空间向量的坐标与空间直角坐标系
学习目标 1.了解空间直角坐标系的定义； 2.掌握空间直角坐标系中的两点的距离公式和中点坐标公式； 3.会用空间直角坐标系解决相关几何问题.
学习活动
目标一：了解空间直角坐标系的定义. 任务：通过类比平面直角坐标系，了解空间直角坐标系的定义. 思考：如图所示，怎样才能精准刻画出地球的卫星在空间中的位置？ 问题1：仔细阅读课本P21~22页，画出一个空间直角坐标系，并解释下列概念的含义， （1）空间直角坐标系的坐标轴及坐标平面； （2）空间中点的横坐标、纵坐标、竖坐标； （3）空间直角坐标系的卦限. 参考答案：建立空间直角坐标系Oxyz：. ①在空间中任意选定一点O作为坐标原点； ②选择合适的平面建立平面直角坐标系xOy； ③过O作一条与xOy平面垂直的数轴z轴. 【新知讲授】 空间直角坐标系的相关概念： （1）在空间直角坐标系Oxyz中，x轴、y轴、z轴是两两互相垂直的，它们都称为坐标轴；通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面，分别记为xOy平面、yOz平面、zOx平面. z轴正方向的确定方法：在z轴的正半轴看xOy平面，x轴的正半轴绕O点沿逆时针方向旋转90°能与y轴的正半轴重合. （2）在平面内画空间直角坐标系Oxyz的方法：空间x轴、y轴水平放置，正方向夹角为135°(或45°)，z轴与y轴 (或x轴垂直). 如图，设M为空间中的一个点，过M点作三个平面分别垂直于x轴，y轴，z轴于P，Q，R三点，且P，Q，R在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x，y，z，那么点M就对应唯一确定的有序实数组 (x，y，z)；反之，有序实数组 (x，y，z) 可以对应唯一点M. 由此，空间中的点与三个实数组成的有序实数组之间，有了一一对应关系，空间一点M的位置完全由有序实数组 (x，y，z) 确定，因此将 (x，y，z) 称为点M的坐标，记作M (x，y，z). x，y，z都称为点M的坐标分量，x称为点M的横坐标(或x坐标)，y称为点M的纵坐标(或y坐标)，z称为点M的竖坐标(或x坐标). （3）如图所示，三个坐标平面把空间直角坐标系中不在坐标平面内的点分成八个卦限. 按逆时针方向： 在坐标平面xOy的上方，分别是第I卦限、第Ⅱ卦限、第Ⅲ卦限、第Ⅳ卦限；在xOy的下方，分别是第V卦限、第Ⅵ卦限、第Ⅶ卦限、第Ⅷ卦限. 根据点的坐标的特征，第I卦限的点集，用集合可表示为 {(x，y，z)|x>0，y>0，z>0} 追问：其他卦限的点用集合如何表示？有什么规律吗？ 问题2：已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中点，F是A1B1的中点. 以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 求以下各点的坐标：A，B，B1，E，F. 参考答案： 因为正方体的棱长为1， 因此A(1，0，0)，B(1，1，0)，B1(1，1，1)； 又因为E，F分别是CC1，A1B1的中点， 所以E(0，1，)，F(1，，1). 思考：若指定空间中的单位向量，，的始点都在原点O，且它们的方向分别与x轴、y轴、z轴的正方向相同，则向量的坐标与P点的坐标有什么关系？ 参考答案： 向量的坐标与P点的坐标相同； 即. 练一练：回顾平面直角坐标系中对称点的规律，若P(x，y，z)为空间直角坐标系中的一点，写出P关于下列点、直线和平面的对称点. （1）关于原点对称； （2）关于x轴对称； （3）关于y轴对称； （4）关于z轴对称； （5）关于平面xOy对称； （6）关于平面zOx对称； （7）关于平面yOz对称. 参考答案： （1）关于原点对称：P1 (-x，-y，-z)； （2）关于x轴对称：P2 (x，-y，-z)； （3）关于y轴对称：P3 (-x，y，-z)； （4）关于z轴对称：P4 (-x，-y，z)； （5）关于平面xOy对称：P5 (x，y，-z)； （6）关于平面zOx对称：P6 (x，-y，z)； （7）关于平面yOz对称：P7 (-x，y，z). 方法小结：关于谁对称，谁就不改变，其余坐标则相反.
目标二：掌握空间向量坐标的相关应用. 任务：通过类比平面直角坐标系中两点间的距离公式和中点坐标公式，得出空间直角坐标系中两点间的距离公式和中点坐标公式. 问题1：设空间中两点的坐标分别为A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2). （1）试求出AB两点间的距离；（2）试求出线段AB的中点M的坐标； 参考答案： （1）设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)为空间直角坐标系中的两点，则，， 所以， 即空间向量在空间直角坐标系中的坐标，等于表示这个空间向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标. 因此； （2）设线段AB的中点M的坐标为(x，y，z)，则， 又因为， 所以线段AB的中点M的坐标为. 【归纳总结】 空间直角坐标系中两点间距离公式： 空间直角坐标系中的中点坐标公式：. 练一练：已知点A(1，5，3)，B(3，1，4)，求线段AB中点的坐标. 参考答案： 根据空间直角坐标系中的中点坐标公式可得： 线段AB中点的坐标为，即 问题2：在空间直角坐标系中，已知A (-2，-3，5)，B (0，2，2)，C (2，7，-1)，求证：A，B，C三点共线. 参考答案： 证明：因为， ， 所以，因此∥， 又因为这两个向量有公共的始点，所以A，B，C三点共线. 问题3：如图所示，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA = CB = C1C = 2，AC⊥CB，且D，E分别是棱AB，B1C1的中点.建立适当的空间直角坐标系，求A1B与DE的长. 参考答案： 解：以C为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 由题意可知C (0，0，0)，A (2，0，0)，B (0，2，0)，A1 (2，0，2)，B1 (0，2，2)，C1 (0，0，2). 因此A1B =； 又因为D是AB的中点，所以D的坐标为，即D (1，1，0)； 同理可得E (0，1，2)，从而DE =. 【归纳总结】 利用坐标法求解立体几何问题时的一般过程： ① 选好坐标原点，建立适当的空间直角坐标系； ② 依题意确定相应点的坐标； ③ 通过坐标运算得到答案.
