空间中的距离
学习目标 1.理解点到平面、相互平行的直线与平面、相互平行的平面与平面之间的距离的概念； 2.会用向量法求点面距、线面距及面面距.
学习活动
目标一：理解点到平面的距离的概念，会求点到平面的距离. 任务1：通过类比点到直线的距离概念，理解点到平面的距离的概念. 问题：类比点到直线距离概念，给出点到平面的距离的概念，并画出相关图形说明其成立的依据. 【新知讲解】 点到平面的距离： （1）给定空间中一个平面α及α外一点A，过A可以作平面α的一条垂线段，这条垂线段的长称为点A到平面α的距离. (注意：若点A是平面α内一点，则点A到平面α的距离为0) （2）点到平面的距离是这个点与平面内点的最短连线的长度. 如图所示，点A是平面α外一点，若AA'是平面α的垂线段 (即A'为A在平面α内的射影)，则平面α内不同于A'的任意一点B，一定满足AB > AA'（AB与AA'分别是Rt△AA'B的斜边与一条直角边）. 任务2：探究点到平面的距离公式，并会用向量法求点到平面的距离. 问题1：如图，设是平面α的一个单位法向量 (即|| = 1)，因为AA'⊥α，所以表示的有向线段可以在直线AA'上，则： （1）的几何意义是什么？和AA'之间又有何关系？ （2）一般情况下，若A是平面α外一点，B是平面α内一点，如何根据和平面α的一个法向量表示出点A到平面α的距离？ 参考答案： （1）因为， 又是平面α的一个单位法向量，所以， 其中为在上的投影的数量，所以等于在上的投影的数量； 因此，如图所示，有= A'A； （2）一般地，若A是平面α外一点，B是平面α内一点，是平面α的一个法向量，则点到平面的距离. 【归纳小结】 点到平面距离公式： 一般地，若A是平面α外一点，B是平面α内一点，是平面α的一个法向量，则点到平面的距离. 问题2：如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一个边长为1的正方形，PA⊥面ABCD，PA = 1，求点D到平面PBC的距离. 参考答案：解：以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 则B (1，0，0)，C (1，1，0)，D (0，1，0)，P (0，0，1)， 所以= (0，1，0)，= (–1，0，1)，= (0，1，–1)； 设平面PBC的一个法向量为= (x，y，z)，则， 令z = 1，则得x = 1，y = 0，此时= (1，0，1)； 因为， 所以点D到平面PBC的距离为. 练一练：试套用上述问题条件，分别借助和来计算点D到平面PBC的距离. 参考答案： 借助： 因为平面PBC的一个法向量= (1，0，1)，且= (–1，0，0)， 所以距离； 借助： 因为平面PBC的一个法向量= (1，0，1)，且= (–1，1，0)， 所以距离. 【归纳小结】 一般向量法求点到平面的距离的步骤： （1）根据条件合理建立空间直角坐标系，并求出相应点的坐标； （2）求出相应平面内不共线的两个向量及点到这个平面的一条斜线段的向量； （3）利用方程组求出平面的一个法向量； （4）利用公式求出点到平面的距离； （5）写出所求问题的结论.
目标二：理解相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离的概念，并会用向量法求出它们之间的距离. 任务：会用向量法求线面距和面面距. 问题1：观察下列相互平行的直线与平面及相互平行的平面与平面图形，类比点到平面距离公式的探究过程，写出它们之间的距离公式. 参考答案： 如图（1）所示，当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离； 如图（2）所示，当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离；（与两个平行平面同时垂直的直线，称为这两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分，称为这两个平面的共垂线段.） 综上所述，直线与平面之间的距离和平面与平面之间的距离，都可以归结成点到平面的距离，可通过空间向量来求得. 如图（1）（2）所示，相互平行的直线与平面之间的距离和相互平行的平面与平面之间的距离公式均为. 【归纳小结】 直线到平面距离公式及平面到平面的距离公式： （成立前提：上述直线与平面都是相互平行的） . 问题2：观察已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，M，N分别为A1B1，AD，CC1的中点，判断直线AC与平面EMN的关系，并求出AC与平面EMN之间的距离. 参考答案：解：以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，正方体的棱长为2个单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系. 则M (1，0，0)，E (2，1，2)，N(0，2，1)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，所以= (1，1，2)，= (–1，2，1)，= (–2，2，0)； 设平面EMN的一个法向量为= (x，y，z)，则 ，令z = 1，则得= (–1，–1，1)； 因为，所以⊥； 又因为点A显然不在平面EMN内，所以AC与平面EMN平行； 又因为= (1，0，0)，所以， 故点A到平面EMN的距离为，也是AC与平面EMN之间的距离. 练一练：在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD且∠ADC = 90°，AD = 1，CD =，BC = 2，AA1 = 2，E是CC1的中点，求直线A1B1与平面ABE的距离. 参考答案：解：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz， 则A1 (1，0，2)，A (1，0，0)，E (0，，1)，C (0，，0). 过点C作AB的垂线交AB于点F，易得BF =， ∴B (1，2，0)，∴= (0，2，0)，= (–1，–，1). 设平面ABE的一个法向量为= (x，y，z)，则 ，令x = 1，则得= (1，0，1)； 又因为= (0，0，2)，所以； 所以直线A1B1与平面ABE的距离为.
