圆的标准方程
学习目标 1.会用定义推导圆的标准方程并能用该方程判断点与圆的位置关系； 2.能根据所给条件求出圆的标准方程，并解决一些简单实际问题.
学习活动
目标一：根据圆的定义，推导圆的标准方程并能用该方程判断点与圆的位置关系. 任务1：根据圆的定义，推导圆的标准方程. 情境：小时候学习过李白的诗词“小时不识月，呼作白玉盘…” 思考：观察上图中月亮的图片，从数学角度说说能看成什么平面图形？该如何定义这种平面图形. 旧知回顾： 圆的概念：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合，其中定点是圆心，定长是半径； 确定一个圆的几何要素：圆心、半径. 问题：设平面直角坐标系中的⊙C的圆心坐标为C (a，b)，而且半径为r (r > 0). （1）若C (1，2)，r = 2，判断点A (3，2)是否在圆C上； （2）若C (1，2)，r = 2，设M (x，y)是平面直角坐标系中任意一点，那么点M在⊙C上的充要条件是什么？ （3）设M(x，y)是平面直角坐标系中任意一点，那么点M在⊙C上的充要条件是什么？ 参考答案： （1）因为，即，所以点A在C上； （2）由圆的定义知，M (x，y)在C上的充要条件是|CM| = 2， 即，因此x，y要满足； （3）同理，点M (x，y)在C上的充要条件是|CM| = r， 即，因此x，y要满足. 新知讲解： 圆的标准方程：(x a) 2 + (y b) 2 = r 2，圆心C (a，b)，半径r. 注意： （1）若点M (x，y)在C上，点M 的坐标就满足方程； （2）若点M坐标(x，y)满足方程，可得|CM| = r，则点M在C上. 思考：圆心在坐标系的原点，半径为r的圆的标准方程是什么？ 练一练：已知C的标准方程为(x 3) 2 + (y + 1) 2 = 2，试写出C的圆心坐标及半径. 参考答案：圆心：(– 3，1)；半径r =. 任务2：运用圆的标准方程判断点与圆的位置关系. 问题1：点A (1，1)，B (4，0)，C (，) 同圆 x2 + y2 = 4的关系如图所示，则|OA|，|OB|，|OC|同圆的半径r = 2是什么关系？ 参考答案：|OA| < 2，|OB| > 2，|OC| = 2. 问题2：结合上述实例，设N(x0，y0)是平面直角坐标系中一点，如何判断点N与⊙C的位置关系 参考答案： 点M (x0，y0)与圆C：(x – a)2 + (y – b)2 = r2 的位置关系： 练一练：点P (1，3)与圆x2 + y2 = 24的位置关系是 ( ) A.在圆外 B.在圆内 C.在圆上 D.不确定 参考答案：B.
目标二：能根据条件求出圆的标准方程，并能利用圆的标准方程解决一些简单实际问题. 任务1：根据条件求出圆的标准方程. 问题1：根据下列条件，求出圆的标准方程： （1）圆心在C (–2，1)，且过点A (2，–2)； （2）过(0，1)和点(2，1)，半径为. 参考答案： （1）所求圆的半径为， 又因为圆心是C (–2，1)，所以圆的标准方程为； （2）设圆心为C (a，b)，则圆的标准方程为； 因为点(0，1)和点(2，1)在圆上，所以， 解得或； 因此，圆的标准方程为或. 问题2：如图所示，设C的圆心C在直线l：2x – 7y + 8 = 0上，且A(6，0)，B(1，5)都是C上的点，求圆的标准方程. 参考答案：方法一（待定系数法）： 设圆的标准方程为， 由题意可得：，解得； 因此，圆的标准方程为. 方法二（几何法）： 由于圆过A，B两点，故圆心在线段AB的垂直平分线m上，即圆心C为直线l与直线m的交点. 设线段AB的垂直分线为m，，故， 又因为线段AB的中点坐标为， 所以直线m的方程为，即， 因此，圆心C满足，解得，即圆心为C (3，2). 所以圆的半径， 故圆的标准方程为. 归纳小结： 求圆的标准方程的一般方法： （1）待定系数法：求圆的标准方程的一般步骤： （2）几何法：利用平面几何知识，先求出圆心和半径，然后再写出圆的标准方程； （3）待定系数法和几何法：两种方法交叉使用，体现数形结合的数学思想. 练一练：求过点A(1，-1)、B(-1，1)，且圆心在直线x + y – 2 = 0上的圆的标准方程. 参考答案：设圆的标准方程为， 根据已知条件可得，解得， 所以所求圆的标准方程为. 任务2：利用圆的标准方程解决一些简单实际问题. 问题：赵州桥位于我国河北省，是我国现存最早、保存最好的巨大石拱桥. 如图所示，赵州桥是一座空腹式的圆弧形石拱桥，现测得赵州桥的跨度a和圆拱高b，试用a，b表示出赵州桥圆弧所在圆的半径. 参考答案：如图所示，作出示意图，其中AB表示跨度，O为AB中点，OC为拱高，D为圆心. 方法一：由垂径定理可知，故， 即，解得 方法二：如图所示，以O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系. 根据已知条件有，C (0，b)，且B、C在圆上，圆心D在y轴的负半轴上， 因此可设圆心坐标为D (0，t)，半径为r， 所以，解得
学习总结
任务：回答下列问题，并构建本课知识导图. 1.说说如何用圆的标准方程判断点与圆的位置关系？ 2.求圆的标准方程有哪些方法？简述这些方法的基本步骤.
