初中数学同步训练必刷培优卷（北师大版七年级下册 4.5利用三角形全等测距离）
一、选择题
1．（2020八上·碾子山期末）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚可以放进一个等腰直角三角板（AC=BC， ∠ACB=90°）点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为（ ）
A．10cm B．14cm C．20cm D．6cm
2．（2020八上·阳城期末）程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题，操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动，图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．
有以下结论：
①当∠PAQ=30°，PQ=6时，可得到形状唯一确定的△PAQ
②当∠PAQ=30°，PQ=9时，可得到形状唯一确定的△PAQ
③当∠PAQ=90°，PQ=10时，可得到形状唯一确定的△PAQ
④当∠PAQ=150°，PQ=12时，可得到形状唯一确定的△PAQ
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．②③ B．③④ C．②③④ D．①②③④
3．（2021七下·温江期末）如图，小明站在堤岸的A点处，正对他的S点停有一艘游艇.他想知道这艘游艇距离他有多远，于是他沿堤岸走到电线杆B旁，接着再往前走相同的距离到达C点.然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时他位于D点.那么C，D两点间的距离就是在A点处小明与游艇的距离.在这个问题中，可作为证明的依据的是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
4．（2018-2019学年数学人教版八年级上册第12章 全等三角形 单元检测a卷）某大学计划为新生配备如图①所示的折叠凳.图②是折叠凳撑开后的侧面示意图(木条等材料宽度忽略不计)，其中凳腿AB和CD的长相等，O是它们的中点.为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30 cm，则由以上信息可推得CB的长度也为30 cm，依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS
5．（2023八上·拜城期中） 如图，强强想测量旗杆AB的高度，旗杆对面有一高为18米的大楼CD，大楼与旗杆相距28米（BD＝28米），在大楼前10米的点P处，测得∠APC＝90°，且AB⊥BD，CD⊥BD，则旗杆AB的高为（ ）
A．8米 B．10米 C．12米 D．18米
6．（2022·河北）题目：“如图，∠B＝45°，BC＝2，在射线BM上取一点A，设AC＝d，若对于d的一个数值，只能作出唯一 一个△ABC，求d的取值范围．”对于其答案，甲答： ，乙答：d＝1.6，丙答： ，则正确的是（ ）
A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整
C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整
7．（2021八上·莒南期中）如图，在 的网格中，每一个小正方形的边长都是1，点 ， ， ， 都在格点上，连接 ， 相交于 ，那么 的大小是（ ）
A． B． C． D．
8．（2017·天桥模拟）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①CE=CF，②∠AEB=75°，③AG=2GC，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE，其中结论正确的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
9．（2017·成华模拟）如图，在正n边形（n为整数，且n≥4）绕点A顺时针旋转60°后，发现旋转前后两图形有另一交点O，连接AO，我们称AO为“叠弦”；再将“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°后，交旋转前的图形于点P，连接PO，我们称∠OAB为正n边形的“叠弦角”，△AOP为“叠弦三角形”．以下说法，正确的是 ．（填番号）
①在图1中，△AOB≌△AOD'；
②在图2中，正五边形的“叠弦角”的度数为360°；
③“叠弦三角形”不一定都是等边三角形； ④正n边形的“叠弦角”的度数为60°﹣ ．
10．（人教版八年级数学上册第一次月考a卷）如图，已知长方形ABCD的边长AB=20cm，BC=16cm，点E在边AB上，AE=6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当△BPE与△CQP全等时，时间t为 s．
11．（2023八上·亳州月考）某数学兴趣小组利用全等三角形的知识测试某小河的宽度，如图，点是小河两边的三点，在河边下方选择一点，使得，若测得米，的面积为30平方米，则点到的距离为 米．
12．（2019七下·南海期中）如图，两根旗杆间相距12m，某人从点B沿BA走向点A，一段时间后他到达点M，此时他仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90°，且CM=DM，已知旗杆AC的高为3m，该人的运动速度为1m/s，则这个人运动到点M所用时间是
三、作图题
13．（2023七下·凤翔期末）如图，某公园有一个人工湖，王平和李楠两人想知道这个人工湖的长度，但无法直接度量，于是他们准备用所学知识，设计测量方案进行测量．已知为垂直于的一条小路，且小路两侧除人工湖所占区域外，其他区域均可随意到达，他们两人所带的测量工具只有一根足够长的皮卷尺，请你帮王平和李楠两人设计一种测量方案：
（1）请在图中画出测量示意图并写出测量数据（线段长度可用、、……表示）；（不要求写出测量过程）
（2）根据你的测量方案数据，计算出这个人工湖的长度．
四、解答题
14．（2023八上·青秀月考）【阅读理解题】初二（1）班同学到野外上数学活动课，为测量池塘两端A、B的距离，设计了如下方案：
（Ⅰ）如图1，先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，连接AC、BC，并分别延长AC至D，延长BC至E，使，，最后测出DE的距离即为AB的长；
（Ⅱ）如图2，先过B点作AB的垂线BF，再在BF上取C、D两点使，接着过D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，则测出DE的长即为AB的距离.
