复习课 空间向量与立体几何
学习目标 1.查阅教材，建构单元知识体系； 2.掌握空间向量的相关运算； 3.能借助空间向量求解立体几何问题； 4.能利用有关定义、判定定理、性质定理求解立体几何问题； 5.通过比较两类解法，总结两类立体几何解法的优缺点.
学习活动
目标一：建构本单元知识体系. 任务：查阅教材，回答下列问题，并建构单元知识体系 1.什么是向量的线性运算？向量的数量积有哪些性质？ 2.阐述空间向量的基本定理，并解释基底、基向量的概念； 3.当空间中两向量平行或垂直时，它们的坐标间有什么关系？ 4.简述三垂线定理及其逆定理的含义； 5.线面角、二面角及二面角的平面角分别是什么？ 6.点线距、点面距、线面距及面面距分别是什么？ 【知识生成】
目标二：掌握空间向量的相关运算. 任务：求解下列问题，并说说运用了哪些空间向量知识. 问题1：已知= (-3，2，5)，= (1，-3，0)，= (7，-2，1)，求： （1）； （2）； （3）； （4）. 参考答案： （1）； （2）∵， ∴； （3）； （4）. 【涉及知识点】 ① 空间向量的线性运算；② 空间向量的数量积；③ 空间向量的运算与坐标的关系. 问题2：已知= (2x，1，3)，= (1，-2y，9)，且与共线，求x，y的值. 参考答案： 解：∵= (2x，1，3)，= (1，-2y，9)，且∥， ∴当x ≠ 0时，有，解得，； 当x = 0时，显然与不共线； ∴综上所述，，. 【涉及知识点】 ① 空间向量的坐标与空间向量的平行的关系. 问题3：已知空间三点A = (1，1，1)，B = (-1，0，4)，C = (2，-2，3)，求<，>. 参考答案：依题意= (-2，-1，3)，= (-1，3，-2)， 又， ∵<，>∈[0，π]，∴<，> =. 【涉及知识点】 ① 空间向量的运算与坐标的关系.
目标三：能运用不同方法求解立体几何问题. 任务1：借助空间向量求解下列立体几何问题 问题1：在四棱锥Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD = 2，QD = QA =，QC = 3. （1）证明：平面QAD⊥平面ABCD. （2）求平面BQD与平面ADQ夹角的余弦值. 参考答案： 解：（1）如图，取AD的中点为O，连接QO，CO， ∵QA = QD，OA = OD，∴QO⊥AD， 而AD = 2，QA =，∴QO == 2； 在正方形ABCD中，∵AD = 2，∴DO = 1，∴OC =， ∵QC = 3，∴QC2 = QO2 + OC2，∴△QOC为直角三角形且QO⊥OC， ∵OC∩AD = O，OC 平面ABCD，AD 平面ABCD， ∴QO⊥平面ABCD， ∵QO 平面QAD，∴平面QAD⊥平面ABCD. （2）连接BD，在平面ABCD内，过点O作OT∥CD，交BC于点T，则OT⊥AD， 结合（1）中的QO⊥平面ABCD，故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则D (0，1，0)，Q (0，0，2)，B (2，-1，0)，故= (-2，1，2)，= (-2，2，0)， 设平面BQD的一个法向量为= (x，y，z)， 则， 取x = 1，则y = 1，z =，故= (1，1，)； 而平面ADQ的一个法向量为= (1，0，0)， ∴cos <，> =， 故平面BQD与平面ADQ夹角的余弦值为. 【归纳总结】 求两平面夹角问题的思路： 一是利用夹角的定义，在图形中找出所求的角，解三角形求出所求角. 二是建立适当的空间直角坐标系，利用向量法，根据向量的运算求解. 注意：线线角、线面角、面面角与对应向量满足的关系. 问题2：如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，Q为棱PD的中点，PA⊥AD，PA = AB = 2. （1）求证：PA⊥平面ABCD； （2）求直线PB到平面ACQ的距离. 参考答案： 解：（1）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD = AD，PA⊥AD，又PA 平面PAD，∴PA⊥平面ABCD. （2）∵底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，∴AB，AD，AP两两互相垂直，如图，建立空间直角坐标系Axyz. ∵PA = AB = 2，∴A (0，0，0)，P (0，0，2)，B (2，0，0)，C (2，2，0)，Q (0，1，1)，= (2，2，0)，= (0，1，1). ∵PA⊥平面ABCD，∴= (0，0，2)为平面ABCD的一个法向量； 设平面ACQ的一个法向量为= (x，y，z)， 则，令x = 1，则y = -1，z = 1，故= (1，-1，1)， ∵= (2，0，-2)，∴，且PB 平面ACQ， ∴PB∥平面ACQ， ∴点P到平面ACQ的距离即为直线PB到平面ACQ的距离， ∵= (0，0，2)，∴点P到平面ACQ的距离为； 即直线PB到平面ACQ的距离为. 【归纳总结】 （1）求点到平面的距离，常常利用向量法，将其转化为平面外一点与平面内一点构成的向量在平面的法向量方向上的投影向量的长度； （2）求直线到平面的距离，往往转化为点到平面的距离求解，且这个点要适当选取，以易于求解为准则. 任务2：利用有关定义、判定定理、性质定理求解立体几何问题. 问题：已知ABCD-A1B1C1D1是正方体，求平面AB1C的一个法向量. 参考答案：如图，连接BD，BD1，则由图可知： ∵D1D⊥底面ABCD，∴BD是BD1在平面ABCD内投影； ∵AC⊥BD，∴AC⊥BD1（三垂线定理）； 同理可证AB1⊥BD1. 又∵AC ∩ AB1 = A，∴BD1⊥平面AB1C， ∴BD1是平面AB1C的一个法向量. 【归纳总结】 首先据表述正确画出图形，再分析图形中几何基本元素的相互关系，然后根据已知定义、性质、定理进行推理，最后写出所求问题的结论. 注意：也可建立坐标系后，用待定系数法求出平面的一个法向量.
