课时2 空间向量及其运算
学习目标 1.掌握空间向量的线性运算； 2.掌握空间中向量夹角的概念及表示方法； 3.掌握空间向量数量积的定义、性质、运算律及计算方法.
学习活动
目标一：掌握空间向量的线性运算. 任务：通过类比平面向量的线性运算，掌握空间向量的线性运算. 问题1：结合平面向量的减法运算，完成下列填空. 空间向量的减法： （1）在空间中任取一点O，作=，=，作出向量，则向量是____________________，即–=； （2）当与不共线时，向量，，正好能构成一个三角形，这种求两向量差的作图方法称为______________________. 参考答案： （1）向量与的差（也称为向量与的差向量）； （2）向量减法的三角形法则. 问题2：如图所示，任意两个不共线的向量，，在空间中任取一点A，作=，=，以AB，AC为邻边，作平行四边形ABDC，则如何用向量，表示，？ 参考答案： 如图所示，，； 追问：由上可知，向量与的和向量、差向量分别有何意义？ 【归纳总结】 如图所示，，. 即向量与的和向量、差向量分别可以看成平行四边形的两条对角线. 练一练：观察如图四棱锥O-ABCD，完成下列填空. ；. 参考答案：；. 思考：对比下列向量加、减法的运算，说说有什么发现？ ； ，. 【新知讲授】 1.同平面中的情形一样，给定一个空间向量，把与这个向量方向相反大小相等的向量称为它的相反向量，向量的相反向量记作. ① 如的相反向量是，即； ② 因为零向量始点与终点相同，所以. 2.空间向量的减法可看成向量的加法：，即一个向量减去另一个向量，等于第一个向量加上第二个向量的相反向量. 问题3：若是实数，是向量，类比平面向量的运算，解释的含义及其几何意义？ 【新知讲授】 1.数乘向量： （1）同平面中的情形一样，给定一个实数与任意一个空间向量，规定：它们的乘积是一个空间向量，记作，其中： ①当且时，的模为||||，而且的方向：当> 0时，与的方向相同；当< 0时，与的方向相反； ②当= 0或时，. 这种实数与空间向量相乘的运算简称为数乘向量； （2）如果存在实数，使得，则∥；且如果存在实数，使得，则与平行且有公共点A，故A，B，C三点一定共线；（特别地，当时，即时，B为线段AC的中点） （3）实数与，向量与，有如下运算律： ，. 2.数乘向量的几何意义： 数乘向量的几何意义就是把向量沿着的方向或反方向扩大或缩小||倍. 问题4：设AB是空间中任意一条线段，O是空间中任意一点，求证：M为AB中点的充要条件是 参考答案： 证明：因为M为AB的中点 ， 所以结论成立. 【归纳总结】 如图，棱锥O-ABCD的底面ABCD是一个平行四边形，则N既是AC的中点，也是BD的中点，由问题4结论可知， ；同理等. 练一练：如图所示三棱锥A-BCD中，O为CD的中点，化简，并在图中作出表示化简结果的向量. 参考答案： 因为O为CD中点，所以，从而有 . 化简结果的向量如图所示.
