初中数学同步训练必刷培优卷（北师大版七年级下册 4.3探索三角形全等的条件）
一、选择题
1．（2024八上·新昌期末）如图，在和中，B，E，C，F在同一条直线上．下面给出5个论断：①，②，③，④，⑤．选其中3个作为条件，不能判定的是（ ）．
A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．①②④
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、①②③
∵BE=CF，
∴BE+CE=CF+CE，即BC=EF.
又∵AB=DE，AC=DF，
∴，A可以判定，不符合题意；
B、②③④
∵BE=CF，
∴BE+CE=CF+CE，即BC=EF.
又∵∠ACB=∠DFE，AC=DF，
∴，B可以判定，不符合题意；
C、③④⑤
∵∠ACB=∠DFE，AC=DF，∠A=∠D，
∴，C可以判定，不符合题意；
D、①②④
∵BE=CF，
∴BE+CE=CF+CE，即BC=EF.
当AB=DE，BC=EF，∠A=∠D，∠A和∠D分别是BC和EF的对角，所以不能判定两个三角形全等，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据全等三角形的判定定理判定即可.
2．（2024八上·关岭期末）如图，用直尺和圆规过直线l外一点P作直线l的平行线，能得出的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；作图-平行线；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】如图所示：
根据作图过程可知：OA=OB=PC=PD，AB=CD，
∴△PCD≌△OAB（SSS），
∴，
故答案为：D.
【分析】根据作图步骤可得OA=OB=PC=PD，AB=CD，再利用“SSS”证出△PCD≌△OAB即可.
3．（2024八上·遵义期末）如图，已知AB＝AD，AC＝AE，要使△ABC≌△ADE，则可以添加下列哪一个条件（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠B＝∠D
C．∠C＝∠E D．∠BAC＝∠DAC
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】A、∵∠1=∠2，∴∠BAC=∠DAE，∵AB=AD，AC=AE，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴A符合题意；
B、∵∠B=∠D，AB=AD，AC=AE，无法证出△ABC≌△ADE，∴B不符合题意；
C、∵∠C=∠E，AB=AD，AC=AE，无法证出△ABC≌△ADE，∴C不符合题意；
D、∵∠BAC=∠DAC，AB=AD，AC=AE，无法证出△ABC≌△ADE，∴D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用全等三角形的判定方法逐项分析判断即可.
4．（2024八上·黄石港期末）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②PF＝PA；③AH+BD＝AB；④S四边形ABDE＝S△ABP，其中正确的是（ ）
A．①③ B．①②④ C．①②③ D．②③
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=180°-∠ACB=90°，
∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∴，，
∴，
∴∠APB=180°-∠BAD-∠ABE=135°，①正确；
∴∠BPD=180°-∠APB=45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠APH=∠FPD=90°，
∴∠FPB=∠FPD+∠BPD=135°，
∴∠APB=∠FPB，
∵∠ABP=∠FBP，BP=BP，∠APB=∠FPB，
∴△ABP≌△FBP，
∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，②正确；
∵∠DAB=∠CAD，
∴∠PAH=∠BFP，
∵∠APH=∠FPD，PA=PF，∠PAH=∠BFP，
∴△APH≌△FPD，
∴AH=FD，
又∵AB=FB，
∴AB=FD+BD=AH+BD；③正确；
连接HD，ED，如图：
∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，
∴S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD，
∵∠HPD=90°，PH=PD，
∴∠HDP=∠DHP=45°
∴∠HDP=∠BPD，
∴HD∥EP，
∴S△EPH=S△EPD，
∵S四边形ABDE=S△ABP+S△AEP+S△EPD+S△PBD
=S△ABP+（S△AEP+S△EPH）+S△PBD
=S△ABP+S△APH+S△PBD
=S△ABP+S△FPD+S△PBD
=S△ABP+S△FBP
=2S△ABP，④不正确；
故正确的有①②③；
故答案为：C.
