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7.5正态分布
1.概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，
直方图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量，则这条曲线称为的概率密度曲线．
曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是，而随机变量落在指定的两个数之间的概率就是对应的曲边梯形的面积．
2．正态分布
（1）定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布．
服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量．
正态变量概率密度曲线的函数表达式为，，其中，是参数，且，．
式中的参数和分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为、标准差为的正态分布通常记作．
正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．
（2）标准正态分布：我们把数学期望为，标准差为的正态分布叫做标准正态分布．
（3）重要结论：
①正态变量在区间，，内，取值的概率分别是，，．
②正态变量在内的取值的概率为，在区间之外的取值的概率是，故正态变量的取值几乎都在距三倍标准差之内，这就是正态分布的原则．
（4）若，为其概率密度函数，则称为概率分布函数，特别的，，称为标准正态分布函数．
．标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得．分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可．
【题干】下列函数是正态分布密度函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【题干】若正态分布密度函数，下列判断正确的是（ ）
A．有最大值，也有最小值 B．有最大值，但没最小值
C．有最大值，但没最大值 D．无最大值和最小值
【题干】对于标准正态分布的概率密度函数，下列说法不正确的是（ ）
A．为偶函数
B．最大值为
C．在时是单调减函数，在时是单调增函数
D．关于对称
【题干】设的概率密度函数为，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．的渐近线是 D．
【题干】设，且总体密度曲线的函数表达式为：，．
（1）求；（2）求及的值．
【题干】某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为，则下列命题中不正确的是（ ）
A．该市这次考试的数学平均成绩为分
B．分数在120分以上的人数与分数在分以下的人数相同
C．分数在110分以上的人数与分数在分以下的人数相同
D．该市这次考试的数学标准差为
【题干】设随机变量服从正态分布，，则下列结论正确的个数是________．
（1）
（2）
（3）
（4）
【题干】已知随机变量服从正态分布，则（ ）
A． B． C． D．
【题干】在某项测量中，测量结果服从正态分布，若在内取值的概率为，则在内取值的概率为_________．
【题干】已知随机变量服从正态分布，，则（ ）
A． B． C． D．
【题干】已知，若，则（ ）
A． B． C． D．无法计算
【题干】设随机变量服从正态分布，若，
则．
【题干】设，且，则的值是（用表示）．
【题干】正态变量，为常数，，若，求的值．
【题干】某种零件的尺寸服从正态分布，则不属于区间这个尺寸范围的零件约占总数的_________．
【题干】某校高中二年级期末考试的物理成绩服从正态分布．
（1）若参加考试的学生有人，学生甲得分为分，求学生甲的物理成绩排名；
（2）若及格（分及其以上）的学生有人，求第名的物理成绩．
已知标准正态分布表．
【题干】在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布．已知成绩在分以上（含分）的学生有名．
（1）试问此次参赛学生总数约为多少人？
（2）若该校计划奖励竞赛成绩排在前名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？
附：标准正态分布表．
【题干】如果随机变量，求的值．
【题干】灯泡厂生产的白炽灯寿命（单位：），已知，要使灯泡的平均寿命为的概率为，则灯泡的最低使用寿命应控制在小时以上．
【题干】一批电池（一节）用于手电筒的寿命服从均值为小时、标准差为小时的正态分布，随机从这批电池中任意取一节，问这节电池可持续使用不少于小时的概率是多少？
【题干】某班有名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为，标准差为，理论上说在分到分的人数是．
【题干】已知连续型随机变量的概率密度函数，
（1）求常数的值；（2）求．
【题干】已知连续型随机变量的概率密度函数，求的值及．
【题干】设随机变量具有概率密度，求的值及．
【题干】美军轰炸机向巴格达某铁路控制枢纽投弹，炸弹落弹点与铁路控制枢纽的距离的密度函数为，若炸弹落在目标40米以内时，将导致该铁路枢纽破坏，已知投弹颗，求巴格达铁路控制枢纽被破坏的概率．
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7.5正态分布
1.概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，
直方图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量，则这条曲线称为的概率密度曲线．
曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是，而随机变量落在指定的两个数之间的概率就是对应的曲边梯形的面积．
2．正态分布
（1）定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布．
服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量．
正态变量概率密度曲线的函数表达式为，，其中，是参数，且，．
式中的参数和分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为、标准差为的正态分布通常记作．
正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．
（2）标准正态分布：我们把数学期望为，标准差为的正态分布叫做标准正态分布．
（3）重要结论：
①正态变量在区间，，内，取值的概率分别是，，．
②正态变量在内的取值的概率为，在区间之外的取值的概率是，故正态变量的取值几乎都在距三倍标准差之内，这就是正态分布的原则．
（4）若，为其概率密度函数，则称为概率分布函数，特别的，，称为标准正态分布函数．
