空间中的距离
学习目标 1.理解空间中两点间的距离及点到直线的距离的概念； 2.会用向量方法求两点间的距离及点到直线的距离的概念.
学习活动
目标一：理解空间中两点间的距离及点到直线的距离的概念. 任务：借助生活情境，理解空间中两点之间的距离及点到直线的距离的概念. 情境：生活中可以看到很多道路上都有限高杆. 其主要的作用是为了防止过高的车辆通过，以保障车辆和路上的设备设施的安全. 如限高路段内有不能移动的重要电缆、管道，或者涵洞，或者附近有高速路桥、铁路桥等. 思考：试用数学的语言解释上图中所示的限高3.1 m是什么意思？ 问题1：小学和初中阶段学过哪些平面内的“距离”的概念？ 思考：观察上述定义和图形，说说这三种距离有什么共同的特点？ 【归纳小结】 平面中的三种距离都可以归结为点与点的距离，而且是所有的点与点之间最短连线的长度. 如图所示，在△ABC中，高AD的长就是顶点A到直线BC的距离，即A与直线BC上的点的最短连线的长度. 空间中任意两个图形之间的距离要小于等于两个端点分别在这两个图形上的线段长. 如图，两图形之间的距离AC，一定小于（或等于）AB的线段长. 【新知讲解】 距离的概念： 一个图形内的任一点与另一个图形内的任一点的距离中的最小值，叫做图形与图形的距离. 如图所示，一个图形F1内的任一点与另一个图形F2内的任一点的距离中的最小值，叫做图形F1与图形F2的距离（图中线段b的长）.
目标二：会用向量方法求两点间的距离及点到直线的距离. 任务1：通过向量，求空间中两点之间的距离. 问题：如图所示，已知ABCD-A'B'C'D'是平行六面体AD = 3，AB = 4，AA' = 5，∠BAD = 90°，∠BAA' =∠DAA' = 60°，求AC'的长. 练一练：如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB. 已知AB = 4，AC = 6，BD = 8，求CD的长. 任务2：通过向量，求空间中点到直线的距离. 回顾：空间中点A到直线l的距离：经过A点到直线l的垂线段的长. 点到直线的距离也是这个点与直线上点的最短连线的长度. 如图，点A是直线l外一点，若AB是直线l的垂线段，则AB的长就是点A到直线l的距离，这一距离等于||. 问题：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求点C1到直线BD1的距离. 【归纳总结】 用空间向量求点到直线距离的基本方法： ① 在空间直角坐标系内，用已知线段的向量表示出直线的一个方向向量； ② 用已知线段的向量刻画垂足； ③ 根据直线与垂线段的垂直关系（数量积为0)求垂足的坐标； ④ 求出垂线段的向量； ⑤ 求出垂线段的向量的模. 练一练：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，尝试用几何法求点C1到直线BD1的距离. 思考：结合上述问题，比较向量法和几何法求点到直线的优缺点？
学习总结
任务：回答下列问题，构建本课知识导图. 1.阐述图形与图形距离的概念，并说出理论依据； 2.简述向量法求空间中两点之间的距离及点到直线的距离的基本思路与步骤.
2空间中的距离
学习目标 1.理解空间中两点间的距离及点到直线的距离的概念； 2.会用向量方法求两点间的距离及点到直线的距离的概念.