阅读后回答下列问题：
（1）方案（Ⅰ）是否可行 请直接说出结论.
（2）方案（Ⅱ）是否可行 请说明理由.
（3）方案（Ⅱ）中作，目的是 ；
（4）若仅满足，方案（Ⅱ）是否成立 .
15．（2023八上·合肥月考）阿进在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：如图，在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，表示小球静止时的位置.当阿进用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点.当小球撰到位置时，与恰好垂直（图中的，，，在同一平面上），过点作于点.
（1）求证：；
（2）若阿进测得，，求的长.
16．（2023七下·临渭期末）如图
（1）问题背景：如图，在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是， ▲ ，请说明理由；
（2）实际应用：如图，在新修的小区中，有块四边形绿化，四周修有步行小径，且，，在小径，上各修一凉亭，，在凉亭与之间有一池塘，不能直接到达．经测量得到，米，米，试求两凉亭之间的距离．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【解答】解：∵ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵在 和 中，
∴ ；
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：C．
【分析】几何题可以用反推法，两堵墙之间的距离，即“CD+CE”的和，所以要分别求出CD和CE的长，可以通过证明这两条线段所在的三角形全等，再利用转化的思想即可求出
2．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；全等三角形的应用
【解析】【解答】解：如下图，当∠PAQ=30°，PQ=6时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出 ，发现两个位置的Q都符合题意，所以 不唯一，所以①不符合题意．
如下图，当∠PAQ=30°，PQ=9时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出 ，发现左边位置的Q不符合题意，所以 唯一，所以②符合题意．
如下图，当∠PAQ=90°，PQ=10时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出 ，发现两个位置的Q都符合题意，但是此时两个三角形全等，所以形状相同，所以 唯一，所以③符合题意．
如下图，当∠PAQ=150°，PQ=12时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出 ，发现左边位置的Q不符合题意，所以 唯一，所以④符合题意．
综上：②③④符合题意．
故答案为：C．
【分析】以点P为圆心，PQ长为半径画弧，与射线AM由1个交点，则可得到形状唯一确定的，否则不能得到形状唯一确定的，根据此观点进行解答即可。
3．【答案】C
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【解答】解：在△ABS与△CBD中，
，
∴△ABS≌△CBD（ASA）；
或∵AS∥CD，
∴∠S＝∠D.
在△ABS与△CBD中，
，
∴△ABS≌△CBD（AAS）；
综上所述，作为证明△SAB≌△DCB的依据的是ASA或AAS.
故答案为：C.
【分析】图形中隐含对顶角相等，可知∠CBD=∠ABS，利用ASA可证得△ABS≌△CBD；或利用AS∥CD，可得到∠S＝∠D，利用AAS可证得△ABS≌△CBD，由此可得答案.
4．【答案】A
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【解答】∵O是AB、CD的中点，
∴OA=OB，OC=OD，
在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴CB=AD，
∵AD=30cm，
∴CB=30cm．
故答案为：A.
