空间中的点、直线与空间向量
学习目标 1.理解空间中两条直线所成角的定义； 2.会用向量证明两条直线垂直； 3.会用向量求两条直线所成的角； 4.掌握异面直线的判定定理，会用空间向量解决异面直线相关问题.
学习活动
目标一：能解决空间中两条直线所成角的相关问题. 任务1：理解空间中两条直线所成角的定义. 回顾：空间中两条直线的位置分为几种情况？不同情况下两条直线的夹角大小该如何确定？ 问题：设，分别是空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ，观察下图讨论θ与〈，〉的关系. 任务2：会用向量证明两条直线垂直. 问题：已知a，b是平面α内的两条相交直线，直线n满足n⊥a，n⊥b. 求证：n⊥α. 练一练：已知A，B，C的坐标分别为(0，1，0)，(-1，0，-1)，(2，1，1)，点P的坐标是(x，0，y)，若PA⊥平面ABC，求点P的坐标． 任务3：会用向量求两条直线所成的角. 问题：如图，在三棱锥O-ABC中，OA，OB，OC两两互相垂直，E为OC的中点，且OB = OC = 2OA = 2，求直线AE与BC所成角的大小. 【归纳总结】 求解异面直线夹角方法： 思考：结合上述问题，分别说说用三种方法解决的问题一般步骤是什么，以及这些方法各有什么优缺点？
目标二：掌握异面直线的判定定理，会用空间向量解决异面直线相关问题. 任务1：借助空间向量，探究异面直线的判定定理. 问题：设，分别是空间中直线l1，l2的方向向量. （1）如果l1与l2异面，那么与可能平行吗？ （2）如果与不平行，那么l1与l2一定异面吗？ 思考：那么直线l1与l2异面的充要条件是什么？ 【新知讲解】 空间中两直线l1与l2异面的充要条件： 如图（1）（2）所示，若A∈l1，B∈l2：则l1与l2异面时，可知，，是不共面的；反之，若，，不共面，则l1与l2是异面的. 由此可知，“，，不共面 l1与l2异面”，即“，，不共面”是“l1与l2异面”的充要条件. 任务2：会用空间向量解决异面直线相关问题. 问题：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断满足下列条件的点M，N是否存在：M∈AD1，N∈BD，MN⊥AD1，MN⊥BD. 【归纳总结】 一般地，如果l1与l2是空间中两条异面直线，M∈l1，N∈l2，MN⊥l1，MN⊥l1，则称MN为l1与l2的公垂线段. 空间中任意两条异面直线的公垂线段都存在并且唯一. 两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的距离. 如图所示，直线AA1和直线BC是两条异面直线，直线AB为AA1和BC的唯一一条公垂线段，其中线段AB的长为这两条异面直线之间的距离.
学习总结
任务：回答下列问题. 1.两个向量的夹角与两条直线所成角有何区别？ 2.如何用向量证明两条直线垂直？ 3.简述求两条直线所成的角的方法； 4.如何使用空间向量判定两条直线异面？
2课时7 空间中的点、直线与空间向量
学习目标 1.理解空间中两条直线所成角的定义； 2.会用向量证明两条直线垂直； 3.会用向量求两条直线所成的角； 4.掌握异面直线的判定定理，会用空间向量解决异面直线相关问题.