目标二：掌握空间向量数量积. 任务1：通过类比平面向量夹角的概念，定义空间向量的夹角. 【新知讲授】 平面向量夹角：平面内，给定两个非零向量，，任意在平面内选定一点O，作，，则大小在[0，π]内的∠AOB称为与的夹角，记作<，>. 问题1：结合平面向量夹角的定义，如何定义空间向量夹角？ 【新知讲授】 空间向量的夹角： 1.给定两个非零向量，，任意在空间中选定一点O，作，，则大小在[0，π]内的∠AOB称为与的夹角，记作<，>； 2.如果<，> =，则称向量与垂直，记作⊥； 3.规定：零向量与任意向量都垂直. 问题2：如图所示是一个正方形，求下列各对向量的夹角： （1）与； （2）与； （3）与； （4）与. 参考答案： （1）因为与的方向相同，所以,=,= 45°； （2），=，= 135°； （3），=，= 90°； （4），=，= 180°. 任务2：将平面向量数量积的概念与性质推广到空间向量中. 【新知讲授】 平面向量数量积的概念与性质： （1）平面内，两个非零向量与的数量积（也称为内积）定义为 （注：两个向量的数量积的结果是一个数）； （2）数量积的几何意义：如图所示，过的始点和终点分别向所在的直线作垂线，即可得到向量在向量上的投影，与的数量积等于在上的投影的数量与的长度的乘积； （3）与单位向量的数量积等于在上的投影的数量； （4）规定：零向量与任意向量的数量积为0. 问题1：观察上述平面向量数量积的有关概念与性质，能否将它们从平面推广到空间中？ 【新知讲授】 空间向量数量积的概念与性质： 1.空间中，两个非零向量与的数量积定义为； 2.空间向量的数量积具有以下性质； ① ； ② ； ③ ； ④ ()·=(·)； ⑤ （交换律）； ⑥ （分配律）. 追问：上述向量数量积的性质，分别有什么应用？ 3.两个向量与的数量积的几何意义：数量积等于在上的投影的数量与的长度||的乘积. 问题2：如图所示长方体ABCD-A'B'C'D'中，E是AA'的中点，AA'=AD=2，AB=4，求： （1）； （2）. 参考答案： （1）（方法一）因为是长方体，而且AA' = AD = 2，所以，，， 因此. （方法二）由图可以看出，在上的投影是，而且，注意到与的方向相同，所以等于的长，即. （2）由图可知，在上的投影是，而且，注意到与的方向相反，所以等于的长的相反数，即. 练一练：已知空间向量、满足||=1，||=2，，试求： （1）|2+3|； （2）(+2)·(2–3). 参考答案： （1）|2+3|2 = (2+3)2 = 42 +12+92 = 4||2 +12||||cos+9||2 = 4×12 + 12×1×2×+ 9×22 = 52， 因此 |2+3|==. （2）(+2)·(2–3) = 22 +–62 = 2||2 +||||cos–6||2 = 2×12 + 1×2×–6×22 = –21.
学习总结
任务：回答下列问题，构建知识导图. 1.空间向量的线性运算有哪些？ 2.两个向量的数量积与数乘向量有何区别？
2课时2 空间向量及其运算
学习目标 1.掌握空间向量的线性运算； 2.掌握空间中向量夹角的概念及表示方法； 3.掌握空间向量数量积的定义、性质、运算律及计算方法.
学习活动
目标一：掌握空间向量的线性运算. 任务：通过类比平面向量的线性运算，掌握空间向量的线性运算. 问题1：结合平面向量的减法运算，完成下列填空. 空间向量的减法： （1）在空间中任取一点O，作=，=，作出向量，则向量是____________________，即–=； （2）当与不共线时，向量，，正好能构成一个三角形，这种求两向量差的作图方法称为______________________. 问题2：如图所示，任意两个不共线的向量，，在空间中任取一点A，作=，=，以AB，AC为邻边，作平行四边形ABDC，则如何用向量，表示，？ 追问：由上可知，向量与的和向量、差向量分别有何意义？ 【归纳总结】 如图所示，，. 即向量与的和向量、差向量分别可以看成平行四边形的两条对角线. 练一练：观察如图四棱锥O-ABCD，完成下列填空. ；. 思考：对比下列向量加、减法的运算，说说有什么发现？ ； ，. 