商丘市2009年高三第三次模拟考试试题

商丘市2009年高三第三次模拟考试试题
理科数学(必修＋选修Ⅱ)
2009．5
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,分别答在答题卡（I卷）和答卷（Ⅱ卷）上，答在试题誊上的答案无效。
第Ⅰ卷
1．答第I卷前，考生务必将自己的娃名、考生号、座位号、考试科目写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
一、选择题
1．设全集U＝R，A＝{x∈N ｜1≤x<10}，B＝{x∈R｜x2＋x－6＝0}，
则图中阴影部分表示的集合为
A．{2} B．{3}
C．{－3，2} D．{－2，3}
2．设0<θ<π,a ∈R，（a＋i）（1－i）＝cosθ＋i，则θ的值为
A． B． C． D．
3．函数f（x）＝，x ∈[2，＋∞）的反函数g（x）是
A．g（x）＝（x≥1） B．g（x）＝（x≥0）
C．g（x）＝（x≥1） D．g（x）＝ （x≥0）
4．函数y＝Asin（ωx＋φ）＋k（A>0，ω>0，｜φ｜< ）
的图象如图所示，则y的表达式是
A．y＝sin(2x＋)＋1
B．y＝sin(2x－)＋l
C．y＝sin(2x＋)－l D．y＝sin(2x＋)＋1
5．设向量a＝（cos5°，sin5°），b＝（sin40°,cos40°），若t是实数，且u＝a＋tb，则｜u｜
的最小值是
A． B．l C． D．
6．过椭圆(a>b>0)的焦点垂直于x轴的弦长为a，则双曲线的离心
率e的值是
A． B． C． D．
7．设ξ的概率密度函数f（x）＝，则下列错误的选项是
A．P（ξ<2）＝P （ξ>2） B．P（－2≤ξ≤2）＝P（－2<ξ<2）
C．f（x）的渐近线为x＝0 D．η＝ξ－2－N（0，1）
8．定义在R上的函数y＝f（x）满足：f（－x）＝－f（x），f（1＋x）＝f（1－x），当x ∈
[－1，1]时，f（x）＝x3，则f（2009）的值是
A．2 B．1 C．0 D．－1
9．已知（2x－）9（x∈R）展开式的第7项为，则（x＋x2＋…＋xn）的值为
A． B． C．－ D．－
10．如图，在正方体AC1中，P为棱BB1的中点，则在平面BCC1B1
内过点P与直线AC成50°角的直线有
A．0条 B．1条
C．2条 D．无数条
11．若不等式组,表示的平面区域是一个三角形，则a
的取值范围是
A．a≥或0C．1≤a≤ D．012．袋中装有编号为1、2、3、4的四个球，四个人从中各取一个球，则甲不取1号球，乙
不取2号球，丙不取3号球，丁不取4号球的概率是
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将本人姓名、考生号、考场号填写在答卷（Ⅱ卷）正面的相应位置。座位号用2B铅笔填涂在答卷（Ⅱ卷）背面的左上角。
2．本试卷共10小题，共90分。
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若a＋1>0，则不等式x≥的解集为______________．
14．过点M（1，1）的直线l与曲线C：相交于A、B两点，若点M是弦AB的中点，则直线l的方程为_________________．
15．已知数列{an}满足a1＝l，＝，则通项an＝___________．
16．如图，将∠B＝，边长为l的菱形ABCD沿对角线AC折成大小等于
θ的二面角B－AC－D，若θ∈[，]，M，N分别为AC，BD的中点，则下面的
四种说法中：
①AC⊥MN；
②DM与平面ABC所成的角是θ；
③线段MN的最大值是，最小值是；
④当θ＝时，BC与AD所成的角等于．
其中正确的说法有_______________(填上所有正确说法的序号)．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分l0分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴正半
轴上，直线AB的倾斜角为，｜OB｜＝2，
设∠AOB＝θ，θ∈(，)．
（Ⅰ）用θ表示点B的坐标及｜OA｜；
（Ⅱ）若tanθ＝－，求·的值．
18．（本小题满分12分）
如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点，AA1＝AB＝1．
（Ⅰ）求证：A1C∥平面AB1D；
（Ⅱ）求二面角B－AB1－D的大小；
（Ⅲ）求点C到平面AB1D的距离．
19．（本小题满分12分）
在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后
抽得两张卡片的标号分别为x、y，设O为坐标原点，点P的坐标为（x－2，x－y），记
ξ＝｜｜2．
（Ⅰ）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；
（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和数学期望．
20．（本小题满分12分）
已知函数f（x）＝ax2＋2ln（1－x）（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在[一3，一2]上是增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）是否存在正实数a，使得f（x）的导函数（x）有最大值1－2?若存在，求
出a的值；若不存在，请说明理由．
21．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xoy中，过定点C（0，p）作直线与抛物线x2＝2py（p>0）相交于A，
B两点．
（Ⅰ）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；
（Ⅱ）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值?
若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明
理由．

22．（本小题满分12分）
已知数列{an}中，a1＝，＝sin（）（n∈N﹡）．
（Ⅰ）用数学归纳法证明：0<<<1；
（Ⅱ）已知≥，证明：－>．