【分析】根据中点的定义得出OA=OB，OC=OD，然后由SAS判断出△AOD≌△BOC，根据全等三角形对应边相等即可得出结论。
5．【答案】B
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【解答】由题意
CD=18米，PD=10米，BD=28米，
BP=BD-PD=28-10=18米
在和中，
≌(ASA)
AB=PD=10米
故选：B
【分析】根据已知条件发现两个三角形具备全等条件，由全等三角形的性质可判定旗杆高度就是PD的长。
6．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过点C作 于 ，在 上取
∵∠B＝45°，BC＝2，
∴ 是等腰直角三角形
∴
∵
∴
若对于d的一个数值，只能作出唯一一个△ABC
通过观察得知：
点A在 点时，只能作出唯一一个△ABC（点A在对称轴上），此时 ，即丙的答案；
点A在 射线上时，只能作出唯一一个△ABC（关于 对称的AC不存在），此时 ，即甲的答案，
点A在 线段（不包括 点和 点）上时，有两个△ABC（二者的AC边关于 对称）；
故答案为：B
【分析】由题意可知，当CA⊥BA或CA＞BC时，能作出唯一一个△ABC，分这两种情况求解即可。
7．【答案】C
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【解答】解：取格点 ，连接 ，
由已知条件可知： ，
∴ ，
∴ ，
同理可得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
即 ，
故答案为：C．
【分析】取格点 ，连接 ，先证明，得出 ，再证明，得出，最后证明 是等腰直角三角形，得出 ，即可得出结论。
8．【答案】B
【知识点】全等三角形的应用；三角形相关概念
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．
∵△AEF等边三角形，
∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．
∴∠BAE+∠DAF=30°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，
∴CE=CF，故①正确；
∵∠BAE=∠DAF，
∴∠DAF+∠DAF=30°，
即∠DAF=15°，
∴∠AEB=75°，故②正确；
设EC=x，由勾股定理，得
EF= x，CG= x，
AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°= x，
∴AG≠2GC，③错误；
∵CG= x，AG= x，
∴AC= x
∴AB=AC = x，
∴BE= x﹣x= x，
∴BE+DF=（ ﹣1）x，
∴BE+DF≠EF，故④错误；
∵S△CEF= x2，
S△ABE= ×BE×AB= × x× x= x2，
∴2S△ABE═S△CEF，故⑤正确．
综上所述，正确的有3个，
故选：B．
【分析】通过条件可以得出△ABE≌△ADF，从而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，得到CE=CF；由正方形的性质就可以得出∠AEB=75°；设EC=x，由勾股定理得到EF，表示出BE，利用三角形的面积公式分别表示出S△CEF和2S△ABE，再通过比较大小就可以得出结论．
9．【答案】①
【知识点】全等三角形的应用；探索图形规律
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠D=∠B=90°，
由旋转的性质得，AD=AD′，∠D=∠D′=90°，
∴AB=AD′，
在Rt△ABO与Rt△AD′O中，
，
∴Rt△ABO≌Rt△AD′O，
故①正确；
②如图2，
作AM⊥DE于M，作AN⊥CB于N．
∵五边形ABCDE是正五边形，
由旋转知：AE=AE'，∠E=∠E'=108°，∠EAE'=∠OAP=60°，
∴∠EAP=∠E'AO，
在△APE与△AOE'中，
，
∴△APE≌△AOE′（ASA），
∴∠OAE′=∠PAE．
在Rt△AEM和Rt△ABN中，
，
∴Rt△AEM≌Rt△ABN （AAS），
∴∠EAM=∠BAN，AM=AN．
在Rt△APM和Rt△AON中，
，
∴Rt△APM≌Rt△AON （HL）．
∴∠PAM=∠OAN，
∴∠PAE=∠OAB，
∴∠OAE'=∠OAB= （108°﹣60°）=24°，
故②错误；
③如图3，
∵六边形ABCDEF和六边形A′B′C′E′F′是正六边形，
∴∠F=F′=120°，
由旋转得，AF=AF′，EF=E′F′，
∴△APF≌△AE′F′，
∴∠PAF=∠E′AF′，
由旋转得，∠FAF′=60°，AP=AO
∴∠PAO=∠FAO=60°，
∴△PAO是等边三角形，
故③错误．
④由图1中的多边形是四边形，图2中的多边形五边形，图3中的多边形是六边形，
∴图n中的多边形是正（n+3）边形，
同②的方法得，∠OAB=[（n+3﹣2）×180°÷（n+3）﹣60°]÷2=60°﹣ ，
故④错误．
故答案：①．
【分析】①先由正方形的性质和旋转的性质得出AB=AD′，再根据HL得出Rt△ABO≌Rt△AD′O即可；
②先判断出∴△APE≌△AOE′，再判断出Rt△AEM≌Rt△ABN，再判断出Rt△APM≌Rt△AON，依此计算即可；
③先判断出△APF≌△AE′F′，再用旋转角为60°，从而得出△PAO是等边三角形；
② 用②的方法求出正n边形的“叠弦角”的度数即可．
10．【答案】1或4
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【解答】解：∵AB=20cm，AE=6cm，BC=16cm，
∴BE=14cm，BP=2tcm，PC=（16-2t）cm，
当△BPE≌△CQP时，则有BE=PC，即14=16-2t，解得t=1，
当△BPE≌△CPQ时，则有BP=PC，即2t=16-2t，解得t=4，
故答案为：1或4．
【分析】根据运动的速度可得BP、PC与t的关系，然后分两种情况根据全等三角形的性质可得对应边线段，从而可得关于x的方程，解方程即可确定t的值.
