直线与平面的夹角
学习目标 1.理解斜线与平面所成角的概念与性质； 2.能辨析斜线与平面所成的角和直线与平面的夹角的区别； 3.运用斜线与平面所成角的性质解决相关问题.
学习活动
目标一：理解直线与平面的夹角的概念与性质. 任务1：理解斜线与平面所成的角的概念. 情境：日常生活中，很多场景中都有直线与平面成一定角度的形象. 如图（1）所示，握笔写字时，如果把笔抽象成直线，把纸抽象成平面，则直线与平面成一定角度；如图（2）所示，地球仪的地轴（即旋转轴）与赤道所在的平面垂直，并且与水平桌面成一定角度. 思考：结合上述实例，说说该如何刻画直线与平面所成的角呢？ 【归纳小结】 两种特殊情况下平面与直线所成的角： （1）若l⊥α，则直线与这个平面所成的角为90°； （2）若l∥α，或l α，则直线与这个平面所成的角为0°. 问题：如图所示，设l是平面α的一条斜线，m是平面α内的任意一条直线. 能否将m与l所成的角定义为直线l与平面α所成的角？ 参考答案：如下图所示，当m的位置不同时，m与l所成角的大小可能也不同，因此不能将其定义为直线l与平面α所成的角. 【新知讲授】 斜线与平面所成的角： 平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，称为这条斜线与平面所成的角. 如图所示，如果直线AB是平面α的一条斜线，B为斜足，A'B是直线AB在平面α内的射影，则∠ABA'就是直线AB与平面α所成的角. 练一练：若直线m不平行于平面α，则直线m与平面α所成角θ的范围是___________. 参考答案：θ∈[0，]. 任务2：探究斜线与平面所成的角的性质. 问题1：如图所示，设AO是平面α的一条斜线段，O为斜足，A'为A在平面α内的射影，而OM是平面α内的一条射线，A′M⊥OM. 记∠AOA' = θ1，∠A'OM = θ2，∠AOM = θ. （1）直观上判断θ1与θ的大小关系； （2）证明：AM⊥OM； （3）探究θ1，θ2，θ三者之间的等量关系. 参考答案： （1）θ1 ≤ θ； （2）证明：∵AA'⊥α，∴△AA'O，△AA'M都是直角三角形，且A'M是AM在平面α内的射影； 因此，根据A'M⊥OM与三垂线定理可知AM⊥OM且△AMO也是直角三角形. （3）如果设OA = 1，则在Rt△AA'O中，OA' = OAcos θ1 = cos θ1， 因此在Rt△OMA'中，OM = OA'cos θ2 = cos θ1cos θ2； 另在Rt△AMO中，有OM = OAcos θ = cos θ. 因此cos θ = cos θ1cos θ2 . 思考：根据等量关系cos θ = cos θ1cos θ2，判断θ1和θ的大小关系是怎样的？ 参考答案： ∵0 ≤ cos θ2 ≤ 1，cos θ = cos θ1cos θ2，∴cos θ < cos θ1， 又∵θ1和θ都是锐角，∴θ1 ≤ θ. 【归纳总结】 最小角定理：平面的斜线与平面所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角. 【新知讲授】 直线与平面所成角：空间中任意一条直线与任意一个平面所成的角的大小都是确定的，直线与平面所成的角也称为它们的夹角. 练一练：如图所示，已知∠BAC在平面α内，过该角的顶点A引平面α的斜线AP，且使∠PAB =∠PAC，求证：斜线AP在平面α内的射影平分∠BAC. 参考答案：设点P在平面α内的射影为点M，则AM为AP在平面α内的射影. 根据前面的结论有： cos∠PAB = cos∠PAM cos∠BAM，cos∠PAC = cos∠PAM cos∠CAM， 由∠PAB =∠PAC可得cos∠BAM = cos∠CAM， 因此∠BAM =∠CAM，即AM平分∠BAC. 问题2：如图所示，平面α外一点P在α内的射影为P′，过P作平面α的斜线段PA1，PA2，且A1，A2均为斜足，设PA1，PA2与平面α所成角分别为θ1，θ2. （1）若PA1 = PA2，则θ1，θ2之间有什么大小关系？ （2）若P′A1 = P′A2，则θ1，θ2之间有什么大小关系？ 参考答案： （1）∵PP'⊥α，∴△PP'A1与△PP'A2都是直角三角形， ∴PP' = PA1 sin θ1 = PA2 sin θ2； 又∵θ1，θ2都是锐角，∴当PA1 = PA2时，θ1 = θ2； （2）同理得 PP' = P'A1 tan θ1=P'A2 tan θ2， ∴当P'A1 = P'A2时，θ1 = θ2. 【归纳总结】 经过平面外同一点所作的平面的多条斜线中，斜线段长、射影长及斜线与平面所成的角，只要有一个相等，则另外两个也对应相等. 如图所示，即AB = AC OB = OC θ1 = θ2. 问题3：当线段AB所在的直线与平面α所成的角为θ，且AB在平面α内的射影为A'B'时，线段A'B'和AB之间有什么大小关系？ 参考答案：如图所示，作出不同情况下线段AB的射影，则 （1）当θ = 0°时，A'B' = AB，满足A'B' = ABcos θ； （2）当θ = 90°时，A'与B'重合，满足A'B' = ABcos θ； （3）当0°< θ <90°时，A'B' = ABcos θ； 综上可得，当线段AB所在的直线与平面α所成的角为θ，且AB在平面α内的射影为A'B'时，有A'B' = ABcos θ. 练一练：已知直线l与平面α所成的角为θ，且A，B是直线上两点. 若AB = 6，θ =，求线段AB在平面α内的射影A'B'的长. 参考答案：A'B' = ABcos= 6×= 3.
