空间中的点、直线与空间向量
学习目标 1.理解空间中的点、直线的定义，会用空间向量刻画空间中的点、直线的位置； 2.理解直线的方向向量，会用向量的方法证明线线平行.
学习活动
目标一：会用空间向量刻画空间中的点、直线的位置. 任务1：借助空间向量刻画空间中点的位置. 问题：如图所示的四面体A-BCD中，怎样借助空间向量来描述A，B，C在空间中是不同的点？ 思考：结合上述结论，说说怎样借助空间向量来刻画空间中点的位置？ 【新知讲授】 位置向量： 一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以由向量唯一确定，此时，通常称为点P的位置向量. 特别地，空间直角坐标系中的任意一点都由它的位置向量唯一确定，从而也就由它的坐标唯一确定. 任务2：借助空间向量刻画空间中直线的位置. 问题：如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，设，如果只借助，能否确定直线AB在空间中的位置？ 思考：一般地，怎样借助空间向量来刻画空间中直线的位置？ 【新知讲授】 方向向量： 一般地，如果l是空间中的一条直线，是空间中的一个非零向量，表示的有向线段所在直线与l 平行或重合，称为直线l的一个方向向量 (方向向量不唯一)；此时，也称向量与直线l平行，记作// l.
目标二：理解直线的方向向量，会用向量的方法证明线线平行. 任务1：借助实例，理解直线的方向向量. 问题：结合空间中直线的方向向量的定义回答下列问题. （1）如图，已知 A，B，C 为直线 l 上的点，，与直线l有怎样的关系？ （2）观察下图，说说怎样借助空间向量来确定空间中直线的位置？ （3）如图，如果是直线l1的一个方向向量，是直线l2的一个方向向量，且∥，那么直线l1，l2有怎样的关系？ 【归纳总结】 （1）如果A，B是直线l上两个不同的点，则就是直线l上的一个方向向量； （2）如果是直线l的一个方向向量，则对任意的实数λ ≠ 0，空间向量也是直线l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量都平行； （3）如果是直线l的一个方向向量，A为直线l上的一个已知的点，则对于直线l上的任意一点B，向量一定与非零向量平行，即存在唯一的实数λ，使得； 即空间中直线l的位置可由和点A唯一确定； （4）如果是直线l1的一个方向向量，是直线l2的一个方向向量，则∥l1∥l2，或l1与l2重合. 练一练：设与都是直线l的方向向量，则下列关于与的叙述正确的是( ) A.= B.与同向 C.∥ D.与有相同的位置向量 任务2：会用向量的方法证明线线平行. 问题：若已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，求证：直线BD1与直线CE不平行. 【归纳总结】 利用向量方法证明线线平行的方法与步骤： 练一练：在三棱锥中O-ABC，OA = OB = 1，OC = 2，OA，OB，OC两两垂直，试找出一点D，使BD∥AC，DC∥AB．
学习总结
任务：回答下列问题，构建知识导图. 1.如何刻画空间中的点、直线的位置？ 2.解释位置向量和方向向量的定义； 3.简述利用向量的方法证明线线平行的基本过程.
2空间中的点、直线与空间向量
学习目标 1.理解空间中的点、直线的定义，会用空间向量刻画空间中的点、直线的位置； 2.理解直线的方向向量，会用向量的方法证明线线平行.
学习活动
目标一：会用空间向量刻画空间中的点、直线的位置. 任务1：借助空间向量刻画空间中点的位置. 问题：如图所示的四面体A-BCD中，怎样借助空间向量来描述A，B，C在空间中是不同的点？ 参考答案：在图中，可以借助向量，，的不同，来描述A，B，C在空间中是不同的点. 思考：结合上述结论，说说怎样借助空间向量来刻画空间中点的位置？ 【新知讲授】 位置向量： 一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以由向量唯一确定，此时，通常称为点P的位置向量. 特别地，空间直角坐标系中的任意一点都由它的位置向量唯一确定，从而也就由它的坐标唯一确定. 任务2：借助空间向量刻画空间中直线的位置. 问题：如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，设，如果只借助，能否确定直线AB在空间中的位置？ 参考答案：图中，因为，所以只借助向量不能确定直线AB在空间中的位置，但是向量可以描述所有与直线AB平行或重合的直线. 思考：一般地，怎样借助空间向量来刻画空间中直线的位置？ 【新知讲授】 方向向量： 一般地，如果l是空间中的一条直线，是空间中的一个非零向量，表示的有向线段所在直线与l 平行或重合，称为直线l的一个方向向量 (方向向量不唯一)；此时，也称向量与直线l平行，记作// l.
目标二：理解直线的方向向量，会用向量的方法证明线线平行. 任务1：借助实例，理解直线的方向向量. 问题：结合空间中直线的方向向量的定义回答下列问题. （1）如图，已知 A，B，C 为直线 l 上的点，，与直线l有怎样的关系？ （2）观察下图，说说怎样借助空间向量来确定空间中直线的位置？ （3）如图，如果是直线l1的一个方向向量，是直线l2的一个方向向量，且∥，那么直线l1，l2有怎样的关系？ 【归纳总结】 （1）如果A，B是直线l上两个不同的点，则就是直线l上的一个方向向量； （2）如果是直线l的一个方向向量，则对任意的实数λ ≠ 0，空间向量也是直线l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量都平行； （3）如果是直线l的一个方向向量，A为直线l上的一个已知的点，则对于直线l上的任意一点B，向量一定与非零向量平行，即存在唯一的实数λ，使得； 即空间中直线l的位置可由和点A唯一确定； （4）如果是直线l1的一个方向向量，是直线l2的一个方向向量，则∥l1∥l2，或l1与l2重合. 练一练：设与都是直线l的方向向量，则下列关于与的叙述正确的是( ) A.= B.与同向 C.∥ D.与有相同的位置向量 参考答案：C 任务2：会用向量的方法证明线线平行. 问题：若已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，求证：直线BD1与直线CE不平行. 参考答案： 以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，正方体的棱长为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，则 B (1，1，0)，D1 (0，0，1)，C (0，1，0)，E (0，，1)， 所以，. 又因为，所以与不平行. 因为为直线BD1的一个方向向量，为直线CE的一个方向向量，当BD1∥CE时，必有∥. 由上可知直线BD1与直线CE不平行. 【归纳总结】 利用向量方法证明线线平行的方法与步骤： 练一练：在三棱锥中O-ABC，OA = OB = 1，OC = 2，OA，OB，OC两两垂直，试找出一点D，使BD∥AC，DC∥AB． 参考答案： 解：如图，以O为原点，OA，OB，OC分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (0，0，2)，则，； 设D (x，y，z)，则，， 要使BD∥AC，DC∥AB，即∥，∥， ，解得x = -1，y = 1，z = 2； 所以D (-1，1，2).
学习总结
任务：回答下列问题，构建知识导图. 1.如何刻画空间中的点、直线的位置？ 2.解释位置向量和方向向量的定义； 3.简述利用向量的方法证明线线平行的基本过程.
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