学习总结
任务：回答下列问题，构建知识导图. 1.如何建立空间直角坐标系？建系过程中有哪些需要注意的地方？ 2.空间两点间距离的公式和中点坐标公式分别是什么？ 3.如何利用坐标法求解立体几何相关问题？
2空间向量的坐标与空间直角坐标系
学习目标 1.了解空间直角坐标系的定义； 2.掌握空间直角坐标系中的两点的距离公式和中点坐标公式； 3.会用空间直角坐标系解决相关几何问题.
学习活动
目标一：了解空间直角坐标系的定义. 任务：通过类比平面直角坐标系，了解空间直角坐标系的定义. 思考：如图所示，怎样才能精准刻画出地球的卫星在空间中的位置？ 问题1：仔细阅读课本P21~22页，画出一个空间直角坐标系，并解释下列概念的含义， （1）空间直角坐标系的坐标轴及坐标平面； （2）空间中点的横坐标、纵坐标、竖坐标； （3）空间直角坐标系的卦限. 【新知讲授】 空间直角坐标系的相关概念： （1）在空间直角坐标系Oxyz中，x轴、y轴、z轴是两两互相垂直的，它们都称为坐标轴；通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面，分别记为xOy平面、yOz平面、zOx平面. z轴正方向的确定方法：在z轴的正半轴看xOy平面，x轴的正半轴绕O点沿逆时针方向旋转90°能与y轴的正半轴重合. （2）在平面内画空间直角坐标系Oxyz的方法：空间x轴、y轴水平放置，正方向夹角为135°(或45°)，z轴与y轴 (或x轴垂直). 如图，设M为空间中的一个点，过M点作三个平面分别垂直于x轴，y轴，z轴于P，Q，R三点，且P，Q，R在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x，y，z，那么点M就对应唯一确定的有序实数组 (x，y，z)；反之，有序实数组 (x，y，z) 可以对应唯一点M. 由此，空间中的点与三个实数组成的有序实数组之间，有了一一对应关系，空间一点M的位置完全由有序实数组 (x，y，z) 确定，因此将 (x，y，z) 称为点M的坐标，记作M (x，y，z). x，y，z都称为点M的坐标分量，x称为点M的横坐标(或x坐标)，y称为点M的纵坐标(或y坐标)，z称为点M的竖坐标(或x坐标). （3）如图所示，三个坐标平面把空间直角坐标系中不在坐标平面内的点分成八个卦限. 按逆时针方向： 在坐标平面xOy的上方，分别是第I卦限、第Ⅱ卦限、第Ⅲ卦限、第Ⅳ卦限；在xOy的下方，分别是第V卦限、第Ⅵ卦限、第Ⅶ卦限、第Ⅷ卦限. 根据点的坐标的特征，第I卦限的点集，用集合可表示为 {(x，y，z)|x>0，y>0，z>0} 追问：其他卦限的点用集合如何表示？有什么规律吗？ 问题2：已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中点，F是A1B1的中点. 以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 求以下各点的坐标：A，B，B1，E，F. 思考：若指定空间中的单位向量，，的始点都在原点O，且它们的方向分别与x轴、y轴、z轴的正方向相同，则向量的坐标与P点的坐标有什么关系？ 练一练：回顾平面直角坐标系中对称点的规律，若P(x，y，z)为空间直角坐标系中的一点，写出P关于下列点、直线和平面的对称点. （1）关于原点对称； （2）关于x轴对称； （3）关于y轴对称； （4）关于z轴对称； （5）关于平面xOy对称； （6）关于平面zOx对称； （7）关于平面yOz对称.
目标二：掌握空间向量坐标的相关应用. 任务：通过类比平面直角坐标系中两点间的距离公式和中点坐标公式，得出空间直角坐标系中两点间的距离公式和中点坐标公式. 问题1：设空间中两点的坐标分别为A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2). （1）试求出AB两点间的距离；（2）试求出线段AB的中点M的坐标； 【归纳总结】 空间直角坐标系中两点间距离公式： 空间直角坐标系中的中点坐标公式：. 练一练：已知点A(1，5，3)，B(3，1，4)，求线段AB中点的坐标. 问题2：在空间直角坐标系中，已知A (-2，-3，5)，B (0，2，2)，C (2，7，-1)，求证：A，B，C三点共线. 问题3：如图所示，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA = CB = C1C = 2，AC⊥CB，且D，E分别是棱AB，B1C1的中点.建立适当的空间直角坐标系，求A1B与DE的长. 【归纳总结】 利用坐标法求解立体几何问题时的一般过程： ① 选好坐标原点，建立适当的空间直角坐标系； ② 依题意确定相应点的坐标； ③ 通过坐标运算得到答案.
学习总结
任务：回答下列问题，构建知识导图. 1.如何建立空间直角坐标系？建系过程中有哪些需要注意的地方？ 2.空间两点间距离的公式和中点坐标公式分别是什么？ 3.如何利用坐标法求解立体几何相关问题？
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