初中数学同步训练必刷培优卷（北师大版七年级下册 4.4用尺规作三角形）
一、选择题
1．根据下列已知条件，能画出惟一的△ABC的是（ ）
A．AB=3cm，BC=7cm，AC=4cm
B．AB=3cm，BC=7cm，∠C=40°
C．∠A=30°，AB=3cm，∠B=100°
D．∠A=30°，∠B=100°，∠C=50°
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；作图-三角形
【解析】【解答】解：A、虽然是边边边，但是三角形的一边得长等于另两边的和，因此构不成三角形，故不能；
B、已知的是AB和BC，如果按全等三角形的判定依据，只有知道∠B的值才能确定全等，故不能；
C、符合全等三角形的ASA，故能作出唯一的三角形；
D、知道3个角的度数，只能证明相似，不能得到全等．故不能；
故选C．
【分析】考虑是否符合符合三角形全等的判定依据即可．
2．用尺规作图，下列条件中可能作出两个不同的三角形的是（ ）
A．已知三边 B．已知两角及夹边
C．已知两边及夹角 D．已知两边及其中一边的对角
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；作图-三角形
【解析】【解答】解：A、B、C分别符合全等三角形的判定SSS、ASA、SAS，故能作出唯一三角形；
D、可能作出两个不同的三角形，如等腰三角形底边上的任一点与顶点之间的线段两侧的三角形；
故选D．
【分析】看是否符合所学的全等的公理或定理即可．
3．（2015七下·深圳期中）已知下列条件，不能作出唯一三角形的是（ ）
A．两边及其夹角 B．两角及其夹边
C．三边 D．两边及除夹角外的另一个角
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；作图-三角形
【解析】【解答】解：A、B、C分别符合全等三角形的判定SAS、ASA、SSS，故能作出唯一三角形；
D、已知两边及除夹角外的另一个角，不能作出唯一三角形，如等腰三角形底边上的任一点与顶点之间的线段两侧的三角形，错误；
故选D．
【分析】看是否符合所学的全等的公理或定理即可．
4．已知线段a，b和m，求作△ABC，使BC=a，AC=b，BC边上的中线AD=m，作法合理的顺序依次为（ ）
①延长CD到B，使BD=CD；②连接AB；③作△ADC，使DC=a，AC=b，AD=m．
A．③①② B．①②③ C．②③① D．③②①
【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；作图-三角形
【解析】【解答】解：根据已知条件，能够确定的三角形是△ADC，故先作△ADC，使DC= a，AC=b，AD=m；再延长CD到B，使BD=CD；连接AB；即可得△ABC，故选A．
【分析】需先作△ADC，进而延长，连接即可．
5．（2023八上·赵县月考）现已知线段a，b（a＜b），∠MON＝90°，求作Rt△ABO，使得∠O=90°，OA＝a，AB＝b．小惠和小雷的作法分别如下：
小惠：①以点O为圆心、线段a的长为半径画弧，交射线ON于点A；②以点A为圆心、线段b的长为半径画弧，交射线OM于点B，连接AB，△ABO即为所求．
小雷：①以点O为圆心、线段a的长为半径画弧，交射线ON于点A；②以点O为圆心、线段b的长为半径画弧，交射线OM于点B，连接AB，△ABO即为所求．
则下列说法中正确的是（ ）
A．小惠的作法正确，小雷的作法错误
B．小雷的作法正确，小惠的作法错误
C．两人的作法都正确
D．两人的作法都错误
【答案】A
【知识点】作图-三角形
【解析】【解答】解：由题意可得：AB是斜边且AB=b，
根据作法可得：小惠作的是斜边长b，符合题意；小雷作的是直角边长b，不符合题意；
所以小惠的作法正确，小雷的作法错误，
故答案为：A.
