空间向量的坐标与空间直角坐标系
学习目标 1.通过类比平面向量的坐标，了解空间向量坐标的定义； 2.理解空间向量的运算与坐标的关系； 3.会用坐标表示空间向量的平行和垂直关系．
学习活动
目标一：了解空间向量坐标的定义. 任务：通过类比平面向量的坐标，了解空间向量坐标的定义. 问题1：如图，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量，作为基底，若，则向量的坐标如何表示？ 参考答案：. 问题2：如图，已知，，且OADB–CEGF是棱长为1的正方体，OF1E1A–A1D1C1B1是一个长方体，A1为OC的中点，F1O = 2. （1）设，，将向量与都用，，表示； （2）若是空间中任意一个向量，如何才能写出在基底{，，}下的分解式. 参考答案： （1）=++；=– 2+； （2）将向量的始点平移到点O，然后过它的终点分别作与，，所在直线垂直的平面，即可写出它在基底{，，}下的分解式. 【新知讲授】 空间中向量的坐标： （1）如果空间向量的基底{，，}中，，，都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底； （2）在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，且如果= x+ y+ z，则称有序实数组(x，y，z)为向量的坐标，记作 = (x，y，z)，其中x，y，z都称为的坐标分量. 思考：若= x+ y+ z，则的坐标一定是(x，y，z)吗？ 问题3：已知{，，}是单位正交基底，分别写出下列空间向量的坐标： （1）= 2+3+；（2）= –+– 2；（2）= –2–；（4）. 参考答案： （1）= (2，3，1)； （2）= (–1，1，–2)； （3）= (0，–2，–1)； （4）= (0，0，0). 练一练：如果已知{，，}是单位正交基底，下列说法正确的是( ) A.若= 2–＋3，则= (2，1，3) B.若= –＋2，则= (–1，2) C.若=＋3–，则= (1，3，–1) D.若= –3，则= (0，0，–3) 参考答案：C
目标二：理解空间向量的运算与坐标的关系. 任务：通过类比平面向量的运算的坐标表示，得出空间向量的运算的坐标表示. 问题1：设空间中两个向量，满足= (x1，y1，z1)，= (x2，y2，z2)， 则当=时，它们对应的坐标之间有什么关系？ 参考答案： 设{，，}是单位正交基底，则，， 当=时，有， 由空间向量基本定理可知，x1 = x2，y1 = y2，z1 = z2；反之结论也成立. 即：空间中两个向量相等的充要条件是它们的坐标分量对应相等. 问题2：类比平面向量运算的坐标表示，完成填空. 平面向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示设= (x1，y1)，= (x2，y2)设= (x1，y1，z1)，= (x2，y2，z2)____________________________________________________________________
参考答案： 平面向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示设= (x1，y1)，= (x2，y2)设= (x1，y1，z1)，= (x2，y2，z2)
问题3：已知= (x1，y1，z1)，= (x2，y2，z2)，参照的坐标运算法则的推导过程，推导下列坐标运算法则. （1）(u，v∈R)； （2）； 示例：因为= x1+ y1+ z1+ x2+ y2+ z2= (x1+x2)+ (y1+y2)+ (z1+z2)，所以= (x1+x2，y1+y2，z1+z2). 参考答案： （1）， ， ， 即= (ux1 + vx2，uy1 + vy2，uz1 + vz2)； （2）因为{，，}是单位正交基底，所以， ，因此 【归纳总结】 空间向量的运算与坐标： 已知= (x1，y1，z1)，= (x2，y2，z2)， （1）如果u，v∈R，则= (ux1 + vx2，uy1 + vy2，uz1 + vz2)； （2）；特别地：； （3）当且时，由向量数量积的定义可知： . 练一练1：已知= (–2，3，5)，= (3，–3，2)，求下列向量的坐标： （1）； （2）； （3）. 参考答案： （1）= (– 2，3，5) – (3，– 3，2) = (– 2 – 3，3 + 3，5 – 2) = (– 5，6，3)； （2）= 2(– 2，3，5) + (3，– 3，2) = (– 4，6，10) + (3，– 3，2) = (– 1，3，12)； （3）= –5(3，– 3，2) = (– 15，15，–10). 练一练2：已知= (1，0，1)，= (2，– 2，0)，求〈，〉. 参考答案： 因为，，；所以； 因此〈〉= 60°.