【分析】根据三角形的内角和是180°可得∠BAC+∠ABC=90°，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线和三角形的内角和是180°可得∠BPD=45°，求得∠FPB=135°，判断①正确，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等，对应角相等可得∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，判断②正确，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等，对应角相等可得AH=FD，等量代换可判断③正确，连接HD，ED，根据全等三角形的面积相等，对应边相等可得S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD，根据等边对等角和三角形的内角和是180°可推得∠HDP=∠BPD，根据内错角相等，两直线平行可得HD∥EP，根据平行线之间的距离处出相等可得S△EPH=S△EPD，等量代换可判断④不正确，即可得出答案.
5．如图所示的4×4正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=（ ）
A．330° B．315° C．310° D．320°
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【分析】根据正方形的轴对称性得∠1+∠7=90°，∠2+∠6=90°，∠3+∠5=90°，∠4=45°．
【解答】由图可知，∠1所在的三角形与∠7所在的三角形全等，
所以∠1+∠7=90°．
同理得，∠2+∠6=90°，∠3+∠5=90°．
又∠4=45°，
所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=315°．
故答案为：B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，全等三角形的对应角相等．发现并利用全等三角形是解决本题的关键
6．（2023八上·张湾期中）如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝30°，如图，连接AC，BD交于点M，AC与OD相交于E，BD与OA相交于F，连接OM．则下列结论中：①AC＝BD；②∠AMB＝30°；③△OEM≌△OFM；④MO平分∠BMC．正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵ ∠ AOB=∠COD=30°，
∴ ∠AOC=∠BOD，
∵ OA=OB，OC=OD，
∴ △AOC≌△BOD（SAS），
∴ AC=BD，故 ① 正确；
∴ ∠OAC=∠OBD，
∵ ∠AFM=∠BFO，
∴ ∠AMB=∠AOB=30°，故 ② 正确；
∵ OA＞OC，
∴ ∠OCA＞∠OAC，
∵ ∠OEM=∠OCA+∠COD=∠OCA+30°，∠OFM=∠OBD+∠AOB=∠OAC+30°，
∴ ∠OEM＞∠OFM，
∴ △OEM与△OFM不可能全等，故 ③ 错误；
∵ △AOC≌△BOD，
∴ AC边上的高=BD边上的高，
∴ MO平分∠BMC，故 ④ 正确.
故答案为：C.
【分析】依据SAS判定 △AOC≌△BOD推出AC=BD，即可判断 ①；根据全等三角形的性质得∠OAC=∠OBD，再根据三角形内角和定理得到∠AMB=∠AOB，即可判断② ；根据OA＞OC得到∠OCA＞∠OAC，再外角的性质可得∠OEM＞∠OFM，即可判断③；再全等三角形的性质可得AC边上的高=BD边上的高，再根据角平分线的判定即可判断 ④ .
7．（2023八上·吴兴期中）如图，AB＝AD，∠BAD＝140°，AB⊥CB于点B，AD⊥CD于点D，E、F分别是CB、CD上的点，且∠EAF＝70°，下列结论中①DF＝BE，②△ADF≌△ABE，③FA平分∠DFE，④EF平分∠AEC，⑤BE+DF＝EF．其中正确的结论是（ ）
A．④⑤ B．①② C．③⑤ D．①②③
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的概念
【解析】【解答】解：延长EB到点G，使BG=DF，连接AG，
∵AB⊥CB，AD⊥CD，
∴∠D=∠ABG=90°.
∵AD=AB，
∴△ADF≌△ABG（HL），
∴AF=AG，∠DFA=∠G，∠DAF=∠BAG.
∵∠EAF=70°，∠BAD=140°，
∴∠DAF+∠EAB=∠DAB-∠EAF=70°，
∴∠GAE=∠EAB+∠BAG=70°，
∴∠EAF=∠GAE=70°.
∵AE=AE，
∴△FAE≌△GAE（SAS），
∴∠FEA=∠GEA，∠EFA=∠G，EF=EG，
∴EF=BE+DF，∠FAE=∠EAB，∠DFA=∠EFA，即FA平分∠DFE，③正确，④错误，⑤正确.
根据条件不能推出DF=BE，△ADF ≌△ABE ，故①②错误.
综上可得：③⑤正确.
故答案为：C.
【分析】延长EB到点G，使BG=DF，连接AG，利用HL证明△ADF≌△ABG，得到AF=AG，∠DFA=∠G，∠DAF=∠BAG，由角的和差关系可推出∠EAF=∠GAE=70°，利用SAS证明△FAE≌△GAE，得到∠FEA=∠GEA，∠EFA=∠G，EF=EG，据此判断.