．标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得．分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可．
【题干】下列函数是正态分布密度函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B；
【题干】若正态分布密度函数，下列判断正确的是（ ）
A．有最大值，也有最小值 B．有最大值，但没最小值
C．有最大值，但没最大值 D．无最大值和最小值
【答案】B；
【题干】对于标准正态分布的概率密度函数，下列说法不正确的是（ ）
A．为偶函数
B．最大值为
C．在时是单调减函数，在时是单调增函数
D．关于对称
【答案】D；
【解析】关于对称．
【题干】设的概率密度函数为，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．的渐近线是 D．
【答案】C；
【难度】*
【题干】设，且总体密度曲线的函数表达式为：，．
（1）求；（2）求及的值．
【答案】（1）．（2），．
【解析】（1），因此．
（2），由正态变量在区间内取值的概率是知：．
，由对称性知，
所以
，于是．
【难度】***
【题干】某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为，则下列命题中不正确的是（ ）
A．该市这次考试的数学平均成绩为分
B．分数在120分以上的人数与分数在分以下的人数相同
C．分数在110分以上的人数与分数在分以下的人数相同
D．该市这次考试的数学标准差为
【答案】B；
【解析】不难知道，由正态分布曲线的特点知答案为B．
【难度】**
【题干】设随机变量服从正态分布，，则下列结论正确的个数是________．
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】；
【解析】（1）（2）（4）正确．
【难度】***
【题干】已知随机变量服从正态分布，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D；
【解析】由正态分布的性质知：．
【难度】*
【题干】在某项测量中，测量结果服从正态分布，若在内取值的概率为，则在内取值的概率为_________．
【答案】；
【解析】正态分布的图象的对称轴为，在内取值的概率为，又随机变量落在指定的两个数之间的概率就是对应的正态曲线在两直线间的曲边梯形的面积，可知，随机变量在内取值的概率于在内取值的概率相同，也为，这样随机变量在内取值的概率为．
【难度】***
【题干】已知随机变量服从正态分布，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A；
【解析】随机变量落在指定的两个数之间的概率就是对应的正态曲线在两直线间的曲边梯形的面积，而，由，，故选A．
【难度】***
【题干】已知，若，则（ ）
A． B． C． D．无法计算
【答案】B；
【解析】因为，所以，故正态曲线关于对称，于是，所以．
【难度】***
【题干】设随机变量服从正态分布，若，
则．
【答案】；
【解析】，解得．
【题干】设，且，则的值是（用表示）．
【答案】；
【难度】***
【题干】正态变量，为常数，，若，求的值．
【答案】；
【解析】因为和的区间长度相等，要使成立，只能是和关于对称．因此，即．于是．
【难度】***
【题干】某种零件的尺寸服从正态分布，则不属于区间这个尺寸范围的零件约占总数的_________．
【答案】；
【解析】，，因此答案为．
【难度】***
【题干】某校高中二年级期末考试的物理成绩服从正态分布．
（1）若参加考试的学生有人，学生甲得分为分，求学生甲的物理成绩排名；
（2）若及格（分及其以上）的学生有人，求第名的物理成绩．
已知标准正态分布表．
【答案】（1）学生甲的物理成绩排名约为．（2）第名学生的物理成绩约为分．
【解析】（1）设排在学生甲前面的学生的物理成绩为分，
则．
而，因此学生甲的物理成绩排名约为．
（2）设60分及以上的人的物理成绩为分，则
即及格的考生（人）占全体考生的，因此考生总数约为人．故前名考生在全体考生中所占比率大约为．设第名考生的成绩为分，则有：，即．表有，即．解出．所以第名学生的物理成绩约为分．
【难度】***
【题干】在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布．已知成绩在分以上（含分）的学生有名．
（1）试问此次参赛学生总数约为多少人？
（2）若该校计划奖励竞赛成绩排在前名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？
附：标准正态分布表．
【答案】（1）设参赛总人数约为人．（2）奖得分数线约为分．
【解析】（1）设参赛学生的分数为，因为，所以
．这说明成绩在90分以上（含90分）的学生人数约占全体参赛人数的，因此参赛总人数约为（人）．
（2）假定设奖的分数线为分，则，
即，查表得，解得．故设奖得分数线约为分．
【难度】***
【题干】如果随机变量，求的值．
【答案】
【解析】由已知有．由正态变量在内取值的概率为知．由对称性知．
【难度】***
【题干】灯泡厂生产的白炽灯寿命（单位：），已知，要使灯泡的平均寿命为的概率为，则灯泡的最低使用寿命应控制在小时以上．
【答案】．
【解析】因为灯泡寿命，故在即
内取值的概率为，故灯泡的最低使用寿命应控制在小时以上．答案为．
【难度】**
【题干】一批电池（一节）用于手电筒的寿命服从均值为小时、标准差为小时的正态分布，随机从这批电池中任意取一节，问这节电池可持续使用不少于小时的概率是多少？
【答案】
【解析】电池的使用寿命，
．即这节电池可持续使用不少于小时的概率是．
【难度】***
【题干】某班有名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为，标准差为，理论上说在分到分的人数是．
【答案】．
【解析】数学成绩是，．．
分到分的人数约为．
【难度】***
【题干】已知连续型随机变量的概率密度函数，
（1）求常数的值；（2）求．
【答案】（1）．（2）．
【解析】（1）因为所在区间上的概率总和为1，即与轴所围图形面积为1．
所以，解得．
（2）即求在区间内，曲线与轴所围图形的面积．
【难度】***
【题干】已知连续型随机变量的概率密度函数，求的值及．
【答案】，．
【解析】由与轴所围图形面积为1知：，即，解得．．
【难度】***
【题干】设随机变量具有概率密度，求的值及．
【答案】，
【解析】由，即，解得．于是．注：此题模型为常见的连续随机分布：指数分布．其概率密度的一般形式为．其数学期望为，方差为．
【难度】***
【题干】美军轰炸机向巴格达某铁路控制枢纽投弹，炸弹落弹点与铁路控制枢纽的距离的密度函数为，若炸弹落在目标40米以内时，将导致该铁路枢纽破坏，已知投弹颗，求巴格达铁路控制枢纽被破坏的概率．
【答案】
【解析】每投一颗炸弹，可看作一次试验，每次试验仅有两种结果，要么铁路控制枢纽
被破坏，要么没有被破坏．设铁路控制枢纽被破坏的概率为，则：
．设表示“着弹点落在米之内”的炸弹的数目，则．所求概率为．
【难度】***
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