二面角
学习目标 1.理解两平面的法向量的夹角与两平面夹角的关系； 2.会用平面的法向量求两个平面的夹角.
学习活动
目标一：理解两平面的法向量的夹角与两平面夹角的关系. 任务：利用平面的法向量研究平面与平面所成的角. 回顾：在空间中，是如何借助直线的方向向量和平面的法向量来研究直线与平面的所成的角？ 问题1：如果，分别是平面α1，α2的一个法向量，设α1与α2所成角的大小为θ，观察下图，讨论θ与〈，〉之间有什么关系？ 参考答案：如图（1）（2）所示，可以看出： θ =〈，〉或θ = π –〈，〉； 特别地，sin θ = sin〈，〉. 思考：当二面角θ是钝角时，θ与〈，〉之间的关系？ 练一练：设平面α的一个法向量= (1，1，0)，平面β的一个法向量为= (1，0，-1)，求二面角α-l-β的大小. 参考答案：解：∵= (1，1，0)，= (1，0，-1)， ∴，∴〈，〉= 60°. ∴则二面角α-l-β的大小为60°或120°.
目标二：会用空间向量求二面角的大小. 任务：借助平面的法向量，掌握空间向量求二面角的大小的方法及步骤. 问题1：如图所示，已知四棱锥S-ABCD中，SA⊥面ABCD，ABCD为直角梯形，∠DAB =∠ABC=90°，且SA = AB = BC = 3AD，求平面SAB与SCD所成角的正弦值. 参考答案：解：依题意，AD，AB，AS两两互相垂直. 以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，AD的长为单位长度，建立如所示的空间直角坐标系. 则A (0，0，0)，S (0，0，3)，C (3，3，0)，D (1，0，0)， 所以= (1，0，0)，= (-1，0，3)，= (2，3，0). 显然，是平面SAB的一个法向量. 设平面SCD的一个法向量为= (x，y，z)，则； 令x = 3，可得y = -2，z = 1，此时= (3，-2，1). 因为， 所以可知所求角的正弦值为. 问题2：如图所示，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB = 90°，AC = BC = 1，AA1 = 2，且D是AA1的中点.求平面BDC与平面BDC1所成角的大小. 参考答案：解：依题意，CA，CB，CC1两两互相垂直. 以C为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 则C (0，0，0)，B (0，1，0)，D (1，0，1)，C1 (0，0，2)， 所以= (0，1，0)，= (1，0，1)，= (-1，0，1)，= (0，-1，2)； 设平面BDC的一个法向量为= (x1，y1，z1)，则； 令z1 = 1，则得x1 = -1，y1 = 0，此时= (-1，0，1)； 设平面BDC1的一个法向量为= (x2，y2，z2)，则； 令z2 = 1，则得x2 = 1，y2 = 2，此时= (1，2，1). 因为= (-1)×1 + 0×2 + 1×1 = 0，所以(，) = 90°，可得平面BDC与平面BDC1所成角的大小为90°，即这两个平面是互相垂直的. 【归纳总结】 向量法求二面角的一般步骤： （1）建立空间直角坐标系，写出必要点的坐标； （2）求出两组有公共顶点的棱(线段)的方向向量； （3）分别求出两个平面的法向量； （4）求出向量夹角的三角函数值； （5）写出结论. 练一练：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，求平面A1ED与平面ABCD所成的角的余弦值. 参考答案：解：如图，以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz， 设棱长为1，则A1(0，0，1)，E(1，0，)，D(0，1，0)， ∴= (0，1，-1)，= (1，0，)， 设平面A1ED的一个法向量为= (x，y，z)，则， 令x = 1，则y = 2，z = 2，此时= (1，2，2)； ∵平面ABCD的一个法向量为= (0，0，1)， ∴cos <，> ==， 即平面A1ED与平面ABCD所成角的余弦值为.
学习总结
任务：回答下列问题. 1.两平面的平面角与其法向量夹角有怎样的关系？ 2.向量法求二面角的一般步骤是什么？
2二面角
学习目标 1.理解两平面的法向量的夹角与两平面夹角的关系； 2.会用平面的法向量求两个平面的夹角.
学习活动
目标一：理解两平面的法向量的夹角与两平面夹角的关系. 任务：利用平面的法向量研究平面与平面所成的角. 回顾：在空间中，是如何借助直线的方向向量和平面的法向量来研究直线与平面的所成的角？ 问题1：如果，分别是平面α1，α2的一个法向量，设α1与α2所成角的大小为θ，观察下图，讨论θ与〈，〉之间有什么关系？ 思考：当二面角θ是钝角时，θ与〈，〉之间的关系？ 练一练：设平面α的一个法向量= (1，1，0)，平面β的一个法向量为= (1，0，-1)，求二面角α-l-β的大小.
目标二：会用空间向量求二面角的大小. 任务：借助平面的法向量，掌握空间向量求二面角的大小的方法及步骤. 问题1：如图所示，已知四棱锥S-ABCD中，SA⊥面ABCD，ABCD为直角梯形，∠DAB =∠ABC=90°，且SA = AB = BC = 3AD，求平面SAB与SCD所成角的正弦值. 问题2：如图所示，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB = 90°，AC = BC = 1，AA1 = 2，且D是AA1的中点.求平面BDC与平面BDC1所成角的大小. 【归纳总结】 向量法求二面角的一般步骤： （1）建立空间直角坐标系，写出必要点的坐标； （2）求出两组有公共顶点的棱(线段)的方向向量； （3）分别求出两个平面的法向量； （4）求出向量夹角的三角函数值； （5）写出结论. 练一练：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，求平面A1ED与平面ABCD所成的角的余弦值.
学习总结
任务：回答下列问题. 1.两平面的平面角与其法向量夹角有怎样的关系？ 2.向量法求二面角的一般步骤是什么？
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