11．【答案】6
【知识点】三角形全等及其性质；全等三角形的应用
【解析】【解答】解：米，的面积为平方米，
点到距离为：（米），
，，，
≌，
点到的距离为米，
故答案为：．
【分析】根据全等三角形的判定与性质求解。根据米，的面积为平方米，得到点到距离，根据题意证明≌，由全等三角形的性质即可求解．
12．【答案】3秒
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【解答】解：∵∠CMD=90°，
∴∠CMA+∠DMB=90°，
又∵∠CAM=90°，
∴∠CMA+∠C=90°，
∴∠C=∠DMB．
在Rt△ACM和Rt△BMD中，
∴
∴Rt△ACM≌Rt△BMD（AAS），
∴AC=BM=3m，
∵该人的运动速度为1m/s，
∴他到达点M时，运动时间为3÷1=3（s）．
故答案为3．
【分析】根据题意证明∠C=∠DMB，利用AAS证明△ACM≌△BMD，根据全等三角形的性质得到AC=BM=3m，再利用时间=路程÷速度加上即可．
13．【答案】（1）解：解：测量示意图如下所示：
（2）解：在和中，
，
，
．
即这个人工湖的长度为c．
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【分析】（1）在小路BP上任意取一点C，测量BC的长度为a，连接AC并测得AC的长为b，延长BC至D，使CD=a，延长AC至点E，使CE=b，最后测量DE=c.
（2）根据所画出的示意图以及测量的数据易知AC=CE，∠ACB=∠ECD，BC=DC，进而证明，再根据全等三角形对应边相等即可求解.
14．【答案】（1）解：方案（Ⅰ）可行；
理由：∵DC=AC，EC=BC，
又∵∠ACB=∠DCE，
∴△ACB≌△DCE（SAS），
∴AB=DE，
∴测出DE的距离即为AB的长，
∴方案（Ⅰ）可行；
（2）解：方案（Ⅱ）可行；理由如下：
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴测出DE的长即为AB的距离，
∴方案（Ⅱ）可行；
（3）使
（4）不成立
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【解答】解：（3）方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是使∠ABD=∠BDE，
故答案为：使∠ABD=∠BDE；
（4）若仅满足∠ABD=∠BDE≠90°，方案（Ⅱ）不成立；
理由：若∠ABD=∠BDE≠90°，∠ACB=∠ECD，
没有对应边相等，则无法证明△ABC≌△EDC，
则无法得到AB和其他线段的关系，则无法测出其他线段长度，
∴方案（Ⅱ）不成立；
故答案为：不成立．
【分析】（1）由题意可用SAS证明△ACB≌△DCE，得AB=DE，故方案（Ⅰ）可行；
（2）由题意可用ASA证明△ABC≌△EDC，得AB=ED，故方案（Ⅱ）可行；
（3）方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是使∠ABD=∠BDE；
（4）根据所给条件无法证明△ABC≌△EDC，则无法得到AB和其他线段的关系，则无法测出其他线段长度，故不成立．
15．【答案】（1）证明：，
.
又，，
，
，
.
（2）解：在和中，
，
.
，
.
【知识点】余角、补角及其性质；全等三角形的应用；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据OB⊥OC，可知 ，再利用同角的余角相等，即可证明；（2） 先证明，得到BD=OE=8cm，已知OA的长，即可求出AE的长。
16．【答案】（1）解：；理由如下：
，，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）解：如图2，延长CD至H，使，连接AH，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
米，米，
米．
【知识点】全等三角形的应用；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）EF=BE+DF，理由如下：如图1，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先用SAS证△ABE≌△ADG，根据全等三角形的性质得AE=AG，∠BAE=∠DAG，由四边形内角和定理及角的和差可推出∠GAF=∠EAF，从而再利用SAS证明△AEF≌△AGF，得到EF=FG，进而根据线段的和差及等量代换可得结论；
（2）延长CD至H，使DH=BE，首先由同角的补角相等得∠B=∠ADH，从而用SAS证△ABE≌△ADH，根据全等三角形的性质得到AE=AH，∠BAE=∠DAH，进而由角的和差及已知推出∠HAF=∠EAF，进而再用SAS证△AEF≌△AHF，得到EF=FH，进一步求得EF.