【新知讲授】 1.同平面中的情形一样，给定一个空间向量，把与这个向量方向相反大小相等的向量称为它的相反向量，向量的相反向量记作. ① 如的相反向量是，即； ② 因为零向量始点与终点相同，所以. 2.空间向量的减法可看成向量的加法：，即一个向量减去另一个向量，等于第一个向量加上第二个向量的相反向量. 问题3：若是实数，是向量，类比平面向量的运算，解释的含义及其几何意义？ 【新知讲授】 1.数乘向量： （1）同平面中的情形一样，给定一个实数与任意一个空间向量，规定：它们的乘积是一个空间向量，记作，其中： ①当且时，的模为||||，而且的方向：当> 0时，与的方向相同；当< 0时，与的方向相反； ②当= 0或时，. 这种实数与空间向量相乘的运算简称为数乘向量； （2）如果存在实数，使得，则∥；且如果存在实数，使得，则与平行且有公共点A，故A，B，C三点一定共线；（特别地，当时，即时，B为线段AC的中点） （3）实数与，向量与，有如下运算律： ，. 2.数乘向量的几何意义： 数乘向量的几何意义就是把向量沿着的方向或反方向扩大或缩小||倍. 问题4：设AB是空间中任意一条线段，O是空间中任意一点，求证：M为AB中点的充要条件是 【归纳总结】 如图，棱锥O-ABCD的底面ABCD是一个平行四边形，则N既是AC的中点，也是BD的中点，由问题4结论可知， ；同理等. 练一练：如图所示三棱锥A-BCD中，O为CD的中点，化简，并在图中作出表示化简结果的向量.
目标二：掌握空间向量数量积. 任务1：通过类比平面向量夹角的概念，定义空间向量的夹角. 【新知讲授】 平面向量夹角：平面内，给定两个非零向量，，任意在平面内选定一点O，作，，则大小在[0，π]内的∠AOB称为与的夹角，记作<，>. 问题1：结合平面向量夹角的定义，如何定义空间向量夹角？ 【新知讲授】 空间向量的夹角： 1.给定两个非零向量，，任意在空间中选定一点O，作，，则大小在[0，π]内的∠AOB称为与的夹角，记作<，>； 2.如果<，> =，则称向量与垂直，记作⊥； 3.规定：零向量与任意向量都垂直. 问题2：如图所示是一个正方形，求下列各对向量的夹角： （1）与； （2）与； （3）与； （4）与. 任务2：将平面向量数量积的概念与性质推广到空间向量中. 【新知讲授】 平面向量数量积的概念与性质： （1）平面内，两个非零向量与的数量积（也称为内积）定义为 （注：两个向量的数量积的结果是一个数）； （2）数量积的几何意义：如图所示，过的始点和终点分别向所在的直线作垂线，即可得到向量在向量上的投影，与的数量积等于在上的投影的数量与的长度的乘积； （3）与单位向量的数量积等于在上的投影的数量； （4）规定：零向量与任意向量的数量积为0. 问题1：观察上述平面向量数量积的有关概念与性质，能否将它们从平面推广到空间中？ 【新知讲授】 空间向量数量积的概念与性质： 1.空间中，两个非零向量与的数量积定义为； 2.空间向量的数量积具有以下性质； ① ； ② ； ③ ； ④ ()·=(·)； ⑤ （交换律）； ⑥ （分配律）. 追问：上述向量数量积的性质，分别有什么应用？ 3.两个向量与的数量积的几何意义：数量积等于在上的投影的数量与的长度||的乘积. 问题2：如图所示长方体ABCD-A'B'C'D'中，E是AA'的中点，AA'=AD=2，AB=4，求： （1）； （2）. 练一练：已知空间向量、满足||=1，||=2，，试求： （1）|2+3|； （2）(+2)·(2–3). 参考答案： （1）|2+3|2 = (2+3)2 = 42 +12+92 = 4||2 +12||||cos+9||2 = 4×12 + 12×1×2×+ 9×22 = 52， 因此 |2+3|==. （2）(+2)·(2–3) = 22 +–62 = 2||2 +||||cos–6||2 = 2×12 + 1×2×–6×22 = –21.
学习总结
任务：回答下列问题，构建知识导图. 1.空间向量的线性运算有哪些？ 2.两个向量的数量积与数乘向量有何区别？
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