学习总结
任务：回答下列问题，构建知识导图. 1.简述斜线与平面所成的角和直线与平面的夹角的区别与联系.？ 2.举例说明，斜线与平面所成角的性质，分别有何应用？
2直线与平面的夹角
学习目标 1.理解斜线与平面所成角的概念与性质； 2.能辨析斜线与平面所成的角和直线与平面的夹角的区别； 3.运用斜线与平面所成角的性质解决相关问题.
学习活动
目标一：理解直线与平面的夹角的概念与性质. 任务1：理解斜线与平面所成的角的概念. 情境：日常生活中，很多场景中都有直线与平面成一定角度的形象. 如图（1）所示，握笔写字时，如果把笔抽象成直线，把纸抽象成平面，则直线与平面成一定角度；如图（2）所示，地球仪的地轴（即旋转轴）与赤道所在的平面垂直，并且与水平桌面成一定角度. 思考：结合上述实例，说说该如何刻画直线与平面所成的角呢？ 【归纳小结】 两种特殊情况下平面与直线所成的角： （1）若l⊥α，则直线与这个平面所成的角为90°； （2）若l∥α，或l α，则直线与这个平面所成的角为0°. 问题：如图所示，设l是平面α的一条斜线，m是平面α内的任意一条直线. 能否将m与l所成的角定义为直线l与平面α所成的角？ 【新知讲授】 斜线与平面所成的角： 平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，称为这条斜线与平面所成的角. 如图所示，如果直线AB是平面α的一条斜线，B为斜足，A'B是直线AB在平面α内的射影，则∠ABA'就是直线AB与平面α所成的角. 练一练：若直线m不平行于平面α，则直线m与平面α所成角θ的范围是___________. 任务2：探究斜线与平面所成的角的性质. 问题1：如图所示，设AO是平面α的一条斜线段，O为斜足，A'为A在平面α内的射影，而OM是平面α内的一条射线，A′M⊥OM. 记∠AOA' = θ1，∠A'OM = θ2，∠AOM = θ. （1）直观上判断θ1与θ的大小关系； （2）证明：AM⊥OM； （3）探究θ1，θ2，θ三者之间的等量关系. 思考：根据等量关系cos θ = cos θ1cos θ2，判断θ1和θ的大小关系是怎样的？ 【归纳总结】 最小角定理：平面的斜线与平面所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角. 【新知讲授】 直线与平面所成角：空间中任意一条直线与任意一个平面所成的角的大小都是确定的，直线与平面所成的角也称为它们的夹角. 练一练：如图所示，已知∠BAC在平面α内，过该角的顶点A引平面α的斜线AP，且使∠PAB =∠PAC，求证：斜线AP在平面α内的射影平分∠BAC. 问题2：如图所示，平面α外一点P在α内的射影为P′，过P作平面α的斜线段PA1，PA2，且A1，A2均为斜足，设PA1，PA2与平面α所成角分别为θ1，θ2. （1）若PA1 = PA2，则θ1，θ2之间有什么大小关系？ （2）若P′A1 = P′A2，则θ1，θ2之间有什么大小关系？ 【归纳总结】 经过平面外同一点所作的平面的多条斜线中，斜线段长、射影长及斜线与平面所成的角，只要有一个相等，则另外两个也对应相等. 如图所示，即AB = AC OB = OC θ1 = θ2. 问题3：当线段AB所在的直线与平面α所成的角为θ，且AB在平面α内的射影为A'B'时，线段A'B'和AB之间有什么大小关系？ 练一练：已知直线l与平面α所成的角为θ，且A，B是直线上两点. 若AB = 6，θ =，求线段AB在平面α内的射影A'B'的长.
学习总结
任务：回答下列问题，构建知识导图. 1.简述斜线与平面所成的角和直线与平面的夹角的区别与联系.？ 2.举例说明，斜线与平面所成角的性质，分别有何应用？
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