1 / 1初中数学同步训练必刷培优卷（北师大版七年级下册 4.5利用三角形全等测距离）
一、选择题
1．（2020八上·碾子山期末）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚可以放进一个等腰直角三角板（AC=BC， ∠ACB=90°）点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为（ ）
A．10cm B．14cm C．20cm D．6cm
【答案】C
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【解答】解：∵ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵在 和 中，
∴ ；
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：C．
【分析】几何题可以用反推法，两堵墙之间的距离，即“CD+CE”的和，所以要分别求出CD和CE的长，可以通过证明这两条线段所在的三角形全等，再利用转化的思想即可求出
2．（2020八上·阳城期末）程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题，操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动，图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．
有以下结论：
①当∠PAQ=30°，PQ=6时，可得到形状唯一确定的△PAQ
②当∠PAQ=30°，PQ=9时，可得到形状唯一确定的△PAQ
③当∠PAQ=90°，PQ=10时，可得到形状唯一确定的△PAQ
④当∠PAQ=150°，PQ=12时，可得到形状唯一确定的△PAQ
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．②③ B．③④ C．②③④ D．①②③④
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；全等三角形的应用
【解析】【解答】解：如下图，当∠PAQ=30°，PQ=6时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出 ，发现两个位置的Q都符合题意，所以 不唯一，所以①不符合题意．
如下图，当∠PAQ=30°，PQ=9时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出 ，发现左边位置的Q不符合题意，所以 唯一，所以②符合题意．
如下图，当∠PAQ=90°，PQ=10时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出 ，发现两个位置的Q都符合题意，但是此时两个三角形全等，所以形状相同，所以 唯一，所以③符合题意．
如下图，当∠PAQ=150°，PQ=12时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出 ，发现左边位置的Q不符合题意，所以 唯一，所以④符合题意．
综上：②③④符合题意．
故答案为：C．
【分析】以点P为圆心，PQ长为半径画弧，与射线AM由1个交点，则可得到形状唯一确定的，否则不能得到形状唯一确定的，根据此观点进行解答即可。
3．（2021七下·温江期末）如图，小明站在堤岸的A点处，正对他的S点停有一艘游艇.他想知道这艘游艇距离他有多远，于是他沿堤岸走到电线杆B旁，接着再往前走相同的距离到达C点.然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时他位于D点.那么C，D两点间的距离就是在A点处小明与游艇的距离.在这个问题中，可作为证明的依据的是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】C
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【解答】解：在△ABS与△CBD中，
，
∴△ABS≌△CBD（ASA）；
或∵AS∥CD，
∴∠S＝∠D.
在△ABS与△CBD中，
，
∴△ABS≌△CBD（AAS）；
综上所述，作为证明△SAB≌△DCB的依据的是ASA或AAS.
故答案为：C.
【分析】图形中隐含对顶角相等，可知∠CBD=∠ABS，利用ASA可证得△ABS≌△CBD；或利用AS∥CD，可得到∠S＝∠D，利用AAS可证得△ABS≌△CBD，由此可得答案.
4．（2018-2019学年数学人教版八年级上册第12章 全等三角形 单元检测a卷）某大学计划为新生配备如图①所示的折叠凳.图②是折叠凳撑开后的侧面示意图(木条等材料宽度忽略不计)，其中凳腿AB和CD的长相等，O是它们的中点.为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30 cm，则由以上信息可推得CB的长度也为30 cm，依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS
【答案】A
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【解答】∵O是AB、CD的中点，
∴OA=OB，OC=OD，
在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴CB=AD，
∵AD=30cm，
∴CB=30cm．
故答案为：A.
