直线与平面的夹角
学习目标 1.理解直线方向向量和平面法向量的夹角与线面角的关系. 2.会用空间向量求直线与平面的夹角.
学习活动
目标：会用空间向量求直线与平面的夹角. 任务1：理解直线方向向量和平面法向量的夹角与线面角的关系. 问题：如果是直线l的一个方向向量，是平面α的一个法向量，设直线l与平面α所成角的大小为θ. 观察下图，讨论θ与〈，〉的关系. 思考：结合上面θ与〈，〉的关系，说说它们的正、余弦之间有何关系？ 练一练：如果是直线l的一个方向向量，是直线l在平面α内的射影的一个方向向量，设直线l与平面α所成角的大小为θ. 试着通过作图讨论θ与〈，〉的关系. 任务2：用空间向量求直线与平面的夹角. 问题1：已知ABCD-A′B′C′D′是正方体，试用向量的方法求B′D′与平面A′BCD′所成角的大小？ 【归纳总结】 用空间向量法求直线与平面的夹角的基本步骤： （1）建系，写出相关点的坐标； （2）求直线方向向量及平面法向量； （3）利用向量的夹角公式求出向量夹角的三角函数值； （4）结合图形(角的关系)及三角函数值关系确定角的值，并写出结论. 追问：根据直线与平面所成角的定义及几何推理是否也可解答上述问题？ 问题2：已知ABCD-A′B′C′D′是正方体，试根据直线与平面所成角的定义及几何推理，求B′D′与平面A′BCD′所成角的大小？ 【归纳总结】 用定义法及几何推理求直线与平面的夹角的基本步骤： （1）找到(或作出)斜线(斜线段)上一点到平面的垂线(或垂线段)，并证明； （2）找到(或作出)斜线(斜线段)在平面内的射影，并确定线面角； （3）根据题目条件解直角三角形，经计算(或推理)得到角的值； （4）写出结论. 思考：试比较上述两种解法的优缺点. 【归纳总结】 向量法与几何推理法求直线与平面的夹角的优缺点： 练一练：如图，已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA = AC =AB，N为AB上一点，AB = 4AN，M，S分别为PB，BC的中点，求SN与平面CMN所成角的大小.
学习总结
任务：回答下列问题. 1.简述直线方向向量和平面法向量的夹角与线面角的关系； 2.简述用空间向量求直线与平面的夹角的基本步骤.
2直线与平面的夹角
学习目标 1.理解直线方向向量和平面法向量的夹角与线面角的关系. 2.会用空间向量求直线与平面的夹角.
学习活动
目标：会用空间向量求直线与平面的夹角. 任务1：理解直线方向向量和平面法向量的夹角与线面角的关系. 问题：如果是直线l的一个方向向量，是平面α的一个法向量，设直线l与平面α所成角的大小为θ. 观察下图，讨论θ与〈，〉的关系. 参考答案： 如图（1）（4）所示，θ = –〈，〉； 如图（2）（3）所示，θ =〈，〉– ； 综上，θ = –〈，〉或θ =〈，〉– ，θ∈[0，]. 思考：结合上面θ与〈，〉的关系，说说它们的正、余弦之间有何关系？ 参考答案：cos θ = sin〈，〉；sin θ = | cos〈，〉| . 练一练：如果是直线l的一个方向向量，是直线l在平面α内的射影的一个方向向量，设直线l与平面α所成角的大小为θ. 试着通过作图讨论θ与〈，〉的关系. 参考答案： 如图（1）（4）所示，θ = π –〈，〉； 如图（2）（3）所示，θ =〈，〉； 综上，θ = π –〈，〉或θ =〈，〉，即θ与〈，〉的关系是相等或互为补角. 任务2：用空间向量求直线与平面的夹角. 问题1：已知ABCD-A′B′C′D′是正方体，试用向量的方法求B′D′与平面A′BCD′所成角的大小？ 参考答案：以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，正方体的棱长为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系. 则A′(1，0，1)，B(1，1，0)，D′(0，0，1)，B′(1，1，1)， 所以，，； 设平面A′BCD′的一个法向量为= (x，y，z)，则 ，取 = 1，可得= (0，1，1)； 又因为，所以. 即B′D′与平面A′BCD′所成角θ的大小为：. 【归纳总结】 用空间向量法求直线与平面的夹角的基本步骤： （1）建系，写出相关点的坐标； （2）求直线方向向量及平面法向量； （3）利用向量的夹角公式求出向量夹角的三角函数值； （4）结合图形(角的关系)及三角函数值关系确定角的值，并写出结论. 追问：根据直线与平面所成角的定义及几何推理是否也可解答上述问题？ 问题2：已知ABCD-A′B′C′D′是正方体，试根据直线与平面所成角的定义及几何推理，求B′D′与平面A′BCD′所成角的大小？ 参考答案：如下图所示，设A′B的中点为E，连接B′E，D′E ∵ABB′A′是正方形，∴B′E⊥A′B， 又∵D′A′⊥面ABB′A′，且B′E 面ABB′A′，∴D′A′⊥B′E. 再根据D′A′∩A′B=A′，可知B′E⊥面A′BCD′ 因此B′D′在面A′BCD′内的射影为D′E， ∴∠B′D′E就是B′D′与平面A′BCD′所成的角. ∵正方体中有B′D = 2B′E，∴在Rt△B′ED′中，sin∠B′D′E =； 又∵∠B′D′E是一个锐角，∴∠B′D′E =，即B′D′与平面A′BCD′所成角的大小为. 【归纳总结】 用定义法及几何推理求直线与平面的夹角的基本步骤： （1）找到(或作出)斜线(斜线段)上一点到平面的垂线(或垂线段)，并证明； （2）找到(或作出)斜线(斜线段)在平面内的射影，并确定线面角； （3）根据题目条件解直角三角形，经计算(或推理)得到角的值； （4）写出结论. 思考：试比较上述两种解法的优缺点. 【归纳总结】 向量法与几何推理法求直线与平面的夹角的优缺点： 练一练：如图，已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA = AC =AB，N为AB上一点，AB = 4AN，M，S分别为PB，BC的中点，求SN与平面CMN所成角的大小. 参考答案： 解：设PA = 1，以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系. 则C (0，1，0)，M (1，0，)，N (，0，0)，S (1，，0)， 所以，，； 设平面CMN的一个法向量为= (x，y，z)，则 ，取y = 1，可得= (2，1，–2)； 又因为，所以； 从而可知SN与平面CMN所成角的大小为.
学习总结
任务：回答下列问题. 1.简述直线方向向量和平面法向量的夹角与线面角的关系； 2.简述用空间向量求直线与平面的夹角的基本步骤.
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