空间向量的基本定理
学习目标 1. 类比共线向量基本定理与平面向量基本定理，理解共面向量定理； 2.理解空间向量基本定理； 3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念.
学习活动
目标一：理解共面向量定理. 任务：类比共线向量基本定理与平面向量基本定理，理解共面向量定理. 问题1：回顾共线向量基本定理与平面向量基本定理，完成下列填空. （1）共线向量基本定理：如果______0且∥，则存在唯一的实数，使得_______； （2）平面向量基本定理：如果平面内两个向量与______，则对该平面内任意一个向量，存在唯一的实数对(x，y)，使得_______. 问题2：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，P在直线AA1上的充要条件是存在实数，使得. 已知点M在底面ABCD内，且点E，F分别在直线AD，AB上，试用向量，表示向量？ 思考：结合问题2，说说如何判断空间中的三个向量是否共面？ 【新知讲授】 共面向量基本定理： 如果两个向量，不共线，则向量，，共面的充要条件是，存在唯一的实数对 (x，y)，使. 问题3：如图，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，，，，在AC1上和BC上分别有一点M和N，且，，其中0≤k≤1. 求证：，，共面. 练一练：已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，点M满足，则点M是否在平面ABC内 . ， ，∴向量，，共面； 又它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线， ∴M，A，B，C四点共面，即点M在平面ABC内. 【归纳总结】 判断空间中四点是否共面的方法： 如果A，B，C三点不共线，则点P在平面ABC内的充要条件是，存在唯一的实数对 (x，y)，使.
目标二：理解空间向量的基本定理. 任务：通过类比共线向量基本定理和平面向量基本定理得出空间向量基本定理. 问题1：尝试由共线向量和平面向量的基本定理类比得出相应在空间中的结论？ 【新知讲授】 空间向量基本定理：如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序数组 (x，y，z)，使得. 问题2：回顾平面向量基本定理的证明过程，如何证明空间向量基本定理？（） 思考：如何证明空间向量基本定理的唯一性？ 【归纳总结】 向量的线性组合与基底、基向量： 1.表达式一般称为向量，，的线性组合或线性表达式； 2.空间中不共面的三个向量，，组成的集合{，，}称为空间向量的一组基底；其中，，称为基向量； 3.若，则称为在基底{，，}下的分解式. 练一练：如图所示，平行六面体ABCD-A B C D 中，设，，，试用基底{，，}表示向量，，，. 问题3：如图所示，已知直三棱柱ABC - A1B1C1中，D为A1C1的中点，∠ABC = 60°，AB = 2，BC = CC1 = 1，求. 练一练：如图，M是四面体O-ABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且，，试用向量，，表示.
学习总结
任务：回答下列问题，构建知识导图. 1.共面向量基本定理概念是什么？ 2.空间向量的基本定理概念是什么？ 3.向量的线性组合与基底、基向量概念是什么？
2空间向量的基本定理
学习目标 1. 类比共线向量基本定理与平面向量基本定理，理解共面向量定理； 2.理解空间向量基本定理； 3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念.
学习活动
目标一：理解共面向量定理. 任务：类比共线向量基本定理与平面向量基本定理，理解共面向量定理. 问题1：回顾共线向量基本定理与平面向量基本定理，完成下列填空. （1）共线向量基本定理：如果______0且∥，则存在唯一的实数，使得_______； （2）平面向量基本定理：如果平面内两个向量与______，则对该平面内任意一个向量，存在唯一的实数对(x，y)，使得_______. 参考答案：（1）≠；；（2）不共线；. 问题2：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，P在直线AA1上的充要条件是存在实数，使得. 已知点M在底面ABCD内，且点E，F分别在直线AD，AB上，试用向量，表示向量？ 参考答案：由图可知，， 又点E，F分别在直线AD，AB上，则必存在实数s，t，使得，； 所以. 由上可知，共线向量基本定理与平面向量的基本定理在空间中仍然成立. 思考：结合问题2，说说如何判断空间中的三个向量是否共面？ 【新知讲授】 共面向量基本定理： 如果两个向量，不共线，则向量，，共面的充要条件是，存在唯一的实数对 (x，y)，使. 问题3：如图，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，，，，在AC1上和BC上分别有一点M和N，且，，其中0≤k≤1. 求证：，，共面. 参考答案：因为， ==， 所以. 由共面向量定理可知，，，共面. 练一练：已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，点M满足，则点M是否在平面ABC内 . ， ，∴向量，，共面； 又它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线， ∴M，A，B，C四点共面，即点M在平面ABC内. 【归纳总结】 判断空间中四点是否共面的方法： 如果A，B，C三点不共线，则点P在平面ABC内的充要条件是，存在唯一的实数对 (x，y)，使.
目标二：理解空间向量的基本定理. 任务：通过类比共线向量基本定理和平面向量基本定理得出空间向量基本定理. 问题1：尝试由共线向量和平面向量的基本定理类比得出相应在空间中的结论？ 参考答案：空间中，当，，三个向量不共面时，任意一个向量都可以写成，，的线性运算，而且表达式唯一. 【新知讲授】 空间向量基本定理：如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序数组 (x，y，z)，使得. 问题2：回顾平面向量基本定理的证明过程，如何证明空间向量基本定理？（） 参考答案： （1）当与，，的某两个向量共面时，根据共面向量基本定理可知结论成立； （2）当与，，的任意两个向量不共面时， 如图，过点O作，，，， 过点P作直线PP1，平行于OC，交平面OAB于点P1； 过P1作直线P1A1∥OB，P1B1∥OA，且分别交直线OA，OB于点A1，B1； 在OC上取一点C1，使得. 存在三个实数x，y，z，使得，，. 作，则OA1P1B1-C1MPN是一个平行六面体， 因此，， 即. 思考：如何证明空间向量基本定理的唯一性？ 参考答案：反证法： 设且，则； 如果x ≠ x′，则，即，，共面； 这与已知矛盾，因此x = x′，同理y = y′，z = z′. 综上，空间向量基本定理中，用，，表示的表达式唯一. 特别地，当，，不共面时，可知 x = y = z = 0. 【归纳总结】 向量的线性组合与基底、基向量： 1.表达式一般称为向量，，的线性组合或线性表达式； 2.空间中不共面的三个向量，，组成的集合{，，}称为空间向量的一组基底；其中，，称为基向量； 3.若，则称为在基底{，，}下的分解式. 练一练：如图所示，平行六面体ABCD-A B C D 中，设，，，试用基底{，，}表示向量，，，. 参考答案：因为是平行六面体，所以 ； 同理； ； . 问题3：如图所示，已知直三棱柱ABC - A1B1C1中，D为A1C1的中点，∠ABC = 60°，AB = 2，BC = CC1 = 1，求. 参考答案：由题意可知， ，，， ； 所以，； 又因为， ， 所以 练一练：如图，M是四面体O-ABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且，，试用向量，，表示. 参考答案：由图可知，
学习总结
任务：回答下列问题，构建知识导图. 1.共面向量基本定理概念是什么？ 2.空间向量的基本定理概念是什么？ 3.向量的线性组合与基底、基向量概念是什么？
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