【分析】根据中点的定义得出OA=OB，OC=OD，然后由SAS判断出△AOD≌△BOC，根据全等三角形对应边相等即可得出结论。
5．（2023八上·拜城期中） 如图，强强想测量旗杆AB的高度，旗杆对面有一高为18米的大楼CD，大楼与旗杆相距28米（BD＝28米），在大楼前10米的点P处，测得∠APC＝90°，且AB⊥BD，CD⊥BD，则旗杆AB的高为（ ）
A．8米 B．10米 C．12米 D．18米
【答案】B
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【解答】由题意
CD=18米，PD=10米，BD=28米，
BP=BD-PD=28-10=18米
在和中，
≌(ASA)
AB=PD=10米
故选：B
【分析】根据已知条件发现两个三角形具备全等条件，由全等三角形的性质可判定旗杆高度就是PD的长。
6．（2022·河北）题目：“如图，∠B＝45°，BC＝2，在射线BM上取一点A，设AC＝d，若对于d的一个数值，只能作出唯一 一个△ABC，求d的取值范围．”对于其答案，甲答： ，乙答：d＝1.6，丙答： ，则正确的是（ ）
A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整
C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过点C作 于 ，在 上取
∵∠B＝45°，BC＝2，
∴ 是等腰直角三角形
∴
∵
∴
若对于d的一个数值，只能作出唯一一个△ABC
通过观察得知：
点A在 点时，只能作出唯一一个△ABC（点A在对称轴上），此时 ，即丙的答案；
点A在 射线上时，只能作出唯一一个△ABC（关于 对称的AC不存在），此时 ，即甲的答案，
点A在 线段（不包括 点和 点）上时，有两个△ABC（二者的AC边关于 对称）；
故答案为：B
【分析】由题意可知，当CA⊥BA或CA＞BC时，能作出唯一一个△ABC，分这两种情况求解即可。
7．（2021八上·莒南期中）如图，在 的网格中，每一个小正方形的边长都是1，点 ， ， ， 都在格点上，连接 ， 相交于 ，那么 的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【解答】解：取格点 ，连接 ，
由已知条件可知： ，
∴ ，
∴ ，
同理可得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
即 ，
故答案为：C．
【分析】取格点 ，连接 ，先证明，得出 ，再证明，得出，最后证明 是等腰直角三角形，得出 ，即可得出结论。
8．（2017·天桥模拟）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①CE=CF，②∠AEB=75°，③AG=2GC，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE，其中结论正确的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】全等三角形的应用；三角形相关概念
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．
∵△AEF等边三角形，
∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．
∴∠BAE+∠DAF=30°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，
∴CE=CF，故①正确；
∵∠BAE=∠DAF，
∴∠DAF+∠DAF=30°，
即∠DAF=15°，
∴∠AEB=75°，故②正确；
设EC=x，由勾股定理，得
EF= x，CG= x，
AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°= x，
∴AG≠2GC，③错误；
∵CG= x，AG= x，
∴AC= x
∴AB=AC = x，
∴BE= x﹣x= x，
∴BE+DF=（ ﹣1）x，
∴BE+DF≠EF，故④错误；
∵S△CEF= x2，
S△ABE= ×BE×AB= × x× x= x2，
∴2S△ABE═S△CEF，故⑤正确．
综上所述，正确的有3个，
故选：B．
【分析】通过条件可以得出△ABE≌△ADF，从而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，得到CE=CF；由正方形的性质就可以得出∠AEB=75°；设EC=x，由勾股定理得到EF，表示出BE，利用三角形的面积公式分别表示出S△CEF和2S△ABE，再通过比较大小就可以得出结论．
二、填空题
9．（2017·成华模拟）如图，在正n边形（n为整数，且n≥4）绕点A顺时针旋转60°后，发现旋转前后两图形有另一交点O，连接AO，我们称AO为“叠弦”；再将“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°后，交旋转前的图形于点P，连接PO，我们称∠OAB为正n边形的“叠弦角”，△AOP为“叠弦三角形”．以下说法，正确的是 ．（填番号）
①在图1中，△AOB≌△AOD'；
②在图2中，正五边形的“叠弦角”的度数为360°；
③“叠弦三角形”不一定都是等边三角形； ④正n边形的“叠弦角”的度数为60°﹣ ．
【答案】①
【知识点】全等三角形的应用；探索图形规律
