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6.1.1两个基本计数原理
一、 加法原理
分类时，首先要确定一个恰当的分类标准，然后进行分类；其次分类时要注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理．
二、 乘法原理
此类问题，首先将完成这件事的过程分步，然后再找出每一步中的方法有多少种，求其积．注意：各步之间相互联系，依次都完成后，才能做完这件事．简单说使用分步计数原理的原则是步与步之间的方法“相互独立，逐步完成”．
【题干】某同学有同样的画册本，同样的集邮册本，从中取出本赠送给位朋友，每位朋友一本，则不同的赠送方法共有（ ）
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
【答案】B.
【解析】赠送一本画册，本集邮册，共种方法；赠送本画册，本集邮册共种方法，由分类计数原理知不同的赠送方法共（种）.
【难度】*
【题干】 如图，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个．
【答案】.
【解析】把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有（个）.第二类，有两条公共边的三角形共有（个）．由分类加法计数原理知，共有（个）．
【难度】*
【题干】高二年级一班有女生人，男生人，从中选取名男生和名女生作代表，参加学校组织的调查团，问选取代表的方法有几种．
【答案】.
【解析】男生为人，女生为人，根据本题题意要完成一件事情需分个步骤：第步，从男生人中任选人，有种不同的选法；第步，从女生人中任选人，有种不同的选法；只有上述两步都完成后，才能完成从男生和女生中各选名这件事，根据分部乘法技术原理知共有（种）选取代表的方法.
【题干】若、是正整数，且，则以为坐标的点共有多少个？
【答案】.
【解析】按的取值进行分类，当时，的可取值有个，对应着个不同的点；当时，的可取值有个，对应着个不同的点；当时，的可取值有个，对应着个不同的点；当时，的可取值有个，对应着个不同的点；当时，的可取值有个，对应着个点.由分类计数原理，共有个不同的点.
【难度】*
【题干】用到这个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B.
【解析】由题意知本题要分类来解，当尾数为、、、时，个位有种选法，因百位不能为，所以百位有种，十位有种，共有；当尾数为时，百位有种选法，十位有种结果，共有.根据分类计数原理知共有
【难度】**
【题干】用数字，，，，组成的无重复数字的四位偶数的个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】由题意知本题需要分步计数，和排在末位时，共有种排法，其余三位数从余下的四个数中任取三个有种排法，根据由分步计数原理得到符合题意的偶数共有（个）.
【难度】**
【题干】用，，，，， 这个数字，可以组成________个大于，小于的数字不重复的四位数．
【答案】.
【解析】千位数字是的：个，千位数字是的：个，千位为且百位为的：个，同理，千位为且百位为的、千位为且百位为的、千位为且百位为的均为个，千位为、百位为且十位为的有个，千位为、百位为且十位为的有个，最后还有一个，综上，满足条件的数一共个.
【难度】***
【题干】某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙种不同的树苗，从中取出棵分别种植在排成一排的个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第个树坑只能种甲种树苗的种法共（ ）
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
【答案】D.
【解析】因为同种树苗不相邻且第一个树坑和第五个树坑只能种甲种树苗，所以只有中间三个坑需要选择树苗，当中间一个种甲时，第二和第四个坑都有种选法，共有种结果；当中间一个不种甲时，则中间一个种乙或丙；当中间这个种乙时，第二和第四个位置树苗确定；当中间一个种丙时，第二和第四个位置树苗确定，共有种结果，所以综上可知共有种结果.
【难度】***
【题干】(北京)用数字，组成四位数，且数字，至少都出现一次，这样的四位数共有________个(用数字作答)．
【答案】.
【解析】法一：用，组成四位数共有（个），其中不出现或不出现的共个，因此满足条件的四位数共有（个）．
法二：满足条件的四位数可分为三类：第一类含有一个，三个，共有个；第二类含有三个，一个共有个；第三类含有二个，二个共有（个），因此满足条件的四位数共有（个）．
【题干】 由数字，，，，
（1）可组成多少个位数；
（2）可组成多少个没有重复数字的位数；
（3）可组成多少个没有重复数字的三位数，且百位数字大于十位数字，十位数字大于个位数字．
【答案】（1）.（2）.（3）.
【解析】（1）百位数共有种排法；十位数共有种排法；个位数共有种排法，根据分步计数原理共可组成个位数．
（2）百位上共有种排法；十位上共有种排法；个位上共有种排法，由分步计数原理共可排成没有重复数字的位数 （个）．
（3）排出的三位数分别是、、、 ，共个．
【难度】**
【题干】公园有个门，从一个门进，一个门出，共有________种不同的走法．
【答案】.
【解析】由分步计数原理得共有不同的走法有种.
【难度】*
【题干】如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余两所学校均只参观一天，那么不同的安排方法共有________种．
【答案】.
