空间中的平面与空间向量
学习目标 1.理解三垂线定理及其逆定理，会用三垂线定理及其逆定理解决简单的问题.
学习活动
目标：理解并运用三垂线定理及其逆定理. 任务1：理解三垂线定理及其逆定理. 问题1：如图，过平面外一点A，能做几条直线与平面α垂直？ 【归纳小结】 点在平面上的射影（投影）： （1）已知空间中的平面α以及点A，过A作α的垂线l，设l与α相交于点A ，则A 就是点A在平面α内的射影（投影）； （2）当A不是平面α内的点时，如果A的射影为A′，则与都是平面α的一个法向量. 思考：一个图形在平面上是否也有上述射影的概念？ 问题2：作出图形F在平面α内的射影，并解释图形射影的概念？ 【新知讲授】 图形在平面上的射影（投影）： （1）如图，若△ABC的顶点A在平面α内，B与C都在平面α外，则分别过B与C作α的垂线，设交点分别为B′，C′，则△AB′C′就是△ABC在平面内的射影； （2）此时与都是平面α的一个法向量. 思考：一个平面几何图形在一个平面内的射影形状可能有几种情况？ 问题3：如图所示，已知AB是平面α的一条斜线且B为斜足（即AB不垂直于α，且AB∩α = B)，设其中A'是A在平面α内的射影，而l是平面α内的一条直线. 判断下列命题是否成立，并用空间向量证明： （1）当l⊥A′B时，l⊥AB； （2）当l⊥AB时，l⊥A′B. 【归纳总结】 三垂线定理及其逆定理： （1）三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直； （2）三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直. 任务2：运用三垂线定理及其逆定理解决简单的问题. 问题1：如图，已知ABCD-A1B1C1D1是一个正方体，求证：A1D⊥BD1. 问题2：如图所示的三棱锥O-ABC中，CO⊥OA，CO⊥OB，且CD为△CAB的AB边上的高，求证：OD⊥AB. 【归纳总结】 应用三垂线定理及其逆定理的思路： 一定平面，二找垂线，三证垂直. 练一练：如图，已知PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点，求证：PO⊥BD，PC⊥BD.
学习总结
任务：回答下列问题. 1.一个平面几何图形在一个平面内的射影形状可能有几种情况？ 2.详细阐述应用三垂线定理及其逆定理的思路？
2空间中的平面与空间向量
学习目标 1.理解三垂线定理及其逆定理，会用三垂线定理及其逆定理解决简单的问题.
学习活动
目标：理解并运用三垂线定理及其逆定理. 任务1：理解三垂线定理及其逆定理. 问题1：如图，过平面外一点A，能做几条直线与平面α垂直？ 参考答案：有且仅有一条. 【归纳小结】 点在平面上的射影（投影）： （1）已知空间中的平面α以及点A，过A作α的垂线l，设l与α相交于点A ，则A 就是点A在平面α内的射影（投影）； （2）当A不是平面α内的点时，如果A的射影为A′，则与都是平面α的一个法向量. 思考：一个图形在平面上是否也有上述射影的概念？ 问题2：作出图形F在平面α内的射影，并解释图形射影的概念？ 参考答案： 如图，图形F上所有点在平面α内的射影所组成的集合F ，称为图形F在平面α内的射影. 【新知讲授】 图形在平面上的射影（投影）： （1）如图，若△ABC的顶点A在平面α内，B与C都在平面α外，则分别过B与C作α的垂线，设交点分别为B′，C′，则△AB′C′就是△ABC在平面内的射影； （2）此时与都是平面α的一个法向量. 思考：一个平面几何图形在一个平面内的射影形状可能有几种情况？ 问题3：如图所示，已知AB是平面α的一条斜线且B为斜足（即AB不垂直于α，且AB∩α = B)，设其中A'是A在平面α内的射影，而l是平面α内的一条直线. 判断下列命题是否成立，并用空间向量证明： （1）当l⊥A′B时，l⊥AB； （2）当l⊥AB时，l⊥A′B. 参考答案：设∥l，则由⊥α且l α可知⊥，即； （1）如果l⊥A′B，则⊥，， 又因为， 所以； 因此，l⊥AB； （2）如果l⊥AB，则⊥，， 又因为， 所以； 因此，l⊥A B； 【归纳总结】 三垂线定理及其逆定理： （1）三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直； （2）三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直. 任务2：运用三垂线定理及其逆定理解决简单的问题. 问题1：如图，已知ABCD-A1B1C1D1是一个正方体，求证：A1D⊥BD1. 参考答案： 证明：连接AD1， 因为ABCD-A1B1C1D1是正方体，所以AB⊥面ADD1A1， 因此BD1在平面ADD1A1内的射影为AD1； 又因为ADD1A1是正方形，所以A1D⊥AD1， 因此根据三垂线定理可知A1D⊥BD1. 问题2：如图所示的三棱锥O-ABC中，CO⊥OA，CO⊥OB，且CD为△CAB的AB边上的高，求证：OD⊥AB. 参考答案： 证明：因为CO⊥OA，CO⊥OB，OA∩OB = O，所以CO⊥面OAB； 因为CD在平面OAB内的射影为OD，又因为CD⊥AB， 所以根据三垂线定理的逆定理可知OD⊥AB. 【归纳总结】 应用三垂线定理及其逆定理的思路： 一定平面，二找垂线，三证垂直. 练一练：如图，已知PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点，求证：PO⊥BD，PC⊥BD. 参考答案： 证明：因为PA⊥正方形ABCD所在平面，则PO，PC在平面ABCD内的射影为AO，AC， 又因为AC，BD为正方形ABCD的对角线， 所以AC⊥BD，AO⊥BD， 由三垂线定理得，PO⊥BD，PC⊥BD.
学习总结
任务：回答下列问题. 1.一个平面几何图形在一个平面内的射影形状可能有几种情况？ 2.详细阐述应用三垂线定理及其逆定理的思路？
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