【分析】根据题意先求出AB是斜边且AB=b，再根据作法求出小惠作的是斜边长b，小雷作的是直角边长b，最后判断求解即可。
6．现已知线段a，b（a＜b），∠MON=90°，求作Rt△ABO，使得∠O=90°，AB=b，小惠和小雷的作法分别如下．
小惠：①以点O为圆心、线段a为半径画弧，交射线ON于点A；②以点A为圆心、线段b长为半径画弧，交射线OM于点B，连接AB，△ABO即为所求．
小雷：①以点O为圆心、线段a为半径画弧，交射线ON于点A；②以点O为圆心、线段b长为半径画弧，交射线OM于点B，连接AB，△ABO即为所求．
则下列说法中正确的是（ ）
A．小惠的作法正确，小雷的作法错误
B．小雷的作法正确，小惠的作法错误
C．两人的作法都正确
D．两人的作法都错误
【答案】A
【知识点】直角三角形的性质；作图-三角形
【解析】【解答】解：AB=b，AB是斜边，小惠作的斜边长是b符合条件，而小雷作的是直角边长是b．故小惠正确，小雷错误．
故选A．
【分析】作Rt△ABO，使得∠O=90°，AB=b，即斜边的长是b，根据两人的作法是否符合条件即可．
7．已知两角及夹边作三角形，所用的基本作图方法是（ ）
A．作已知角的平分线
B．作已知线段的垂直平分线
C．过一点作已知直线的高
D．作一个角等于已知角和作一条线段等于已知线段
【答案】D
【知识点】作图-三角形
【解析】【解答】解：两角及夹边作三角形，所用的基本作图方法是作一个角等于已知角和作一条线段等于已知线段．
故选：D．
【分析】根据题意可得作图过程中需要作一条线段等于已知线段，然后再作两个角等于已知角．
8．已知线段a、b和m，求作△ABC，使BC=a，AC=b，BC上的中线AD=m，作法的合理顺序为（ ）
①延长CD到B，使BD=CD；②连结AB；③作△ADC，使DC=a，AC=b，AD=m
A．③①② B．①②③ C．②③① D．③②①
【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；作图-三角形
【解析】【分析】需先作△ADC，进而延长，连接即可．
【解答】根据已知条件，能够确定的三角形是△ADC，故先作△ADC，使DC=a，AC=b，AD=m；再延长CD到B，使BD=CD；连接AB；即可得△ABC，
则作法的合理顺序为③①②，
故选A．
【点评】解答本题的关键是熟练掌握已知三角形的两边和其中一边上的中线作三角形的做法．
二、填空题
9．（2020九上·南昌月考）请在由边长为1的小正三角形组成的虚线网格中，画一个所有顶点均在格点上，且至少有一条边为无理数的等腰三角形 ．
【答案】本题答案不唯一，下列画法供参考：
【知识点】作图-三角形
【解析】【分析】题中要求至少有一条边为无理数，则说明等腰三角形至少一遍不与网格线重合，可据此来做等腰三角形。
10．（2019八上·高邑期中）已知线段a，b，c，求作 ，使 ， ， ，下面作法的合理顺序为 (填序号)
①分别以B，C为圆心，c，b为半径作弧，两弧交于点A；
②作直线 ，在 上截取 ；
③连接 ， ， 为所求作的三角形.
【答案】②①③
【知识点】作图-三角形
【解析】【解答】解：作三角形，使三角形的三边等于已知边，作图的顺序应该是：
②作直线BP，在BP上截取BC=a；
①分别以B，C为圆心，c，b为半径作弧，两弧交于点A；
③连接AB，AC，△ABC为所求作的三角形.
所以合理的顺序为：②①③
【分析】根据作三角形，使三角形的三边等于已知边的作图步骤作答．
11．如图，△ABC是三条边不相等的三角形，DE=BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，最多可以画出 个这样的三角形.
【答案】4
【知识点】三角形全等及其性质；作图-三角形
【解析】【解答】解：如图所示，可以做出4个三角形与 △ABC全等.