8．（2023七下·香坊期末）如图，在中，，，是角平分线，于点，交于点，过点作于点，下列结论：①；②；③；④.其中正确的有（ ）个.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵是角平分线 .
∴.
又∵于点.
∴.
∴.
∴BF=EF，AB=AE.故①正确.
又∵.
∴AE=CE.
∵.
∴∠G=∠AFE=90°.
∴.
∴AF=CG，故②正确.
在中，， .
∴∠ACB=30°，∠CAB=60°.
∴∠DAC=∠ACD.
∴AD=CD，故③正确.
∠AEB=∠ADB=60°，故④正确.
故答案为：D.
【分析】 ① 只需证； ② 只需证； ③ 只需证∠DAC=∠ACD； ④ 求出其角度即可.
二、填空题
9．（2021八上·长沙开学考）在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是 .
【答案】9＜AB＜19
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：延长AD到E，使DE=AD，连接BE.
在△ADC和△EDB中，
∵AD=DE，∠ADC=∠BDE，CD=BD，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC=BE（全等三角形的对应边相等）.
∵AC=5，AD=7，
∴BE=5，AE=14.
在△ABE中，AE-BE＜AB＜AE+BE，
∴AB边的取值范围是：9＜AB＜19.
故答案为9＜AB＜19.
【分析】延长AD到E，使DE=AD，连接BE，利用SAS证明△ADC≌△EDB，则可得出AC=BE，由于AE和BE的长已知，根据三角形三边的关系即可求出AB的范围.
10．如图，在△ABC中，CB>CA，∠BAC=80°，D为AB上一点，满足CB-CA=BD，I为△ABC三条角平分线的交点连接ID，则∠IDA= .
【答案】40°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，在CB上取点A，使得CA1=CA．连接IA1、IA、A1D、CI、BI．
则BD=BA1．易证△ACI≌△A1CI，△A1BI≌△DBI，故AI=A1I= DI，
∴∠IDA =∠IAD=∠DAC=40°．
故答案为：40°.
【分析】由 CB-CA=BD ，联想到在CB上取点A，使得CA1=CA，由 I为△ABC三条角平分线的交点 联想到连接AI、BI、CI.由此容易证得△A1CI≌△ACI，△ABI≌△DBI，所以AI=A1I= DI，∠IDA =∠IAD=∠DAC=40°．
11．（2023八上·邛崃月考）如图，、、、为四个全等的直角三角形，与、、分别交于点、、，且满足，则两个阴影部分的面积和与四边形面积的比值为 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的判定；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：根据题意，∵四个直角三角形全等，
∴BF=CG=DH=AE，BG=GH=DE=AF，
∴FG=GH=HE=EF，
∴四边形EFGH为正方形，
∵四个直角三角形全等，
∴AB=BC=CD=DA，BAF=CBG，
∵BAF+ABF=90°，
∴ABF+CBG=90°，即ABC=90°，
∴四边形ABCDC为正方形，
∵DN=DC，
∴DN=AD，
∵ED⊥AF，
∴AE=EN，同理可得，MG=CG，
∴BF=CG=MG=DH=AE=EN，
设BF=CG=MG=DH=AE=EN=a，EF=FG=GH=HE=b，
则DE=DH+EH=a+b，NF=EF-EN=b-a，
∵DE⊥AF，BF⊥AF，
∴DE∥BF，
∴=，
∴=，b2=2a2，
∵a＞0，b＞0，
∴b=a，
∴DE=（+1）a，
∴AD2=AE2+DE2=a2+[（+1）a]2=（4+2）a2，
∴正方形ABCD的面积=AD2=（4+2）a2，
S阴影=S△ABN+S△DMC=2a2，
∴两个阴影的面积与四边形ABCD的面积的比为=；
故答案为：.