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠D=∠B=90°，
由旋转的性质得，AD=AD′，∠D=∠D′=90°，
∴AB=AD′，
在Rt△ABO与Rt△AD′O中，
，
∴Rt△ABO≌Rt△AD′O，
故①正确；
②如图2，
作AM⊥DE于M，作AN⊥CB于N．
∵五边形ABCDE是正五边形，
由旋转知：AE=AE'，∠E=∠E'=108°，∠EAE'=∠OAP=60°，
∴∠EAP=∠E'AO，
在△APE与△AOE'中，
，
∴△APE≌△AOE′（ASA），
∴∠OAE′=∠PAE．
在Rt△AEM和Rt△ABN中，
，
∴Rt△AEM≌Rt△ABN （AAS），
∴∠EAM=∠BAN，AM=AN．
在Rt△APM和Rt△AON中，
，
∴Rt△APM≌Rt△AON （HL）．
∴∠PAM=∠OAN，
∴∠PAE=∠OAB，
∴∠OAE'=∠OAB= （108°﹣60°）=24°，
故②错误；
③如图3，
∵六边形ABCDEF和六边形A′B′C′E′F′是正六边形，
∴∠F=F′=120°，
由旋转得，AF=AF′，EF=E′F′，
∴△APF≌△AE′F′，
∴∠PAF=∠E′AF′，
由旋转得，∠FAF′=60°，AP=AO
∴∠PAO=∠FAO=60°，
∴△PAO是等边三角形，
故③错误．
④由图1中的多边形是四边形，图2中的多边形五边形，图3中的多边形是六边形，
∴图n中的多边形是正（n+3）边形，
同②的方法得，∠OAB=[（n+3﹣2）×180°÷（n+3）﹣60°]÷2=60°﹣ ，
故④错误．
故答案：①．
【分析】①先由正方形的性质和旋转的性质得出AB=AD′，再根据HL得出Rt△ABO≌Rt△AD′O即可；
②先判断出∴△APE≌△AOE′，再判断出Rt△AEM≌Rt△ABN，再判断出Rt△APM≌Rt△AON，依此计算即可；
③先判断出△APF≌△AE′F′，再用旋转角为60°，从而得出△PAO是等边三角形；
② 用②的方法求出正n边形的“叠弦角”的度数即可．
10．（人教版八年级数学上册第一次月考a卷）如图，已知长方形ABCD的边长AB=20cm，BC=16cm，点E在边AB上，AE=6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当△BPE与△CQP全等时，时间t为 s．
【答案】1或4
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【解答】解：∵AB=20cm，AE=6cm，BC=16cm，
∴BE=14cm，BP=2tcm，PC=（16-2t）cm，
当△BPE≌△CQP时，则有BE=PC，即14=16-2t，解得t=1，
当△BPE≌△CPQ时，则有BP=PC，即2t=16-2t，解得t=4，
故答案为：1或4．
【分析】根据运动的速度可得BP、PC与t的关系，然后分两种情况根据全等三角形的性质可得对应边线段，从而可得关于x的方程，解方程即可确定t的值.
11．（2023八上·亳州月考）某数学兴趣小组利用全等三角形的知识测试某小河的宽度，如图，点是小河两边的三点，在河边下方选择一点，使得，若测得米，的面积为30平方米，则点到的距离为 米．
【答案】6
【知识点】三角形全等及其性质；全等三角形的应用
【解析】【解答】解：米，的面积为平方米，
点到距离为：（米），
，，，
≌，
点到的距离为米，
故答案为：．
【分析】根据全等三角形的判定与性质求解。根据米，的面积为平方米，得到点到距离，根据题意证明≌，由全等三角形的性质即可求解．
12．（2019七下·南海期中）如图，两根旗杆间相距12m，某人从点B沿BA走向点A，一段时间后他到达点M，此时他仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90°，且CM=DM，已知旗杆AC的高为3m，该人的运动速度为1m/s，则这个人运动到点M所用时间是
【答案】3秒
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【解答】解：∵∠CMD=90°，
∴∠CMA+∠DMB=90°，
又∵∠CAM=90°，
∴∠CMA+∠C=90°，
∴∠C=∠DMB．
在Rt△ACM和Rt△BMD中，
∴
∴Rt△ACM≌Rt△BMD（AAS），
∴AC=BM=3m，
∵该人的运动速度为1m/s，
∴他到达点M时，运动时间为3÷1=3（s）．
故答案为3．
【分析】根据题意证明∠C=∠DMB，利用AAS证明△ACM≌△BMD，根据全等三角形的性质得到AC=BM=3m，再利用时间=路程÷速度加上即可．
三、作图题
13．（2023七下·凤翔期末）如图，某公园有一个人工湖，王平和李楠两人想知道这个人工湖的长度，但无法直接度量，于是他们准备用所学知识，设计测量方案进行测量．已知为垂直于的一条小路，且小路两侧除人工湖所占区域外，其他区域均可随意到达，他们两人所带的测量工具只有一根足够长的皮卷尺，请你帮王平和李楠两人设计一种测量方案：
（1）请在图中画出测量示意图并写出测量数据（线段长度可用、、……表示）；（不要求写出测量过程）
（2）根据你的测量方案数据，计算出这个人工湖的长度．
【答案】（1）解：解：测量示意图如下所示：
（2）解：在和中，
，
，
．
即这个人工湖的长度为c．
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【分析】（1）在小路BP上任意取一点C，测量BC的长度为a，连接AC并测得AC的长为b，延长BC至D，使CD=a，延长AC至点E，使CE=b，最后测量DE=c.