【分析】根据SSS证明方法找出 与△ABC全等的三角形；
（1）以D为圆心，AB为半径作圆，以E为圆心，AC为半径作圆，两圆相交于两点（D，E上下各一个），经过连接后可得到两个三角形均与△ABC全等．
（2）以D为圆心，AC为半径作圆，以E为圆心，AB为半径作圆，两圆相交于两点（D，E上下各一个），经过连接后可得到两个三角形均与△ABC全等．
12．（2020·松滋模拟）如图，在边长是4×4，小正方形边长为1的正方形网格图中，线段AB的两个端点都在格点上，若以AB为斜边，则可以作出 个格点直角三角形，并在答题卡的图中作出其中面积最大的格点直角三角形.
【答案】4
【知识点】直角三角形的性质；作图-三角形
【解析】【解答】解：如图所示：
线段AB的两个端点都在格点上，
以AB为斜边，可以作出4个格点直角三角形，
△ABC的面积最大.
故答案为：4.
【分析】以AB为直径作圆与格点有四个交点，即可得到4个格点直角三角形，根据△ABC中底AB一定，高越大，面积就越大，据此判断即可.
13．如图，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出 个．
【答案】4
【知识点】三角形全等的判定（SSS）；作图-三角形
【解析】【解答】解：如图，可以作出这样的三角形4个．
【分析】能画4个，分别是：
以D为圆心，AB为半径画圆；以E为圆心，AC为半径画圆．两圆相交于两点（DE上下各一个），分别于D，E连接后，可得到两个三角形．
以D为圆心，AC为半径画圆；以E为圆心，AB为半径画圆．两圆相交于两点（DE上下各一个），分别于D，E连接后，可得到两个三角形．
因此最多能画出4个
三、解答题
14．（2022八上·南城期中） 如图①、如图②、如图③均为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，按下列要求作图：
（1）在如图①中画出，使三个顶点均在格点上且，；
（2）在如图②中画出，使三个顶点均在格点上且，；
（3）在如图③中画出，使三个顶点均在格点上且，．
【答案】（1）解：如图：即为所求
（2）解：如图：即为所求
（3）解：即为所求
【知识点】作图-三角形
【解析】【分析】根据要求作出三角形即可。
四、综合题
15．（2021八上·长沙期中）在△ABC和△DEF中，AB=DE，AC=DF，∠C=∠F，请解答如下问题：
（1）如图1，已知∠C=∠F=90°，根据 可得：△ABC≌△DEF；
（2）如图2，已知∠C、∠F均为钝角，求证：△ABC≌△DEF；
（3）如图3，已知∠C、∠F均为锐角，试问：△ABC≌△DEF是否成立？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请在△ABC中作出△DEF，举例说明（尺规作图），并由此得出∠C（或∠F）还要满足什么条件才能使△ABC≌△DEF？请直接给出结论.
【答案】（1）HL
（2）证明：如图，过A作AG⊥BC，交BC的延长线于点G，D点作DH⊥EF，交EF的延长线于点H，
∵∠BCA=∠EFD，
∴∠ACG=∠DFH，
在△ACG和△DFH中，
，
∴△ACG≌△DFH（AAS），
∴AG=DH，
在Rt△ABG和Rt△DEH中，
，
∴△ABG≌△DEH（HL），
∴∠B=∠E，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）.
（3）解：举例如图所示：
以A为圆心，AB长为半径画弧，交BC于E；
若满足∠C≥∠B，则△ABC≌△DEF.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；三角形全等的判定（AAS）；作图-三角形
【解析】【解答】解：（1）∵AB=DE，AC=DF，∠C=∠F=90°，
∴△ABC≌△DEF（HL），
故答案是：HL；
【分析】(1)利用HL证明Rt△ABC≌Rt△DEF，则可解答；
(2)利用AAS证明 △ACG≌△DFH ，得出AG=DH，再利用HL证明 △ABG≌△DEH ，得出∠B=∠E，则可根据AAS证明 △ABC≌△DEF ；
(3)以A为圆心，AB长为半径画弧，交BC于E，画出图形，从而可得结论.