【分析】 利用全等三角形的性质，得到四边形ABCD和四边形EFGH 为正方形，利用等腰三角形的性质可得AE=EN，MG=GC，设BF=CG=MG=DH=AE=EN=a，EF=FG=GH=HE=b，则DE=DH+EH=a+b，NF=EF-EN=b-a，利用平行线分线段成比例定理得到b=a， 再利用三角形的面积公式和正方形的面积公式分别计算两个阴影部分的面积和与四边形ABCD面积，则结论可得．
12．（2023八上·开福期中）如图，已知四边形ABCD中，AB=10cm，BC=8cm，CD=12cm，∠B=∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度沿B-C-B运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 cm/s时，能够使△BPE与△CQP全等．
【答案】或3或或
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：设点P的运动时间为ts，可分为以下几种情况：
（1）当点P没有到达点C时，BP=3t，CP=8-3t，可分为两种情况：
①BE=CP时，可得5=8-3t，解得t=1，此时CQ=BP=3t=3，
∴点Q的运动速度为 ：3÷1=3；
②BP=CP时，可得3t=8-3t，解得：t=，此时CQ=BE=5，
∴点Q的运动速度为 ：5÷=；
（2）当点P从点C返回点B时，CP=3t-8，BP=16-3t，可分为两种情况：
①BE=CP时，可得3t-8=5，解得t=，此时CQ=BP=16-3t=16-3×=3，
∴点Q的运动速度为 ：3÷=；
②BP=CP时，可得16-3t=3t-8，解得：t=4，此时CQ=BE=5，
∴点Q的运动速度为 ：5÷4=；
综上可得，点Q的运动速度为 ：3或或或。
【分析】设点P的运动时间为ts，可分为以下几种情况：
（1）当点P没有到达点C时，BP=3t，CP=8-3t，可分为两种情况：①BE=CP时；②BP=CP时；
（2）当点P从点C返回点B时，CP=3t-8，BP=16-3，可分为两种情况：①BE=CP时；②BP=CP时；
分别列出等式，即可求得答案。
三、解答题
13．（2023八上·肇庆月考）五边形ABCDE的对角线AC、AD分别平分和，若，试证明：.
【答案】证明：在CD上取CF=BC，连接AF.
∵
∴
∵AC分别平分
∴
在与中，
∴
∴
同理可证：
∴，
∴ .
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】在CD上取CF=BC，连接AF，由SAS先证明△BCA≌△FCA，利用全等三角形性质得AB=AF ，同理可证△ADF≌△ADE，得AE=AF，即可得到结论.
14．（2023八上·大化期中）如图，过△ABC的顶点A作AF⊥AB，且AF=AB，再作AH⊥AC，且AH=AC，BH交AC于E，CF交AB于D，BH与CF相交于点O．
求证：
（1）HB＝CF；
（2）HB⊥CF．
【答案】（1）证明：∵AF⊥AB，AH⊥AC，
∴∠HAC＝∠BAF＝90°，
∴∠HAC+∠BAC＝∠BAF+∠BAC，
即∠BAH＝∠CAF．
在△HAB和△CAF中，
∴△HAB≌△CAF（SAS），
∴HB＝CF，∠B＝∠F．
（2）证明：在△AFD和△BOD中，
∠B＝∠F，∠ODB＝∠ADF，
∴∠DOB＝∠FAD，即HB⊥CF．
【知识点】角的运算；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得到：进而利用"SAS"证明即可求解；
（2）根据全等的性质得到：根据对顶角相等得到：易知：即可求证.
15．（2024八上·双牌期末） [阅读理解]课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，在中，若，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到点E，使，连结BE，请根据小明的方法思考：
图1 图2 图3
（1）由已知和作图能得到，其理由是什么？
（2）求AD的取值范围．
（3）如图3，AD是的中线，BE交AC于点F，且，试说明．
【答案】（1）解：由已知和作图能得到，因为：
AD是BC边上的中线，所以D为BC的中点，因此
所以，
（2）解：因为，所以，
在三角形ABE中，根据三边关系可知
，因此：，
所以，AD的取值范围为：．
（3）解：延长AD到M点，使得，
由题意可知
所以，
所以，
又因为
所以，
所以，．
【知识点】三角形三边关系；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】 （1）利用“SAS”证出即可；
（2）利用三角形三边的关系可得，再将数据代入求出即可；
（3）延长AD到M点，使得，先利用“SAS”证出，可得，再利用等角对等边的性质可得.
