课时8 空间中的平面与空间向量
学习目标 1.理解平面法向量的概念与性质； 2.会用平面的法向量、直线的方向向量证明线面、面面的平行、垂直关系.
学习活动
目标一：理解平面法向量的概念与性质. 任务：理解平面法向量的概念与性质. 回顾：如何描述空间中点和直线的位置？ 参考答案：点的位置：位置向量； 直线的位置：直线的方向向量和一定点. 问题：类比点和直线的位置描述，说说怎样借助空间向量来刻画空间中平面的位置？ 参考答案：如图，用操场上的一个点和一个旗杆，可以描述出操场的位置；类似地，可用平面上的一个点和一个空间向量来描述平面. 【新知讲授】 法向量： 如果α是空间中的一个平面，是空间中的一个非零向量，且表示的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称为平面α的一个法向量. 此时，与平面α垂直，记作⊥α. 练一练：如图，根据法向量的定义，找出下面长方体各个面所在平面的一个法向量. 参考答案：如平面ABCD的一个法向量为（答案不唯一）. 【归纳总结】 平面的法向量的定义的认识： （1）一个平面α的法向量不唯一，同一个法向量也可表示为不同平面的法向量； （2）平面α的一个法向量一般用非零向量表示； （3）若非零向量是平面α的一个法向量，则也是平面α的一个法向量. 思考：结合法向量的定义和认识，说说平面的法向量有哪些性质？ 【新知讲授】 平面的法向量的性质： （1）如果直线l垂直平面α，则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量； 如图，AA1⊥平面ABCD，则、、、均为平面ABCD的一个法向量. （2）如果是平面α的一个法向量，则对任意的实数λ ≠ 0，空间向量也是平面α的一个法向量，而且平面α的任意两个法向量都平行； （3）如果是平面α的一个法向量，A为平面α上一个已知的点，则对于平面α上的任意一点B，向量一定与垂直，即 (平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量)； 综上，平面α的位置可由与A唯一确定，即一点和一个法向量可确定一个平面.
目标二：会运用平面的法向量解决相关问题并出相应法向量. 任务1：借助法向量和方向向量证明线面、面面的平行、垂直关系. 问题1：如果是直线l的一个方向向量，是平面α的一个法向量，当∥与⊥时，直线l与平面α分别有什么关系？ 参考答案：如图所示，可以看出： （1）∥ l⊥α；（2）⊥ l∥α或l α. 问题2：如果是平面α1的一个法向量，是平面α2的一个法向量，当⊥与∥时，平面α1与平面α2分别有什么关系？ 参考答案：如图所示，可以看出： （1）⊥ α1⊥α2；（2）∥ α1∥α2或α1与α2重合. 问题3：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1B与A1C1的中点．求证：MN∥面ADD1A1. 参考答案： 证明：以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，正方体的棱长为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系. 则B (1，0，0)，A1 (0，0，1)，C (1，1，1)， 又因为M是A1B的中点，所以M的坐标为，即； 类似地，可得；因此. 又因为AB⊥面ADD1A1，所以是平面ADD1A1的一个法向量，而且= (1，0，0)； 因此，，即. 由图可知MN不在平面ADD1A1内，因此MN∥面ADD1A1. 练一练：试着用几何方法，证明上题中MN∥面ADD1A1. 参考答案： 证明：如图所示，连接BC1，AD1， 在△A1BC1中，因为点M，N分别是A1B和A1C1的中点，所以MN∥BC1； 又因为BC1∥AD1，所以MN∥AD1； 由图可知MN不在平面ADD1A1内，因此MN∥面ADD1A1. 任务2：求平面的法向量. 思考：怎样才能求得空间中平面的一个法向量，其理论依据是什么？ 参考答案：理论依据“直线与平面垂直的判定定理”：如果ABC是平面α内不共线的三点，非零空间向量满足，⊥，⊥，则是平面α的一个法向量. 问题： 如图所示，已知空间直角坐标系中的三棱锥O-ABC中，O(0，0，0)，A(a，0，0)，B(0，b，0)，C(0，0，c)，其中abc≠0，求平面ABC的一个法向量. 参考答案：解：由已知可得， = (0，b，0) – (a，0，0) = (– a，b，0)， = (0，0，c) – (a，0，0) = (– a，0，c)， 设平面ABC的一个法向量为，则 ，将x看成常数，可解得，； 令x = bc，则y = ac，z = ab. 因此，= (bc，ac，ab) 为平面ABC的一个法向量. 【归纳总结】 求平面一个法向量的步骤： 坐标法： （1）根据 (或建立) 坐标系求出必要的点的坐标； （2）分别求出所求平面内两条相交直线的一个方向向量，如， ； （3）设平面的一个法向量为； （4）列出并解方程组； （5）赋非零值，即赋xyz中的一个为非零数值，进而得到另外两个的值； （6）得出结论，得到平面的一个法向量. 练一练：如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点. AB = AP = 1，AD =，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量. 参考答案：解：因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直. 如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，则， 于是； 设为平面ACE的一个法向量为，则 ，将y看成常数，可解得； 令y = -1，则x = z =； 所以平面ACE的一个法向量为= (，-1，).