学习总结
任务：回答下列问题，构建本课知识导图. 1.写出点到平面、直线与平面及平面与平面之间的距离公式，并解释它们的含义； 2.简述用向量法求三种距离的基本思路及步骤.
2空间中的距离
学习目标 1.理解点到平面、相互平行的直线与平面、相互平行的平面与平面之间的距离的概念； 2.会用向量法求点面距、线面距及面面距.
学习活动
目标一：理解点到平面的距离的概念，会求点到平面的距离. 任务1：通过类比点到直线的距离概念，理解点到平面的距离的概念. 问题：类比点到直线距离概念，给出点到平面的距离的概念，并画出相关图形说明其成立的依据. 【新知讲解】 点到平面的距离： （1）给定空间中一个平面α及α外一点A，过A可以作平面α的一条垂线段，这条垂线段的长称为点A到平面α的距离. (注意：若点A是平面α内一点，则点A到平面α的距离为0) （2）点到平面的距离是这个点与平面内点的最短连线的长度. 如图所示，点A是平面α外一点，若AA'是平面α的垂线段 (即A'为A在平面α内的射影)，则平面α内不同于A'的任意一点B，一定满足AB > AA'（AB与AA'分别是Rt△AA'B的斜边与一条直角边）. 任务2：探究点到平面的距离公式，并会用向量法求点到平面的距离. 问题1：如图，设是平面α的一个单位法向量 (即|| = 1)，因为AA'⊥α，所以表示的有向线段可以在直线AA'上，则： （1）的几何意义是什么？和AA'之间又有何关系？ （2）一般情况下，若A是平面α外一点，B是平面α内一点，如何根据和平面α的一个法向量表示出点A到平面α的距离？ 【归纳小结】 点到平面距离公式： 一般地，若A是平面α外一点，B是平面α内一点，是平面α的一个法向量，则点到平面的距离. 问题2：如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一个边长为1的正方形，PA⊥面ABCD，PA = 1，求点D到平面PBC的距离. 练一练：试套用上述问题条件，分别借助和来计算点D到平面PBC的距离. 【归纳小结】 一般向量法求点到平面的距离的步骤： （1）根据条件合理建立空间直角坐标系，并求出相应点的坐标； （2）求出相应平面内不共线的两个向量及点到这个平面的一条斜线段的向量； （3）利用方程组求出平面的一个法向量； （4）利用公式求出点到平面的距离； （5）写出所求问题的结论.
目标二：理解相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离的概念，并会用向量法求出它们之间的距离. 任务：会用向量法求线面距和面面距. 问题1：观察下列相互平行的直线与平面及相互平行的平面与平面图形，类比点到平面距离公式的探究过程，写出它们之间的距离公式. 【归纳小结】 直线到平面距离公式及平面到平面的距离公式： （成立前提：上述直线与平面都是相互平行的） . 问题2：观察已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，M，N分别为A1B1，AD，CC1的中点，判断直线AC与平面EMN的关系，并求出AC与平面EMN之间的距离. 练一练：在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD且∠ADC = 90°，AD = 1，CD =，BC = 2，AA1 = 2，E是CC1的中点，求直线A1B1与平面ABE的距离.
学习总结
任务：回答下列问题，构建本课知识导图. 1.写出点到平面、直线与平面及平面与平面之间的距离公式，并解释它们的含义； 2.简述用向量法求三种距离的基本思路及步骤.
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