1 / 1初中数学同步训练必刷培优卷（北师大版七年级下册 4.3探索三角形全等的条件）
一、选择题
1．（2024八上·新昌期末）如图，在和中，B，E，C，F在同一条直线上．下面给出5个论断：①，②，③，④，⑤．选其中3个作为条件，不能判定的是（ ）．
A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．①②④
2．（2024八上·关岭期末）如图，用直尺和圆规过直线l外一点P作直线l的平行线，能得出的依据是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八上·遵义期末）如图，已知AB＝AD，AC＝AE，要使△ABC≌△ADE，则可以添加下列哪一个条件（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠B＝∠D
C．∠C＝∠E D．∠BAC＝∠DAC
4．（2024八上·黄石港期末）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②PF＝PA；③AH+BD＝AB；④S四边形ABDE＝S△ABP，其中正确的是（ ）
A．①③ B．①②④ C．①②③ D．②③
5．如图所示的4×4正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=（ ）
A．330° B．315° C．310° D．320°
6．（2023八上·张湾期中）如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝30°，如图，连接AC，BD交于点M，AC与OD相交于E，BD与OA相交于F，连接OM．则下列结论中：①AC＝BD；②∠AMB＝30°；③△OEM≌△OFM；④MO平分∠BMC．正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2023八上·吴兴期中）如图，AB＝AD，∠BAD＝140°，AB⊥CB于点B，AD⊥CD于点D，E、F分别是CB、CD上的点，且∠EAF＝70°，下列结论中①DF＝BE，②△ADF≌△ABE，③FA平分∠DFE，④EF平分∠AEC，⑤BE+DF＝EF．其中正确的结论是（ ）
A．④⑤ B．①② C．③⑤ D．①②③
8．（2023七下·香坊期末）如图，在中，，，是角平分线，于点，交于点，过点作于点，下列结论：①；②；③；④.其中正确的有（ ）个.
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．（2021八上·长沙开学考）在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是 .
10．如图，在△ABC中，CB>CA，∠BAC=80°，D为AB上一点，满足CB-CA=BD，I为△ABC三条角平分线的交点连接ID，则∠IDA= .
11．（2023八上·邛崃月考）如图，、、、为四个全等的直角三角形，与、、分别交于点、、，且满足，则两个阴影部分的面积和与四边形面积的比值为 ．
12．（2023八上·开福期中）如图，已知四边形ABCD中，AB=10cm，BC=8cm，CD=12cm，∠B=∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度沿B-C-B运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 cm/s时，能够使△BPE与△CQP全等．
三、解答题
13．（2023八上·肇庆月考）五边形ABCDE的对角线AC、AD分别平分和，若，试证明：.
14．（2023八上·大化期中）如图，过△ABC的顶点A作AF⊥AB，且AF=AB，再作AH⊥AC，且AH=AC，BH交AC于E，CF交AB于D，BH与CF相交于点O．
求证：
（1）HB＝CF；
（2）HB⊥CF．
15．（2024八上·双牌期末） [阅读理解]课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，在中，若，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到点E，使，连结BE，请根据小明的方法思考：
图1 图2 图3
（1）由已知和作图能得到，其理由是什么？
（2）求AD的取值范围．
（3）如图3，AD是的中线，BE交AC于点F，且，试说明．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、①②③
∵BE=CF，
∴BE+CE=CF+CE，即BC=EF.
又∵AB=DE，AC=DF，
∴，A可以判定，不符合题意；
B、②③④
∵BE=CF，
∴BE+CE=CF+CE，即BC=EF.
又∵∠ACB=∠DFE，AC=DF，
∴，B可以判定，不符合题意；
C、③④⑤
∵∠ACB=∠DFE，AC=DF，∠A=∠D，
∴，C可以判定，不符合题意；
D、①②④
∵BE=CF，
∴BE+CE=CF+CE，即BC=EF.
当AB=DE，BC=EF，∠A=∠D，∠A和∠D分别是BC和EF的对角，所以不能判定两个三角形全等，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据全等三角形的判定定理判定即可.
2．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；作图-平行线；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】如图所示：
根据作图过程可知：OA=OB=PC=PD，AB=CD，
∴△PCD≌△OAB（SSS），
∴，
故答案为：D.