2圆的标准方程
学习目标 1.会用定义推导圆的标准方程并能用该方程判断点与圆的位置关系； 2.能根据所给条件求出圆的标准方程，并解决一些简单实际问题.
学习活动
目标一：根据圆的定义，推导圆的标准方程并能用该方程判断点与圆的位置关系. 任务1：根据圆的定义，推导圆的标准方程. 情境：小时候学习过李白的诗词“小时不识月，呼作白玉盘…” 思考：观察上图中月亮的图片，从数学角度说说能看成什么平面图形？该如何定义这种平面图形. 旧知回顾： 圆的概念：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合，其中定点是圆心，定长是半径； 确定一个圆的几何要素：圆心、半径. 问题：设平面直角坐标系中的⊙C的圆心坐标为C (a，b)，而且半径为r (r > 0). （1）若C (1，2)，r = 2，判断点A (3，2)是否在圆C上； （2）若C (1，2)，r = 2，设M (x，y)是平面直角坐标系中任意一点，那么点M在⊙C上的充要条件是什么？ （3）设M(x，y)是平面直角坐标系中任意一点，那么点M在⊙C上的充要条件是什么？ 新知讲解： 圆的标准方程：(x a) 2 + (y b) 2 = r 2，圆心C (a，b)，半径r. 注意： （1）若点M (x，y)在C上，点M 的坐标就满足方程； （2）若点M坐标(x，y)满足方程，可得|CM| = r，则点M在C上. 思考：圆心在坐标系的原点，半径为r的圆的标准方程是什么？ 练一练：已知C的标准方程为(x 3) 2 + (y + 1) 2 = 2，试写出C的圆心坐标及半径. 任务2：运用圆的标准方程判断点与圆的位置关系. 问题1：点A (1，1)，B (4，0)，C (，) 同圆 x2 + y2 = 4的关系如图所示，则|OA|，|OB|，|OC|同圆的半径r = 2是什么关系？ 问题2：结合上述实例，设N(x0，y0)是平面直角坐标系中一点，如何判断点N与⊙C的位置关系 练一练：点P (1，3)与圆x2 + y2 = 24的位置关系是 ( ) A.在圆外 B.在圆内 C.在圆上 D.不确定
目标二：能根据条件求出圆的标准方程，并能利用圆的标准方程解决一些简单实际问题. 任务1：根据条件求出圆的标准方程. 问题1：根据下列条件，求出圆的标准方程： （1）圆心在C (–2，1)，且过点A (2，–2)； （2）过(0，1)和点(2，1)，半径为. 问题2：如图所示，设C的圆心C在直线l：2x – 7y + 8 = 0上，且A(6，0)，B(1，5)都是C上的点，求圆的标准方程. 归纳小结： 求圆的标准方程的一般方法： （1）待定系数法：求圆的标准方程的一般步骤： （2）几何法：利用平面几何知识，先求出圆心和半径，然后再写出圆的标准方程； （3）待定系数法和几何法：两种方法交叉使用，体现数形结合的数学思想. 练一练：求过点A(1，-1)、B(-1，1)，且圆心在直线x + y – 2 = 0上的圆的标准方程. 任务2：利用圆的标准方程解决一些简单实际问题. 问题：赵州桥位于我国河北省，是我国现存最早、保存最好的巨大石拱桥. 如图所示，赵州桥是一座空腹式的圆弧形石拱桥，现测得赵州桥的跨度a和圆拱高b，试用a，b表示出赵州桥圆弧所在圆的半径.
学习总结
任务：回答下列问题，并构建本课知识导图. 1.说说如何用圆的标准方程判断点与圆的位置关系？ 2.求圆的标准方程有哪些方法？简述这些方法的基本步骤.
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