学习活动
目标一：理解空间中两点间的距离及点到直线的距离的概念. 任务：借助生活情境，理解空间中两点之间的距离及点到直线的距离的概念. 情境：生活中可以看到很多道路上都有限高杆. 其主要的作用是为了防止过高的车辆通过，以保障车辆和路上的设备设施的安全. 如限高路段内有不能移动的重要电缆、管道，或者涵洞，或者附近有高速路桥、铁路桥等. 思考：试用数学的语言解释上图中所示的限高3.1 m是什么意思？ 问题1：小学和初中阶段学过哪些平面内的“距离”的概念？ 参考答案： 平面内的三种“距离”： 两点间的距离：两点间的所有连线中，线段最短，连接两点间的线段的长度称为两点间的距离； 点到直线的距离：从直线外一点到这条直线所作的线段中，垂线段最短，它的长度称为这个点到直线的距离； 两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，称为这两条平行线之间的距离. 思考：观察上述定义和图形，说说这三种距离有什么共同的特点？ 【归纳小结】 平面中的三种距离都可以归结为点与点的距离，而且是所有的点与点之间最短连线的长度. 如图所示，在△ABC中，高AD的长就是顶点A到直线BC的距离，即A与直线BC上的点的最短连线的长度. 空间中任意两个图形之间的距离要小于等于两个端点分别在这两个图形上的线段长. 如图，两图形之间的距离AC，一定小于（或等于）AB的线段长. 【新知讲解】 距离的概念： 一个图形内的任一点与另一个图形内的任一点的距离中的最小值，叫做图形与图形的距离. 如图所示，一个图形F1内的任一点与另一个图形F2内的任一点的距离中的最小值，叫做图形F1与图形F2的距离（图中线段b的长）.
目标二：会用向量方法求两点间的距离及点到直线的距离. 任务1：通过向量，求空间中两点之间的距离. 问题：如图所示，已知ABCD-A'B'C'D'是平行六面体AD = 3，AB = 4，AA' = 5，∠BAD = 90°，∠BAA' =∠DAA' = 60°，求AC'的长. 参考答案：解：由已知可得，，，不共面，而且|| = 3， || = 4，|| = 5； 从而·= 0，·= 3×5×cos 60° = 7.5，； 又因为， 所以； 因此，即所求长为. 练一练：如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB. 已知AB = 4，AC = 6，BD = 8，求CD的长. 参考答案：解：∵AC⊥AB，BD⊥AB，且二面角为60°， ∴<，> = 60°，∴<，> = 120°， ∵， ∴ ∴||=，即CD的长为. 任务2：通过向量，求空间中点到直线的距离. 回顾：空间中点A到直线l的距离：经过A点到直线l的垂线段的长. 点到直线的距离也是这个点与直线上点的最短连线的长度. 如图，点A是直线l外一点，若AB是直线l的垂线段，则AB的长就是点A到直线l的距离，这一距离等于||. 问题：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求点C1到直线BD1的距离. 参考答案：解：以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 则B (1，1，0)，D1 (0，0，1)，C1 (0，1，1)，故= (–1，–1，1)； 设E满足且C1E⊥BD1，则 = (1，1，0) + λ(–1，–1，1) = (1 – λ，1 – λ，λ)， 即E (1 – λ，1 – λ，λ)，所以= (1 – λ，– λ，λ – 1). 又因为C1E⊥BD1，所以， 即(–1)×(1 – λ) + (–1)×(– λ) + 1×(λ – 1) = 0，解得， 因此，从而可知点C1到直线BD1的距离为 . 【归纳总结】 用空间向量求点到直线距离的基本方法： ① 在空间直角坐标系内，用已知线段的向量表示出直线的一个方向向量； ② 用已知线段的向量刻画垂足； ③ 根据直线与垂线段的垂直关系（数量积为0)求垂足的坐标； ④ 求出垂线段的向量； ⑤ 求出垂线段的向量的模. 练一练：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，尝试用几何法求点C1到直线BD1的距离. 参考答案：解：如图，连接BC1， （方法一）由ABCD–A1B1C1D1是棱长为1的正方体，可得 BC1 =，BD1 =，D1C1⊥BC1； 因此△BC1D1∽△C1ED1，BC1 : BD1 = C1E : C1D1，可得C1E =； （方法二）由可得C1E =. 思考：结合上述问题，比较向量法和几何法求点到直线的优缺点？
学习总结
任务：回答下列问题，构建本课知识导图. 1.阐述图形与图形距离的概念，并说出理论依据； 2.简述向量法求空间中两点之间的距离及点到直线的距离的基本思路与步骤.
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