【分析】根据作图步骤可得OA=OB=PC=PD，AB=CD，再利用“SSS”证出△PCD≌△OAB即可.
3．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】A、∵∠1=∠2，∴∠BAC=∠DAE，∵AB=AD，AC=AE，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴A符合题意；
B、∵∠B=∠D，AB=AD，AC=AE，无法证出△ABC≌△ADE，∴B不符合题意；
C、∵∠C=∠E，AB=AD，AC=AE，无法证出△ABC≌△ADE，∴C不符合题意；
D、∵∠BAC=∠DAC，AB=AD，AC=AE，无法证出△ABC≌△ADE，∴D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用全等三角形的判定方法逐项分析判断即可.
4．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=180°-∠ACB=90°，
∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∴，，
∴，
∴∠APB=180°-∠BAD-∠ABE=135°，①正确；
∴∠BPD=180°-∠APB=45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠APH=∠FPD=90°，
∴∠FPB=∠FPD+∠BPD=135°，
∴∠APB=∠FPB，
∵∠ABP=∠FBP，BP=BP，∠APB=∠FPB，
∴△ABP≌△FBP，
∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，②正确；
∵∠DAB=∠CAD，
∴∠PAH=∠BFP，
∵∠APH=∠FPD，PA=PF，∠PAH=∠BFP，
∴△APH≌△FPD，
∴AH=FD，
又∵AB=FB，
∴AB=FD+BD=AH+BD；③正确；
连接HD，ED，如图：
∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，
∴S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD，
∵∠HPD=90°，PH=PD，
∴∠HDP=∠DHP=45°
∴∠HDP=∠BPD，
∴HD∥EP，
∴S△EPH=S△EPD，
∵S四边形ABDE=S△ABP+S△AEP+S△EPD+S△PBD
=S△ABP+（S△AEP+S△EPH）+S△PBD
=S△ABP+S△APH+S△PBD
=S△ABP+S△FPD+S△PBD
=S△ABP+S△FBP
=2S△ABP，④不正确；
故正确的有①②③；
故答案为：C.
【分析】根据三角形的内角和是180°可得∠BAC+∠ABC=90°，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线和三角形的内角和是180°可得∠BPD=45°，求得∠FPB=135°，判断①正确，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等，对应角相等可得∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，判断②正确，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等，对应角相等可得AH=FD，等量代换可判断③正确，连接HD，ED，根据全等三角形的面积相等，对应边相等可得S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD，根据等边对等角和三角形的内角和是180°可推得∠HDP=∠BPD，根据内错角相等，两直线平行可得HD∥EP，根据平行线之间的距离处出相等可得S△EPH=S△EPD，等量代换可判断④不正确，即可得出答案.
5．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【分析】根据正方形的轴对称性得∠1+∠7=90°，∠2+∠6=90°，∠3+∠5=90°，∠4=45°．
【解答】由图可知，∠1所在的三角形与∠7所在的三角形全等，
所以∠1+∠7=90°．
同理得，∠2+∠6=90°，∠3+∠5=90°．
又∠4=45°，
所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=315°．
故答案为：B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，全等三角形的对应角相等．发现并利用全等三角形是解决本题的关键
6．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵ ∠ AOB=∠COD=30°，
∴ ∠AOC=∠BOD，
∵ OA=OB，OC=OD，
∴ △AOC≌△BOD（SAS），
∴ AC=BD，故 ① 正确；
∴ ∠OAC=∠OBD，
∵ ∠AFM=∠BFO，
∴ ∠AMB=∠AOB=30°，故 ② 正确；
∵ OA＞OC，
∴ ∠OCA＞∠OAC，
∵ ∠OEM=∠OCA+∠COD=∠OCA+30°，∠OFM=∠OBD+∠AOB=∠OAC+30°，
∴ ∠OEM＞∠OFM，
∴ △OEM与△OFM不可能全等，故 ③ 错误；
∵ △AOC≌△BOD，
∴ AC边上的高=BD边上的高，
∴ MO平分∠BMC，故 ④ 正确.
故答案为：C.