学习活动
目标一：能解决空间中两条直线所成角的相关问题. 任务1：理解空间中两条直线所成角的定义. 回顾：空间中两条直线的位置分为几种情况？不同情况下两条直线的夹角大小该如何确定？ 参考答案： 平行 (重合)，相交，异面； 两条相交直线所成角的大小：即相交所得到的不大于直角的角的大小； 两条异面直线a，b所成角的大小：等于两条相交直线a'，b'所成角的大小，其中a'∥a且b'∥b； 规定：两条平行直线所成角的大小为0°； 综上所述，空间中任意两条直线所成角的大小都是确定的. 特别地，当空间中两条直线l，m所成角的大小为90°时，l与m垂直，记作l⊥m. 问题：设，分别是空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ，观察下图讨论θ与〈，〉的关系. 参考答案： 由图可知：θ =〈，〉或θ = π –〈，〉； 特别地，sin θ = sin〈，〉，cos θ = |cos〈，〉|； 且l1⊥l2 〈，〉= . 任务2：会用向量证明两条直线垂直. 问题：已知a，b是平面α内的两条相交直线，直线n满足n⊥a，n⊥b. 求证：n⊥α. 参考答案： 证明：如图所示，设m是α内的任意一条直线，且，，，分别为直线n，a，b，m的方向向量. 则由已知可得，，； 因为a与b相交，所以，不共线， 又因为，，共面，所以由共面向量定理可知，存在唯一的实数对 (x，y)，使； 因此，从而可知⊥，所以n⊥m. 因为直线n垂直于平面α内的任意一条直线，所以n⊥α. 练一练：已知A，B，C的坐标分别为(0，1，0)，(-1，0，-1)，(2，1，1)，点P的坐标是(x，0，y)，若PA⊥平面ABC，求点P的坐标． 参考答案： 解：依题意可得，，， ∵PA⊥平面ABC，∴且，即且, ，解得x = -1，y = 2； ∴点P的坐标是(-1，0，2)． 任务3：会用向量求两条直线所成的角. 问题：如图，在三棱锥O-ABC中，OA，OB，OC两两互相垂直，E为OC的中点，且OB = OC = 2OA = 2，求直线AE与BC所成角的大小. 参考答案： （基向量法）根据已知可得，，，不共面，且，，； 又因为，， 所以， 类似地，， ； 所以； 因此，即直线AE与BC所成角的大小为. （坐标法）因为OA，OB，OC两两互相垂直，所以能以O为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示直角坐标系. 由OB = OC = 2OA = 2可知，A (1，0，0)，E (0，0，1)，B (0，2，0)，C (0，0，2)，所以，； 因此， 从而，即直线AE与BC所成角的大小为. （几何法/定义法）如图，设OB的中点为F，连接EF，AF. 由E，F分别为OC，OB中点可知EF为△OBC的中位线，从而EF∥BC； 因此直线AE与BC所成角的大小等于直线AE与EF所成角的大小； 又易知OA = OE = OF = 1，且OA，OE，OF两两垂直， 因此AE = EF = AF =， 所以是等边三角形，从而∠AEF =； 因此，直线AE与BC所成角的大小为. 【归纳总结】 求解异面直线夹角方法： 思考：结合上述问题，分别说说用三种方法解决的问题一般步骤是什么，以及这些方法各有什么优缺点？
目标二：掌握异面直线的判定定理，会用空间向量解决异面直线相关问题. 任务1：借助空间向量，探究异面直线的判定定理. 问题：设，分别是空间中直线l1，l2的方向向量. （1）如果l1与l2异面，那么与可能平行吗？ （2）如果与不平行，那么l1与l2一定异面吗？ 参考答案： （1）l1与l2异面 与不平行；即与不可能平行 （2）与不平行 l1与l2异面或相交；即l1与l2不一定异面. 思考：那么直线l1与l2异面的充要条件是什么？ 【新知讲解】 空间中两直线l1与l2异面的充要条件： 如图（1）（2）所示，若A∈l1，B∈l2：则l1与l2异面时，可知，，是不共面的；反之，若，，不共面，则l1与l2是异面的. 由此可知，“，，不共面 l1与l2异面”，即“，，不共面”是“l1与l2异面”的充要条件. 任务2：会用空间向量解决异面直线相关问题. 问题：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断满足下列条件的点M，N是否存在：M∈AD1，N∈BD，MN⊥AD1，MN⊥BD. 参考答案： 解：以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，正方体的棱长为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A (1，0，0)，D1 (0，0，1)，B (1，1，0)，D (0，0，0)， 所以，，. 假设满足条件的M，N存在，而且，， 则. 因为MN⊥AD1，MN⊥BD，所以⊥，⊥， 从而，解得t =，s =； 因此，满足条件的M，N是存在的. 【归纳总结】 一般地，如果l1与l2是空间中两条异面直线，M∈l1，N∈l2，MN⊥l1，MN⊥l1，则称MN为l1与l2的公垂线段. 空间中任意两条异面直线的公垂线段都存在并且唯一. 两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的距离. 如图所示，直线AA1和直线BC是两条异面直线，直线AB为AA1和BC的唯一一条公垂线段，其中线段AB的长为这两条异面直线之间的距离.
学习总结
任务：回答下列问题. 1.两个向量的夹角与两条直线所成角有何区别？ 2.如何用向量证明两条直线垂直？ 3.简述求两条直线所成的角的方法； 4.如何使用空间向量判定两条直线异面？
2