目标三：会用坐标表示空间向量的平行、垂直关系． 任务：应用向量的相关定理，回答下列问题. 问题1：已知空间向量，的坐标为= (x1，y1，z1)，= (x2，y2，z2)， 那么怎样用它们的坐标表示下列结论？ （1）当时，∥的充要条件是存在实数，使得； （2）⊥的充要条件是. 参考答案： （1）当时， ∥ (x2，y2，z2) =(x1，y1，z1) ； 特别地，当的每一个坐标分量都不为零(即x1，y1，z1均不为0)时，有 ∥ ； （2）⊥ (x1，y1，z1)·(x2，y2，z2) x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0. 练一练： （1）已知= (1，-1，1)，= (x，y，z)，且∥，求x，y，z所要满足的关系式； （2）已知= (-1，-1，1)，= (2，-2，6)，求一个非零空间向量，使得⊥且⊥. 参考答案： （1）因为= (1，-1，1)的每一个坐标分量都不为零，因此 ∥ x = – y = z； （2）设= (x，y，z)，则⊥且⊥ ， 将z看成已知数，求解方程组可得x = -z，y = 2z， 因此= (-z，2z，z) = z(-1，2，1)； 取z = 1，可得满足条件的一个非零空间向量= (-1，2，1). 注：空间中同时垂直于两个不共线向量的空间向量有无数个，而且这无数个向量是相互平行的.
学习总结
任务：回答下列问题，构建知识导图. 1.单位正交基底的概念是什么？它有什么特点？ 2.分别说说，如何用向量的坐标，判断两个空间向量相等、平行和垂直？
2空间向量的坐标与空间直角坐标系
学习目标 1.通过类比平面向量的坐标，了解空间向量坐标的定义； 2.理解空间向量的运算与坐标的关系； 3.会用坐标表示空间向量的平行和垂直关系．
学习活动
目标一：了解空间向量坐标的定义. 任务：通过类比平面向量的坐标，了解空间向量坐标的定义. 问题1：如图，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量，作为基底，若，则向量的坐标如何表示？ 问题2：如图，已知，，且OADB–CEGF是棱长为1的正方体，OF1E1A–A1D1C1B1是一个长方体，A1为OC的中点，F1O = 2. （1）设，，将向量与都用，，表示； （2）若是空间中任意一个向量，如何才能写出在基底{，，}下的分解式. 【新知讲授】 空间中向量的坐标： （1）如果空间向量的基底{，，}中，，，都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底； （2）在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，且如果= x+ y+ z，则称有序实数组(x，y，z)为向量的坐标，记作 = (x，y，z)，其中x，y，z都称为的坐标分量. 思考：若= x+ y+ z，则的坐标一定是(x，y，z)吗？ 问题3：已知{，，}是单位正交基底，分别写出下列空间向量的坐标： （1）= 2+3+；（2）= –+– 2；（2）= –2–；（4）. 练一练：如果已知{，，}是单位正交基底，下列说法正确的是( ) A.若= 2–＋3，则= (2，1，3) B.若= –＋2，则= (–1，2) C.若=＋3–，则= (1，3，–1) D.若= –3，则= (0，0，–3)
目标二：理解空间向量的运算与坐标的关系. 任务：通过类比平面向量的运算的坐标表示，得出空间向量的运算的坐标表示. 问题1：设空间中两个向量，满足= (x1，y1，z1)，= (x2，y2，z2)， 则当=时，它们对应的坐标之间有什么关系？ 问题2：类比平面向量运算的坐标表示，完成填空. 平面向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示设= (x1，y1)，= (x2，y2)设= (x1，y1，z1)，= (x2，y2，z2)____________________________________________________________________
问题3：已知= (x1，y1，z1)，= (x2，y2，z2)，参照的坐标运算法则的推导过程，推导下列坐标运算法则. （1）(u，v∈R)； （2）； 示例：因为= x1+ y1+ z1+ x2+ y2+ z2= (x1+x2)+ (y1+y2)+ (z1+z2)，所以= (x1+x2，y1+y2，z1+z2). 【归纳总结】 空间向量的运算与坐标： 已知= (x1，y1，z1)，= (x2，y2，z2)， （1）如果u，v∈R，则= (ux1 + vx2，uy1 + vy2，uz1 + vz2)； （2）；特别地：； （3）当且时，由向量数量积的定义可知： . 练一练1：已知= (–2，3，5)，= (3，–3，2)，求下列向量的坐标： （1）； （2）； （3）. 练一练2：已知= (1，0，1)，= (2，– 2，0)，求〈，〉.
目标三：会用坐标表示空间向量的平行、垂直关系． 任务：应用向量的相关定理，回答下列问题. 问题1：已知空间向量，的坐标为= (x1，y1，z1)，= (x2，y2，z2)， 那么怎样用它们的坐标表示下列结论？ （1）当时，∥的充要条件是存在实数，使得； （2）⊥的充要条件是. 练一练： （1）已知= (1，-1，1)，= (x，y，z)，且∥，求x，y，z所要满足的关系式； （2）已知= (-1，-1，1)，= (2，-2，6)，求一个非零空间向量，使得⊥且⊥.
学习总结
任务：回答下列问题，构建知识导图. 1.单位正交基底的概念是什么？它有什么特点？ 2.分别说说，如何用向量的坐标，判断两个空间向量相等、平行和垂直？
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