目标四：通过比较两类解法，总结两类立体几何解法的优缺点. 任务：回顾上述两种求解立体几何问题的解法，完成下列思考. 问题：结合必修中所学立体几何内容，指出两类立体几何解法的一般步骤，并总结每一类解法的优缺点. 【归纳总结】 借助空间向量求解立体几何问题的一般步骤： （1）根据题目条件合理地建立空间直角坐标系，并写出几何体中必要的点的坐标； （2）求出棱（线段）所在直线的一个方向向量、平面的一个法向量； （3）根据条件、问题进行相关的计算，利用向量关系判断几何体中的元素的关系； （4）写出所求问题的结论. 利用有关定义、判定定理、性质定理等求解立体几何问题的一般步骤： （1）根据题目表述正确画出图形或找到图形中的几何基本元素； （2）分析图形中几何基本元素的相互关系（或作出必要的辅助线）； （3）根据定义、性质、定理进行推理（或计算推理）； （4）写出所求问题的结论. 两类解法优缺点对比：
学习总结
任务：本单元我们收获了什么？还存在哪些疑惑呢？
2复习课 空间向量与立体几何
学习目标 1.查阅教材，建构单元知识体系； 2.掌握空间向量的相关运算； 3.能借助空间向量求解立体几何问题； 4.能利用有关定义、判定定理、性质定理求解立体几何问题； 5.通过比较两类解法，总结两类立体几何解法的优缺点.
学习活动
目标一：建构本单元知识体系. 任务：查阅教材，回答下列问题，并建构单元知识体系 1.什么是向量的线性运算？向量的数量积有哪些性质？ 2.阐述空间向量的基本定理，并解释基底、基向量的概念； 3.当空间中两向量平行或垂直时，它们的坐标间有什么关系？ 4.简述三垂线定理及其逆定理的含义； 5.线面角、二面角及二面角的平面角分别是什么？ 6.点线距、点面距、线面距及面面距分别是什么？ 【知识生成】
目标二：掌握空间向量的相关运算. 任务：求解下列问题，并说说运用了哪些空间向量知识. 问题1：已知= (-3，2，5)，= (1，-3，0)，= (7，-2，1)，求： （1）； （2）； （3）； （4）. 【涉及知识点】 ① 空间向量的线性运算；② 空间向量的数量积；③ 空间向量的运算与坐标的关系. 问题2：已知= (2x，1，3)，= (1，-2y，9)，且与共线，求x，y的值. 【涉及知识点】 ① 空间向量的坐标与空间向量的平行的关系. 问题3：已知空间三点A = (1，1，1)，B = (-1，0，4)，C = (2，-2，3)，求<，>. 【涉及知识点】 ① 空间向量的运算与坐标的关系.
目标三：能运用不同方法求解立体几何问题. 任务1：借助空间向量求解下列立体几何问题 问题1：在四棱锥Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD = 2，QD = QA =，QC = 3. （1）证明：平面QAD⊥平面ABCD. （2）求平面BQD与平面ADQ夹角的余弦值. 【归纳总结】 求两平面夹角问题的思路： 一是利用夹角的定义，在图形中找出所求的角，解三角形求出所求角. 二是建立适当的空间直角坐标系，利用向量法，根据向量的运算求解. 注意：线线角、线面角、面面角与对应向量满足的关系. 问题2：如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，Q为棱PD的中点，PA⊥AD，PA = AB = 2. （1）求证：PA⊥平面ABCD； （2）求直线PB到平面ACQ的距离. 【归纳总结】 （1）求点到平面的距离，常常利用向量法，将其转化为平面外一点与平面内一点构成的向量在平面的法向量方向上的投影向量的长度； （2）求直线到平面的距离，往往转化为点到平面的距离求解，且这个点要适当选取，以易于求解为准则. 任务2：利用有关定义、判定定理、性质定理求解立体几何问题. 问题：已知ABCD-A1B1C1D1是正方体，求平面AB1C的一个法向量. 【归纳总结】 首先据表述正确画出图形，再分析图形中几何基本元素的相互关系，然后根据已知定义、性质、定理进行推理，最后写出所求问题的结论. 注意：也可建立坐标系后，用待定系数法求出平面的一个法向量.
目标四：通过比较两类解法，总结两类立体几何解法的优缺点. 任务：回顾上述两种求解立体几何问题的解法，完成下列思考. 问题：结合必修中所学立体几何内容，指出两类立体几何解法的一般步骤，并总结每一类解法的优缺点. 【归纳总结】 借助空间向量求解立体几何问题的一般步骤： （1）根据题目条件合理地建立空间直角坐标系，并写出几何体中必要的点的坐标； （2）求出棱（线段）所在直线的一个方向向量、平面的一个法向量； （3）根据条件、问题进行相关的计算，利用向量关系判断几何体中的元素的关系； （4）写出所求问题的结论. 利用有关定义、判定定理、性质定理等求解立体几何问题的一般步骤： （1）根据题目表述正确画出图形或找到图形中的几何基本元素； （2）分析图形中几何基本元素的相互关系（或作出必要的辅助线）； （3）根据定义、性质、定理进行推理（或计算推理）； （4）写出所求问题的结论. 两类解法优缺点对比：
学习总结
任务：本单元我们收获了什么？还存在哪些疑惑呢？
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