1 / 1初中数学同步训练必刷培优卷（北师大版七年级下册 4.4用尺规作三角形）
一、选择题
1．根据下列已知条件，能画出惟一的△ABC的是（ ）
A．AB=3cm，BC=7cm，AC=4cm
B．AB=3cm，BC=7cm，∠C=40°
C．∠A=30°，AB=3cm，∠B=100°
D．∠A=30°，∠B=100°，∠C=50°
2．用尺规作图，下列条件中可能作出两个不同的三角形的是（ ）
A．已知三边 B．已知两角及夹边
C．已知两边及夹角 D．已知两边及其中一边的对角
3．（2015七下·深圳期中）已知下列条件，不能作出唯一三角形的是（ ）
A．两边及其夹角 B．两角及其夹边
C．三边 D．两边及除夹角外的另一个角
4．已知线段a，b和m，求作△ABC，使BC=a，AC=b，BC边上的中线AD=m，作法合理的顺序依次为（ ）
①延长CD到B，使BD=CD；②连接AB；③作△ADC，使DC=a，AC=b，AD=m．
A．③①② B．①②③ C．②③① D．③②①
5．（2023八上·赵县月考）现已知线段a，b（a＜b），∠MON＝90°，求作Rt△ABO，使得∠O=90°，OA＝a，AB＝b．小惠和小雷的作法分别如下：
小惠：①以点O为圆心、线段a的长为半径画弧，交射线ON于点A；②以点A为圆心、线段b的长为半径画弧，交射线OM于点B，连接AB，△ABO即为所求．
小雷：①以点O为圆心、线段a的长为半径画弧，交射线ON于点A；②以点O为圆心、线段b的长为半径画弧，交射线OM于点B，连接AB，△ABO即为所求．
则下列说法中正确的是（ ）
A．小惠的作法正确，小雷的作法错误
B．小雷的作法正确，小惠的作法错误
C．两人的作法都正确
D．两人的作法都错误
6．现已知线段a，b（a＜b），∠MON=90°，求作Rt△ABO，使得∠O=90°，AB=b，小惠和小雷的作法分别如下．
小惠：①以点O为圆心、线段a为半径画弧，交射线ON于点A；②以点A为圆心、线段b长为半径画弧，交射线OM于点B，连接AB，△ABO即为所求．
小雷：①以点O为圆心、线段a为半径画弧，交射线ON于点A；②以点O为圆心、线段b长为半径画弧，交射线OM于点B，连接AB，△ABO即为所求．
则下列说法中正确的是（ ）
A．小惠的作法正确，小雷的作法错误
B．小雷的作法正确，小惠的作法错误
C．两人的作法都正确
D．两人的作法都错误
7．已知两角及夹边作三角形，所用的基本作图方法是（ ）
A．作已知角的平分线
B．作已知线段的垂直平分线
C．过一点作已知直线的高
D．作一个角等于已知角和作一条线段等于已知线段
8．已知线段a、b和m，求作△ABC，使BC=a，AC=b，BC上的中线AD=m，作法的合理顺序为（ ）
①延长CD到B，使BD=CD；②连结AB；③作△ADC，使DC=a，AC=b，AD=m
A．③①② B．①②③ C．②③① D．③②①
二、填空题
9．（2020九上·南昌月考）请在由边长为1的小正三角形组成的虚线网格中，画一个所有顶点均在格点上，且至少有一条边为无理数的等腰三角形 ．
10．（2019八上·高邑期中）已知线段a，b，c，求作 ，使 ， ， ，下面作法的合理顺序为 (填序号)
①分别以B，C为圆心，c，b为半径作弧，两弧交于点A；
②作直线 ，在 上截取 ；
③连接 ， ， 为所求作的三角形.
11．如图，△ABC是三条边不相等的三角形，DE=BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，最多可以画出 个这样的三角形.
12．（2020·松滋模拟）如图，在边长是4×4，小正方形边长为1的正方形网格图中，线段AB的两个端点都在格点上，若以AB为斜边，则可以作出 个格点直角三角形，并在答题卡的图中作出其中面积最大的格点直角三角形.