学习总结
任务：回答下列问题. 1.什么是平面的法向量？它有哪些性质？ 2.如何用平面的法向量、直线的方向向量判断线面、面面的垂直、平行关系？ 3.简述用坐标法求平面的一个法向量的步骤.
2空间中的平面与空间向量
学习目标 1.理解平面法向量的概念与性质； 2.会用平面的法向量、直线的方向向量证明线面、面面的平行、垂直关系.
学习活动
目标一：理解平面法向量的概念与性质. 任务：理解平面法向量的概念与性质. 回顾：如何描述空间中点和直线的位置？ 问题：类比点和直线的位置描述，说说怎样借助空间向量来刻画空间中平面的位置？ 【新知讲授】 法向量： 如果α是空间中的一个平面，是空间中的一个非零向量，且表示的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称为平面α的一个法向量. 此时，与平面α垂直，记作⊥α. 练一练：如图，根据法向量的定义，找出下面长方体各个面所在平面的一个法向量. 【归纳总结】 平面的法向量的定义的认识： （1）一个平面α的法向量不唯一，同一个法向量也可表示为不同平面的法向量； （2）平面α的一个法向量一般用非零向量表示； （3）若非零向量是平面α的一个法向量，则也是平面α的一个法向量. 思考：结合法向量的定义和认识，说说平面的法向量有哪些性质？ 【新知讲授】 平面的法向量的性质： （1）如果直线l垂直平面α，则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量； 如图，AA1⊥平面ABCD，则、、、均为平面ABCD的一个法向量. （2）如果是平面α的一个法向量，则对任意的实数λ ≠ 0，空间向量也是平面α的一个法向量，而且平面α的任意两个法向量都平行； （3）如果是平面α的一个法向量，A为平面α上一个已知的点，则对于平面α上的任意一点B，向量一定与垂直，即 (平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量)； 综上，平面α的位置可由与A唯一确定，即一点和一个法向量可确定一个平面.
目标二：会运用平面的法向量解决相关问题并出相应法向量. 任务1：借助法向量和方向向量证明线面、面面的平行、垂直关系. 问题1：如果是直线l的一个方向向量，是平面α的一个法向量，当∥与⊥时，直线l与平面α分别有什么关系？ 问题2：如果是平面α1的一个法向量，是平面α2的一个法向量，当⊥与∥时，平面α1与平面α2分别有什么关系？ 问题3：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1B与A1C1的中点．求证：MN∥面ADD1A1. 练一练：试着用几何方法，证明上题中MN∥面ADD1A1. 任务2：求平面的法向量. 思考：怎样才能求得空间中平面的一个法向量，其理论依据是什么？ 问题： 如图所示，已知空间直角坐标系中的三棱锥O-ABC中，O(0，0，0)，A(a，0，0)，B(0，b，0)，C(0，0，c)，其中abc≠0，求平面ABC的一个法向量. 【归纳总结】 求平面一个法向量的步骤： 坐标法： （1）根据 (或建立) 坐标系求出必要的点的坐标； （2）分别求出所求平面内两条相交直线的一个方向向量，如， ； （3）设平面的一个法向量为； （4）列出并解方程组； （5）赋非零值，即赋xyz中的一个为非零数值，进而得到另外两个的值； （6）得出结论，得到平面的一个法向量. 练一练：如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点. AB = AP = 1，AD =，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量.
学习总结
任务：回答下列问题. 1.什么是平面的法向量？它有哪些性质？ 2.如何用平面的法向量、直线的方向向量判断线面、面面的垂直、平行关系？ 3.简述用坐标法求平面的一个法向量的步骤.
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