【解析】分两步计算：第一步，先安排甲学校参观，因为甲学校连续参观两天，从天中找连续的两天，可以是周一周二，可以是周二周三，可以是周三周四，可以是周四周五，可以是周五周六，可以是周六周日，有种方法.第二步，安排另两所学校，因为另两所学校各参观一天，从剩下的天中任选天，有种方法.最后，两步方法数相乘，共有种方法.
【难度】*
【题干】（湖北文6）现有名同学去听同时进行的个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A.
【解析】因为每位同学均有种讲座可选择，所以位同学共有种.
【难度】**
【题干】用，，，，，组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且和相邻，这样的六位数的个数是________（用数字作答）．
【答案】.
【解析】由题意知本题需要分类来解，若个位数是偶数，当在个位时，则在十位，共有（个），当不在个位时，共有（个），所以若个位是偶数，有个六位数，同理若个位数是奇数，有个满足条件的六位数，所以这样的六位数的个数是.
【难度】*
【题干】用，，，，，这个数字：
（1）可以组成________个数字不重复的三位数．
（2）可以组成________个数字允许重复的三位数．
【答案】（1）.（2）.
【解析】（1）先排最高位，方法有种，其它位任意排，方法有种，根据分步计数原理求得无重复数字的三位数的个位数的个数为.
（2）根据题意：用数字，，，，，可以组成多少个三位数（各位上的数字允许重复）第一位数不为，有五种取法数字可以重复第二三位有六种取法解答即可..
【难度】*
【题干】从，，，这四个数中选三个数作为函数的系数，则可组成________个不同的二次函数，其中偶函数有________个（用数字作答）．
【答案】；
【解析】一个二次函数对应着、、（）的一组取值，的取法有种，的取法有种，的取法有种，由分步计数原理知共有二次函数个.若二次函数为偶函数，则.同上共有个.
【难度】**
【题干】已知集合，表示平面上的点，问：
（1）可表示平面上多少个不同的点？
（2）可表示平面上多少个第二象限的点？
（3）可表示多少个不在直线上的点？
【答案】（1）.（2）.（3）.
【解析】（1）确定平面上的点可分两步完成：第一步确定的值，共有种确定方法；第二步确定的值，也有种确定方法.根据分步乘法计数原理，得到平面上的点数是.
（2）确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定，由于，所以有种确定方法；第二步确定，由于，所以有种确定方法.由分步乘法计数原理，得到第二象限点的个数是.
（3）点在直线上的充要条件是，因此和必须在集合中取同一元素，共有种取法，即在直线上的点有个,由（1）得不在直线上的点共有（个）.
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6.1.1两个基本计数原理
一、 加法原理
分类时，首先要确定一个恰当的分类标准，然后进行分类；其次分类时要注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理．
二、 乘法原理
此类问题，首先将完成这件事的过程分步，然后再找出每一步中的方法有多少种，求其积．注意：各步之间相互联系，依次都完成后，才能做完这件事．简单说使用分步计数原理的原则是步与步之间的方法“相互独立，逐步完成”．
【题干】某同学有同样的画册本，同样的集邮册本，从中取出本赠送给位朋友，每位朋友一本，则不同的赠送方法共有（ ）
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
【题干】 如图，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个．
【题干】高二年级一班有女生人，男生人，从中选取名男生和名女生作代表，参加学校组织的调查团，问选取代表的方法有几种．
【题干】若、是正整数，且，则以为坐标的点共有多少个？
【题干】用到这个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）
A. B. C. D.
【题干】用数字，，，，组成的无重复数字的四位偶数的个数为（ ）
A. B. C. D.
【题干】用，，，，， 这个数字，可以组成________个大于，小于的数字不重复的四位数．
【题干】某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙种不同的树苗，从中取出棵分别种植在排成一排的个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第个树坑只能种甲种树苗的种法共（ ）
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
【题干】(北京)用数字，组成四位数，且数字，至少都出现一次，这样的四位数共有________个(用数字作答)．
【题干】 由数字，，，，
（1）可组成多少个位数；
（2）可组成多少个没有重复数字的位数；
（3）可组成多少个没有重复数字的三位数，且百位数字大于十位数字，十位数字大于个位数字．
【题干】公园有个门，从一个门进，一个门出，共有________种不同的走法．
【题干】如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余两所学校均只参观一天，那么不同的安排方法共有________种．
【题干】（湖北文6）现有名同学去听同时进行的个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（ ）
A. B.
C. D.
【题干】用，，，，，组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且和相邻，这样的六位数的个数是________（用数字作答）．
【题干】用，，，，，这个数字：
（1）可以组成________个数字不重复的三位数．
（2）可以组成________个数字允许重复的三位数．
【题干】从，，，这四个数中选三个数作为函数的系数，则可组成________个不同的二次函数，其中偶函数有________个（用数字作答）．
【题干】已知集合，表示平面上的点，问：
（1）可表示平面上多少个不同的点？
（2）可表示平面上多少个第二象限的点？
（3）可表示多少个不在直线上的点？
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