（2）根据所画出的示意图以及测量的数据易知AC=CE，∠ACB=∠ECD，BC=DC，进而证明，再根据全等三角形对应边相等即可求解.
四、解答题
14．（2023八上·青秀月考）【阅读理解题】初二（1）班同学到野外上数学活动课，为测量池塘两端A、B的距离，设计了如下方案：
（Ⅰ）如图1，先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，连接AC、BC，并分别延长AC至D，延长BC至E，使，，最后测出DE的距离即为AB的长；
（Ⅱ）如图2，先过B点作AB的垂线BF，再在BF上取C、D两点使，接着过D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，则测出DE的长即为AB的距离.
阅读后回答下列问题：
（1）方案（Ⅰ）是否可行 请直接说出结论.
（2）方案（Ⅱ）是否可行 请说明理由.
（3）方案（Ⅱ）中作，目的是 ；
（4）若仅满足，方案（Ⅱ）是否成立 .
【答案】（1）解：方案（Ⅰ）可行；
理由：∵DC=AC，EC=BC，
又∵∠ACB=∠DCE，
∴△ACB≌△DCE（SAS），
∴AB=DE，
∴测出DE的距离即为AB的长，
∴方案（Ⅰ）可行；
（2）解：方案（Ⅱ）可行；理由如下：
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴测出DE的长即为AB的距离，
∴方案（Ⅱ）可行；
（3）使
（4）不成立
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【解答】解：（3）方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是使∠ABD=∠BDE，
故答案为：使∠ABD=∠BDE；
（4）若仅满足∠ABD=∠BDE≠90°，方案（Ⅱ）不成立；
理由：若∠ABD=∠BDE≠90°，∠ACB=∠ECD，
没有对应边相等，则无法证明△ABC≌△EDC，
则无法得到AB和其他线段的关系，则无法测出其他线段长度，
∴方案（Ⅱ）不成立；
故答案为：不成立．
【分析】（1）由题意可用SAS证明△ACB≌△DCE，得AB=DE，故方案（Ⅰ）可行；
（2）由题意可用ASA证明△ABC≌△EDC，得AB=ED，故方案（Ⅱ）可行；
（3）方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是使∠ABD=∠BDE；
（4）根据所给条件无法证明△ABC≌△EDC，则无法得到AB和其他线段的关系，则无法测出其他线段长度，故不成立．
15．（2023八上·合肥月考）阿进在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：如图，在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，表示小球静止时的位置.当阿进用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点.当小球撰到位置时，与恰好垂直（图中的，，，在同一平面上），过点作于点.
（1）求证：；
（2）若阿进测得，，求的长.
【答案】（1）证明：，
.
又，，
，
，
.
（2）解：在和中，
，
.
，
.
【知识点】余角、补角及其性质；全等三角形的应用；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据OB⊥OC，可知 ，再利用同角的余角相等，即可证明；（2） 先证明，得到BD=OE=8cm，已知OA的长，即可求出AE的长。
16．（2023七下·临渭期末）如图
（1）问题背景：如图，在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是， ▲ ，请说明理由；
（2）实际应用：如图，在新修的小区中，有块四边形绿化，四周修有步行小径，且，，在小径，上各修一凉亭，，在凉亭与之间有一池塘，不能直接到达．经测量得到，米，米，试求两凉亭之间的距离．
【答案】（1）解：；理由如下：
，，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）解：如图2，延长CD至H，使，连接AH，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
米，米，
米．
【知识点】全等三角形的应用；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）EF=BE+DF，理由如下：如图1，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先用SAS证△ABE≌△ADG，根据全等三角形的性质得AE=AG，∠BAE=∠DAG，由四边形内角和定理及角的和差可推出∠GAF=∠EAF，从而再利用SAS证明△AEF≌△AGF，得到EF=FG，进而根据线段的和差及等量代换可得结论；
（2）延长CD至H，使DH=BE，首先由同角的补角相等得∠B=∠ADH，从而用SAS证△ABE≌△ADH，根据全等三角形的性质得到AE=AH，∠BAE=∠DAH，进而由角的和差及已知推出∠HAF=∠EAF，进而再用SAS证△AEF≌△AHF，得到EF=FH，进一步求得EF.
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