13．如图，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出 个．
三、解答题
14．（2022八上·南城期中） 如图①、如图②、如图③均为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，按下列要求作图：
（1）在如图①中画出，使三个顶点均在格点上且，；
（2）在如图②中画出，使三个顶点均在格点上且，；
（3）在如图③中画出，使三个顶点均在格点上且，．
四、综合题
15．（2021八上·长沙期中）在△ABC和△DEF中，AB=DE，AC=DF，∠C=∠F，请解答如下问题：
（1）如图1，已知∠C=∠F=90°，根据 可得：△ABC≌△DEF；
（2）如图2，已知∠C、∠F均为钝角，求证：△ABC≌△DEF；
（3）如图3，已知∠C、∠F均为锐角，试问：△ABC≌△DEF是否成立？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请在△ABC中作出△DEF，举例说明（尺规作图），并由此得出∠C（或∠F）还要满足什么条件才能使△ABC≌△DEF？请直接给出结论.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；作图-三角形
【解析】【解答】解：A、虽然是边边边，但是三角形的一边得长等于另两边的和，因此构不成三角形，故不能；
B、已知的是AB和BC，如果按全等三角形的判定依据，只有知道∠B的值才能确定全等，故不能；
C、符合全等三角形的ASA，故能作出唯一的三角形；
D、知道3个角的度数，只能证明相似，不能得到全等．故不能；
故选C．
【分析】考虑是否符合符合三角形全等的判定依据即可．
2．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；作图-三角形
【解析】【解答】解：A、B、C分别符合全等三角形的判定SSS、ASA、SAS，故能作出唯一三角形；
D、可能作出两个不同的三角形，如等腰三角形底边上的任一点与顶点之间的线段两侧的三角形；
故选D．
【分析】看是否符合所学的全等的公理或定理即可．
3．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；作图-三角形
【解析】【解答】解：A、B、C分别符合全等三角形的判定SAS、ASA、SSS，故能作出唯一三角形；
D、已知两边及除夹角外的另一个角，不能作出唯一三角形，如等腰三角形底边上的任一点与顶点之间的线段两侧的三角形，错误；
故选D．
【分析】看是否符合所学的全等的公理或定理即可．
4．【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；作图-三角形
【解析】【解答】解：根据已知条件，能够确定的三角形是△ADC，故先作△ADC，使DC= a，AC=b，AD=m；再延长CD到B，使BD=CD；连接AB；即可得△ABC，故选A．
【分析】需先作△ADC，进而延长，连接即可．
5．【答案】A
【知识点】作图-三角形
【解析】【解答】解：由题意可得：AB是斜边且AB=b，
根据作法可得：小惠作的是斜边长b，符合题意；小雷作的是直角边长b，不符合题意；
所以小惠的作法正确，小雷的作法错误，
故答案为：A.
【分析】根据题意先求出AB是斜边且AB=b，再根据作法求出小惠作的是斜边长b，小雷作的是直角边长b，最后判断求解即可。
6．【答案】A
【知识点】直角三角形的性质；作图-三角形
【解析】【解答】解：AB=b，AB是斜边，小惠作的斜边长是b符合条件，而小雷作的是直角边长是b．故小惠正确，小雷错误．
故选A．
【分析】作Rt△ABO，使得∠O=90°，AB=b，即斜边的长是b，根据两人的作法是否符合条件即可．
7．【答案】D
【知识点】作图-三角形
【解析】【解答】解：两角及夹边作三角形，所用的基本作图方法是作一个角等于已知角和作一条线段等于已知线段．
故选：D．
【分析】根据题意可得作图过程中需要作一条线段等于已知线段，然后再作两个角等于已知角．
8．【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；作图-三角形
【解析】【分析】需先作△ADC，进而延长，连接即可．
【解答】根据已知条件，能够确定的三角形是△ADC，故先作△ADC，使DC=a，AC=b，AD=m；再延长CD到B，使BD=CD；连接AB；即可得△ABC，
则作法的合理顺序为③①②，
故选A．
【点评】解答本题的关键是熟练掌握已知三角形的两边和其中一边上的中线作三角形的做法．
9．【答案】本题答案不唯一，下列画法供参考：
【知识点】作图-三角形
【解析】【分析】题中要求至少有一条边为无理数，则说明等腰三角形至少一遍不与网格线重合，可据此来做等腰三角形。
10．【答案】②①③
【知识点】作图-三角形
【解析】【解答】解：作三角形，使三角形的三边等于已知边，作图的顺序应该是：
②作直线BP，在BP上截取BC=a；
①分别以B，C为圆心，c，b为半径作弧，两弧交于点A；
③连接AB，AC，△ABC为所求作的三角形.
