二面角
学习目标 1.理解二面角及其平面角的概念； 2.掌握求二面角的基本方法和步骤，会求二面角的大小. 3.掌握二面角的平面角作法.
学习活动
目标一：理解二面角及其平面角的概念. 任务：借助生活中的实例，直观认知二面角，理解二面角的概念. 回顾：在初中，角的定义是什么？ 参考答案：由公共端点出发的两条射线组成的图形叫做角，公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的两条边. 情境：日常生活中，很多场景中都有平面与平面成一定角度的形象，如图所示，建造大坝时，为了加固大坝，大坝外侧的平面一般会与水平面成一定角度；又如，很多古建筑的屋顶都是二面角的形象. 问题1：观察上述情境，通过类比线与线所成的角的构成，尝试刻画平面与平面所成的角的构成. 参考答案： 射线与射线所成角：直线上的一个点把这条直线分成两个部分，其中的每一部分都叫做射线； 平面与平面所成角：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中的每一部分都叫做半平面. 【新知讲解】 二面角的相关概念： （1）从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面； （2）如图，在二面角α-l-β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA，OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角. 规定： ① 二面角的大小用它的平面角大小来度量，即二面角的大小等于它的平面角的大小； ② 平面角是直角的二面角称为直二面角； ③ 二面角及其平面角的大小范围为 [0，180°]； ④ 两平面相交时，它们所成角的大小，是它们所形成的四个二面角中，不小于0°且不大于90°的角的大小. （如图所示，黄赤交角为23°26 ） 思考：找出生活中存在的二面角，并说说如何测量它们的平面角？ 参考答案：如教室的墙角，书桌上的台灯等.
目标二：会求二面角的大小. 任务：完成下列问题，掌握求二面角的基本方法和步骤，会求二面角的大小. 问题1：如图所示，已知二面角α-l-β的棱上有A，B两个点，AC α且AC⊥l，BD β且BD⊥l，若AB = 6，AC = 3，BD = 4，CD = 7，求二面角α-l-β的大小. 参考答案：解：如图所示，在平面β内过A作BD的平行线AE，且使得AE = BD，连接CE，ED. 因为四边形AEDB是一个矩形，∠CAE是二面角α-l-β的一个平面角， 又AB⊥面AEC，所以ED⊥面AEC，从而 . 在△AEC中，由余弦定理可知 ，因此∠CAE =； 即所求二面角的大小为. 【归纳总结】 定义法求二面角的一般步骤： （1）作(找)出二平面的平面角； （2）写出(或证明)作(找)出平面角的过程； （3）计算：利用解三角形知识求解； （4）结论：根据题意给出结果. 问题2：如图所示，设S为二面角α-AB-β的半平面α上的一点，过点S作半平面β的垂线SS'，设O为棱AB上一点. （1）判断SO⊥AB是S′O⊥AB的什么条件； （2）结合二面角的平面角作法，如何用其他方法做出二面角的平面角？ 参考答案： （1）因为S′是S在平面β内的射影，所以S′O是SO在平面β内的射影； 又根据三垂线定理及其逆定理可知，SO⊥AB是S′O⊥AB的充要条件. （2）当二面角α-AB-β是一个锐角时，能得到作出它的平面角的另一种方法： ①过其中一个半平面内一点S，作另一个半平面的垂线段SS′； ②过S(或S′)作棱的垂线SO(或S′O)； ③连接S′O(或SO)即可. 拓展：面积射影定理：射影三角形与原三角形的面积之比为cos θ. 下图中，如果二面角α-AB-β的大小为θ， 则在△SOS′中，因为，所以，即射影三角形与原三角形的面积之比为cos θ. 问题3：如图所示三棱锥S-ABC中，面SAC⊥面ABC，SA = SC =，AB = BC = 2，且AB⊥BC，求二面角S-AB-C的大小. 参考答案： 解：设O，E分别为AC，AB的中点，连接SO，OE，SE，如图所示. 因为SA = SC，所以 SO⊥AC， 又因为面SAC⊥面ABC，所以SO⊥面ABC， 因此SE在平面ABC内的射影为OE，且OE为△ABC的中位线，AB⊥BC，所以AB⊥OE. 由三垂线定理可知AB⊥SE，因此∠SEO为二面角S-AB-C的一个平面角. 由AB = BC = 2且AB⊥BC可知AC =， 又因为SO =，而且EO =BC = 1， 从而∠SEO = 45°，即所求二面角大小为45°. 【归纳总结】 求二面角的一般方法（综合几何法）： （1）定义法：在棱上任取一点，过这点在两个半平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角； （2）利用三垂线定理及其逆定理：自二面角的一个面上的一点向另一个平面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点(即斜足)，斜足与面上这一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角，就是二面角的平面角； （3）射影面积公式法：； (S 表示射影图形面积，S表示原图形面积). 练一练：已知正方体ABCD-A1B1C1D1，棱长为1，求二面角B1-A1C1-B的大小. 参考答案：解：如图，设O为A1C1的中点，连接B1O，BO. ∵BB1⊥面A1B1C1D1，∴BO在平面A1B1C1内的射影为B1O， 又∵A1B1 = C1B1，∴B1O⊥A1C1，∴BO⊥A1C1， ∴∠BOB1是二面角B1-A1C1-B的平面角； ∵，∴∠BOB1 = 45°，即所求二面角大小为45°.
