CF，∠ABC=∠DEF，请你再添加一个条件，使得△ABC≌△DEF，并说明理由（不再添加其他线条和字母）
【答案】解：答案不唯一，如可添加条件：
∠A=∠D，理由如下：
因为 BE=CF，所以BE+EC=CF+EC，即 BC=EF
在△ABC 和△DEF中，
因为∠A=∠D，∠ABC=∠DEF，BC=EF
所以△ABC≌△DEF（AAS）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【分析】 可添加条件：∠A=∠D，由 BE=CF，可得BC=EF，再利用AAS即可证明△ABC≌△DEF .
15．（2023七下·花溪月考）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=AC，E是BD上一点，且∠ABD=∠ACD，∠EAD=∠BAC.
（1） 试说明：AE=AD；
（2） 若BD=8，DC=5，求ED的长.
【答案】（1）证明：因为∠BAC=∠EAD
所以∠BAC-∠EAC=∠EAD-∠EAC，即∠BAE=∠CAD
又因为 AB=AC，∠ABE=∠ACD
所以△ABE≌△ACD（ASA）
所以 AE=AD
（2）解：因为△ABE≌△ACD，所以 BE=CD
因为 BD=8，DC=5，所以 ED=BD-BE=BD-CD=8-5=3
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定（ASA）；线段的计算
【解析】【分析】（1） 根据 ∠BAC=∠EAD ，先证得 ∠BAE=∠CAD ，再利用ASA即可证得 △ABE≌△ACD，再根据全等三角形的性质即可得到 AE=AD ；
（2）由△ABE≌△ACD可得BE=CD，再利用线段的和差计算即可求得ED的长.
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