【分析】依据SAS判定 △AOC≌△BOD推出AC=BD，即可判断 ①；根据全等三角形的性质得∠OAC=∠OBD，再根据三角形内角和定理得到∠AMB=∠AOB，即可判断② ；根据OA＞OC得到∠OCA＞∠OAC，再外角的性质可得∠OEM＞∠OFM，即可判断③；再全等三角形的性质可得AC边上的高=BD边上的高，再根据角平分线的判定即可判断 ④ .
7．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的概念
【解析】【解答】解：延长EB到点G，使BG=DF，连接AG，
∵AB⊥CB，AD⊥CD，
∴∠D=∠ABG=90°.
∵AD=AB，
∴△ADF≌△ABG（HL），
∴AF=AG，∠DFA=∠G，∠DAF=∠BAG.
∵∠EAF=70°，∠BAD=140°，
∴∠DAF+∠EAB=∠DAB-∠EAF=70°，
∴∠GAE=∠EAB+∠BAG=70°，
∴∠EAF=∠GAE=70°.
∵AE=AE，
∴△FAE≌△GAE（SAS），
∴∠FEA=∠GEA，∠EFA=∠G，EF=EG，
∴EF=BE+DF，∠FAE=∠EAB，∠DFA=∠EFA，即FA平分∠DFE，③正确，④错误，⑤正确.
根据条件不能推出DF=BE，△ADF ≌△ABE ，故①②错误.
综上可得：③⑤正确.
故答案为：C.
【分析】延长EB到点G，使BG=DF，连接AG，利用HL证明△ADF≌△ABG，得到AF=AG，∠DFA=∠G，∠DAF=∠BAG，由角的和差关系可推出∠EAF=∠GAE=70°，利用SAS证明△FAE≌△GAE，得到∠FEA=∠GEA，∠EFA=∠G，EF=EG，据此判断.
8．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵是角平分线 .
∴.
又∵于点.
∴.
∴.
∴BF=EF，AB=AE.故①正确.
又∵.
∴AE=CE.
∵.
∴∠G=∠AFE=90°.
∴.
∴AF=CG，故②正确.
在中，， .
∴∠ACB=30°，∠CAB=60°.
∴∠DAC=∠ACD.
∴AD=CD，故③正确.
∠AEB=∠ADB=60°，故④正确.
故答案为：D.
【分析】 ① 只需证； ② 只需证； ③ 只需证∠DAC=∠ACD； ④ 求出其角度即可.
9．【答案】9＜AB＜19
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：延长AD到E，使DE=AD，连接BE.
在△ADC和△EDB中，
∵AD=DE，∠ADC=∠BDE，CD=BD，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC=BE（全等三角形的对应边相等）.
∵AC=5，AD=7，
∴BE=5，AE=14.
在△ABE中，AE-BE＜AB＜AE+BE，
∴AB边的取值范围是：9＜AB＜19.
故答案为9＜AB＜19.
【分析】延长AD到E，使DE=AD，连接BE，利用SAS证明△ADC≌△EDB，则可得出AC=BE，由于AE和BE的长已知，根据三角形三边的关系即可求出AB的范围.
10．【答案】40°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，在CB上取点A，使得CA1=CA．连接IA1、IA、A1D、CI、BI．
则BD=BA1．易证△ACI≌△A1CI，△A1BI≌△DBI，故AI=A1I= DI，
∴∠IDA =∠IAD=∠DAC=40°．
故答案为：40°.
【分析】由 CB-CA=BD ，联想到在CB上取点A，使得CA1=CA，由 I为△ABC三条角平分线的交点 联想到连接AI、BI、CI.由此容易证得△A1CI≌△ACI，△ABI≌△DBI，所以AI=A1I= DI，∠IDA =∠IAD=∠DAC=40°．
11．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的判定；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：根据题意，∵四个直角三角形全等，
∴BF=CG=DH=AE，BG=GH=DE=AF，
∴FG=GH=HE=EF，
∴四边形EFGH为正方形，
∵四个直角三角形全等，
∴AB=BC=CD=DA，BAF=CBG，
∵BAF+ABF=90°，
∴ABF+CBG=90°，即ABC=90°，
∴四边形ABCDC为正方形，
∵DN=DC，
∴DN=AD，
∵ED⊥AF，
∴AE=EN，同理可得，MG=CG，
∴BF=CG=MG=DH=AE=EN，
设BF=CG=MG=DH=AE=EN=a，EF=FG=GH=HE=b，
则DE=DH+EH=a+b，NF=EF-EN=b-a，
∵DE⊥AF，BF⊥AF，
∴DE∥BF，
∴=，
∴=，b2=2a2，
∵a＞0，b＞0，
∴b=a，
∴DE=（+1）a，
∴AD2=AE2+DE2=a2+[（+1）a]2=（4+2）a2，
∴正方形ABCD的面积=AD2=（4+2）a2，
S阴影=S△ABN+S△DMC=2a2，
∴两个阴影的面积与四边形ABCD的面积的比为=；
故答案为：.