所以合理的顺序为：②①③
【分析】根据作三角形，使三角形的三边等于已知边的作图步骤作答．
11．【答案】4
【知识点】三角形全等及其性质；作图-三角形
【解析】【解答】解：如图所示，可以做出4个三角形与 △ABC全等.
【分析】根据SSS证明方法找出 与△ABC全等的三角形；
（1）以D为圆心，AB为半径作圆，以E为圆心，AC为半径作圆，两圆相交于两点（D，E上下各一个），经过连接后可得到两个三角形均与△ABC全等．
（2）以D为圆心，AC为半径作圆，以E为圆心，AB为半径作圆，两圆相交于两点（D，E上下各一个），经过连接后可得到两个三角形均与△ABC全等．
12．【答案】4
【知识点】直角三角形的性质；作图-三角形
【解析】【解答】解：如图所示：
线段AB的两个端点都在格点上，
以AB为斜边，可以作出4个格点直角三角形，
△ABC的面积最大.
故答案为：4.
【分析】以AB为直径作圆与格点有四个交点，即可得到4个格点直角三角形，根据△ABC中底AB一定，高越大，面积就越大，据此判断即可.
13．【答案】4
【知识点】三角形全等的判定（SSS）；作图-三角形
【解析】【解答】解：如图，可以作出这样的三角形4个．
【分析】能画4个，分别是：
以D为圆心，AB为半径画圆；以E为圆心，AC为半径画圆．两圆相交于两点（DE上下各一个），分别于D，E连接后，可得到两个三角形．
以D为圆心，AC为半径画圆；以E为圆心，AB为半径画圆．两圆相交于两点（DE上下各一个），分别于D，E连接后，可得到两个三角形．
因此最多能画出4个
14．【答案】（1）解：如图：即为所求
（2）解：如图：即为所求
（3）解：即为所求
【知识点】作图-三角形
【解析】【分析】根据要求作出三角形即可。
15．【答案】（1）HL
（2）证明：如图，过A作AG⊥BC，交BC的延长线于点G，D点作DH⊥EF，交EF的延长线于点H，
∵∠BCA=∠EFD，
∴∠ACG=∠DFH，
在△ACG和△DFH中，
，
∴△ACG≌△DFH（AAS），
∴AG=DH，
在Rt△ABG和Rt△DEH中，
，
∴△ABG≌△DEH（HL），
∴∠B=∠E，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）.
（3）解：举例如图所示：
以A为圆心，AB长为半径画弧，交BC于E；
若满足∠C≥∠B，则△ABC≌△DEF.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；三角形全等的判定（AAS）；作图-三角形
【解析】【解答】解：（1）∵AB=DE，AC=DF，∠C=∠F=90°，
∴△ABC≌△DEF（HL），
故答案是：HL；
【分析】(1)利用HL证明Rt△ABC≌Rt△DEF，则可解答；
(2)利用AAS证明 △ACG≌△DFH ，得出AG=DH，再利用HL证明 △ABG≌△DEH ，得出∠B=∠E，则可根据AAS证明 △ABC≌△DEF ；
(3)以A为圆心，AB长为半径画弧，交BC于E，画出图形，从而可得结论.
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