学习总结
任务：回答下列问题. 1.辨析二面角与二面角的平面角的概念区别； 2.简述求二面角的基本方法有哪几种？ 3.简述定义法求二面角的大小的一般步骤.
2二面角
学习目标 1.理解二面角及其平面角的概念； 2.掌握求二面角的基本方法和步骤，会求二面角的大小. 3.掌握二面角的平面角作法.
学习活动
目标一：理解二面角及其平面角的概念. 任务：借助生活中的实例，直观认知二面角，理解二面角的概念. 回顾：在初中，角的定义是什么？ 情境：日常生活中，很多场景中都有平面与平面成一定角度的形象，如图所示，建造大坝时，为了加固大坝，大坝外侧的平面一般会与水平面成一定角度；又如，很多古建筑的屋顶都是二面角的形象. 问题1：观察上述情境，通过类比线与线所成的角的构成，尝试刻画平面与平面所成的角的构成. 【新知讲解】 二面角的相关概念： （1）从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面； （2）如图，在二面角α-l-β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA，OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角. 规定： ① 二面角的大小用它的平面角大小来度量，即二面角的大小等于它的平面角的大小； ② 平面角是直角的二面角称为直二面角； ③ 二面角及其平面角的大小范围为 [0，180°]； ④ 两平面相交时，它们所成角的大小，是它们所形成的四个二面角中，不小于0°且不大于90°的角的大小. （如图所示，黄赤交角为23°26 ） 思考：找出生活中存在的二面角，并说说如何测量它们的平面角？
目标二：会求二面角的大小. 任务：完成下列问题，掌握求二面角的基本方法和步骤，会求二面角的大小. 问题1：如图所示，已知二面角α-l-β的棱上有A，B两个点，AC α且AC⊥l，BD β且BD⊥l，若AB = 6，AC = 3，BD = 4，CD = 7，求二面角α-l-β的大小. 【归纳总结】 定义法求二面角的一般步骤： （1）作(找)出二平面的平面角； （2）写出(或证明)作(找)出平面角的过程； （3）计算：利用解三角形知识求解； （4）结论：根据题意给出结果. 问题2：如图所示，设S为二面角α-AB-β的半平面α上的一点，过点S作半平面β的垂线SS'，设O为棱AB上一点. （1）判断SO⊥AB是S′O⊥AB的什么条件； （2）结合二面角的平面角作法，如何用其他方法做出二面角的平面角？ 拓展：面积射影定理：射影三角形与原三角形的面积之比为cos θ. 下图中，如果二面角α-AB-β的大小为θ， 则在△SOS′中，因为，所以，即射影三角形与原三角形的面积之比为cos θ. 问题3：如图所示三棱锥S-ABC中，面SAC⊥面ABC，SA = SC =，AB = BC = 2，且AB⊥BC，求二面角S-AB-C的大小. . 【归纳总结】 求二面角的一般方法（综合几何法）： （1）定义法：在棱上任取一点，过这点在两个半平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角； （2）利用三垂线定理及其逆定理：自二面角的一个面上的一点向另一个平面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点(即斜足)，斜足与面上这一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角，就是二面角的平面角； （3）射影面积公式法：； (S 表示射影图形面积，S表示原图形面积). 练一练：已知正方体ABCD-A1B1C1D1，棱长为1，求二面角B1-A1C1-B的大小.
学习总结
任务：回答下列问题. 1.辨析二面角与二面角的平面角的概念区别； 2.简述求二面角的基本方法有哪几种？ 3.简述定义法求二面角的大小的一般步骤.
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