【分析】 利用全等三角形的性质，得到四边形ABCD和四边形EFGH 为正方形，利用等腰三角形的性质可得AE=EN，MG=GC，设BF=CG=MG=DH=AE=EN=a，EF=FG=GH=HE=b，则DE=DH+EH=a+b，NF=EF-EN=b-a，利用平行线分线段成比例定理得到b=a， 再利用三角形的面积公式和正方形的面积公式分别计算两个阴影部分的面积和与四边形ABCD面积，则结论可得．
12．【答案】或3或或
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：设点P的运动时间为ts，可分为以下几种情况：
（1）当点P没有到达点C时，BP=3t，CP=8-3t，可分为两种情况：
①BE=CP时，可得5=8-3t，解得t=1，此时CQ=BP=3t=3，
∴点Q的运动速度为 ：3÷1=3；
②BP=CP时，可得3t=8-3t，解得：t=，此时CQ=BE=5，
∴点Q的运动速度为 ：5÷=；
（2）当点P从点C返回点B时，CP=3t-8，BP=16-3t，可分为两种情况：
①BE=CP时，可得3t-8=5，解得t=，此时CQ=BP=16-3t=16-3×=3，
∴点Q的运动速度为 ：3÷=；
②BP=CP时，可得16-3t=3t-8，解得：t=4，此时CQ=BE=5，
∴点Q的运动速度为 ：5÷4=；
综上可得，点Q的运动速度为 ：3或或或。
【分析】设点P的运动时间为ts，可分为以下几种情况：
（1）当点P没有到达点C时，BP=3t，CP=8-3t，可分为两种情况：①BE=CP时；②BP=CP时；
（2）当点P从点C返回点B时，CP=3t-8，BP=16-3，可分为两种情况：①BE=CP时；②BP=CP时；
分别列出等式，即可求得答案。
13．【答案】证明：在CD上取CF=BC，连接AF.
∵
∴
∵AC分别平分
∴
在与中，
∴
∴
同理可证：
∴，
∴ .
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】在CD上取CF=BC，连接AF，由SAS先证明△BCA≌△FCA，利用全等三角形性质得AB=AF ，同理可证△ADF≌△ADE，得AE=AF，即可得到结论.
14．【答案】（1）证明：∵AF⊥AB，AH⊥AC，
∴∠HAC＝∠BAF＝90°，
∴∠HAC+∠BAC＝∠BAF+∠BAC，
即∠BAH＝∠CAF．
在△HAB和△CAF中，
∴△HAB≌△CAF（SAS），
∴HB＝CF，∠B＝∠F．
（2）证明：在△AFD和△BOD中，
∠B＝∠F，∠ODB＝∠ADF，
∴∠DOB＝∠FAD，即HB⊥CF．
【知识点】角的运算；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得到：进而利用"SAS"证明即可求解；
（2）根据全等的性质得到：根据对顶角相等得到：易知：即可求证.
15．【答案】（1）解：由已知和作图能得到，因为：
AD是BC边上的中线，所以D为BC的中点，因此
所以，
（2）解：因为，所以，
在三角形ABE中，根据三边关系可知
，因此：，
所以，AD的取值范围为：．
（3）解：延长AD到M点，使得，
由题意可知
所以，
所以，
又因为
所以，
所以，．
【知识点】三角形三边关系；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】 （1）利用“SAS”证出即可；
（2）利用三角形三边的关系可得，再将数据代入求出即可；
（3）延长AD到M点，使得，先利用“SAS”证出，可得，再利用等角对等边的性质可得.
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