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6.1.2 基本计数原理的综合
【题干】将标号为，，，，，的张卡片放入个不同的信封中．若每个信封放张，其中标号为，的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（ ）
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
【题干】由正方体的个顶点可确定多少个不同的平面？
【题干】某台小型晚会由个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ）
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
【题干】如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，求最多的栽种方案．
【题干】（高考）如图，一环形花坛分成，，，四块，现有种不同的花供选种，要求在每块里种种花，且相邻的块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）
A. B. C. D.
【题干】（高考）如图，一个地区分为个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种．（以数字作答）
【题干】用到这个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）
A. B. C. D.
【题干】同室人各写张贺年卡，先集中起来，然后每人从中各拿张别人送出的贺年卡，则张贺年卡不同的分配方式有（ ）
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
【题干】某银行储蓄卡的密码是一个位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位和个位上的数字（如）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选，并且千位、百位上都能取．这样设计出来的密码共有（ ）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【题干】某班新年联欢会原定的个节目已排成节目单，开演前又增加了个新节目，如果将这个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为（ ）
A. B. C. D.
【题干】已知集合，若，则
（1）可以表示多少个不同的二次函数．
（2）可以表示多少个图象开口向上的二次函数．
【题干】用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为，，...，的个小正方形（如图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且“、、”号数字涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（ ）种．
A. B. C. D.
【题干】如图，用种不同的颜色给图中、、、四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求有多少种不同的涂色方法？
【题干】如图，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有种颜色可供使用，求不同的染色方法种数．
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6.1.2 基本计数原理的综合
【题干】将标号为，，，，，的张卡片放入个不同的信封中．若每个信封放张，其中标号为，的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（ ）
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
【答案】B.
【解析】由题意知本题是一个分步计数问题，先从个信封中选一个放，有种不同的选法，再从剩下的个数中选两个放一个信封中有，余下放入最后一个信封，所以共有.
【难度】*
【题干】由正方体的个顶点可确定多少个不同的平面？
【答案】.
【解析】一、正方体的个面.二、对棱所在的平面有个.三、不共棱的三点所在的平面有个（对于每一组不共棱的三点如，，都有一个顶点与该三点构成一个正三棱锥，同样，对于每个顶点都有不共棱的三点与其对应，而正方体有个顶点，故有个平面. 所以共有：
【难度】**
【题干】某台小型晚会由个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ）
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
【答案】B.
【解析】由题意知甲的位置影响乙的排列，所以要分两类：一类为甲排在第一位共有种，另一类甲排在第二位共有种，所以故编排方案共有种.
【难度】**
【题干】如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，求最多的栽种方案．
【答案】.
【解析】由题意知，最少用三种颜色的花卉，按照花卉选种的颜色可分为三类方案，即用三种颜色，四种颜色，五种颜色.①当用三种颜色时，花池、同色和花池、同色，此时共有种方案.②当用四种颜色时，花池、同色或花池、同色，故共有种方案.③当用五种颜色时有种方案.因此所有栽种方案为种.
【难度】***
【题干】（高考）如图，一环形花坛分成，，，四块，现有种不同的花供选种，要求在每块里种种花，且相邻的块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B.
【解析】分三类：种两种花有种种法；种三种花有种种法；种四种花有种种法.共有.
【难度】***
【题干】（高考）如图，一个地区分为个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种．（以数字作答）
【答案】.
【解析】由题意，选用种颜色时：涂色方法种.色全用时涂色方法：种.所以不同的着色方法共有种.
【难度】***
【题干】用到这个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B.
【解析】由题意知本题要分类来解，当尾数为、、、时，个位有种选法，因百位不能为，所以百位有种，十位有种，共有；当尾数为时，百位有种选法，十位有种结果，共有.根据分类计数原理知共有.
【难度】**
【题干】同室人各写张贺年卡，先集中起来，然后每人从中各拿张别人送出的贺年卡，则张贺年卡不同的分配方式有（ ）
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
【答案】B.
【解析】设四人分别为、、、，写的卡片分别为、、、，由于每个人都要拿别人写的，既不能拿自己写的，故有三种拿法，不妨设拿了，则可以拿生下三张中的任一张，也有三种拿法，和只能有一种拿法，所以共有种分配方式.
【难度】**
【题干】某银行储蓄卡的密码是一个位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位和个位上的数字（如）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选，并且千位、百位上都能取．这样设计出来的密码共有（ ）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【答案】C.
【解析】由于千位、百位确定下来后十位、个位就随之确定，则只考虑千位、百位即可，千位、百位各有种选择，所以有种.
【难度】***
【题干】某班新年联欢会原定的个节目已排成节目单，开演前又增加了个新节目，如果将这个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A.
【解析】因为由题意知将这个节目插入节目单中，原来的节目顺序不变，所以三个新节目一个一个插入节目单中，原来的个节目形成个空，在这个位置上插入第一个节目，共有种结果，原来的个和刚插入的一个，形成个空，有种结果，同理最后一个节目有种结果，根据分步计数原理得到共有插法种数为
【难度】***
【题干】已知集合，若，则
（1）可以表示多少个不同的二次函数．
（2）可以表示多少个图象开口向上的二次函数．
【答案】（1）.（2）.
【解析】（1）的取值有种情况，的取值有种情况，的取值有种情况，因此可以表示个不同的二次函数.
（2）的开口向上时，的取值有种情况，、的取值均有种情况，因此可以表示个图像开口向上的二次函数.
【难度】***
【题干】用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为，，...，的个小正方形（如图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且“、、”号数字涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（ ）种．
A. B. C. D.
【答案】B.
【解析】首先看图形中的，，，有种可能，当，，为其中一种颜色时，，共有种可能，其中种，是涂相同颜色，各有种可能共种可能.，及，与，及，一样有种可能并且与，，颜色无关.当，，换其他的颜色时也是相同的情况，符合条件的所有涂法共有种
【难度】***
【题干】如图，用种不同的颜色给图中、、、四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求有多少种不同的涂色方法？
【答案】.
【解析】法一：如题图分四个步骤来完成涂色这件事：涂有种涂法；涂有种方法；涂有种方法；涂有种方法(还可以使用涂的颜色)．根据分步计数原理共有种涂色方法．
法二：由于、、两两相邻，因此三个区域的颜色互不相同，共有种涂法；又与、相邻、因此有种涂法；由分步计数原理知共有种涂法．
【难度】***
【题干】如图，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有种颜色可供使用，求不同的染色方法种数．
【答案】见解析
【解析】法一：可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法原理即可得出结论．由题设，四棱锥的顶点、、所染的颜色互不相同，它们共有种染色方法．
当、、染好时，不妨设其颜色分别为、、，若染 ，则可染或或，有种染法；若染，则可染或，有种染法，若染，则可染或，有种染法．可见，当、、已染好时、还有种染法，故不同的染色方法有（种）．
法二：以、、、、顺序分步染色
第一步，点染色，有种方法；
第二步，点染色，与在同一条棱上，有种方法；
第三步，点染色，与、分别在同一条棱上，有种方法；
第四步，点染色，也有种方法，但考虑到点与、、相邻，需要针对与是否同色进行分类，当与同色时，点有种染色方法；当与不同色时，因为与、也不同色，所以点有种染色方法，点也有种染色方法．由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有（种）．
法三：按所用颜色种数分类
第一类，种颜色全用，共有种不同的方法；
第二类，只用种颜色，则必有某两个顶点同色(与，或与)，共有种不同的方法；
第三类，只用3种颜色，则与、或与必定同色，共有种不同的方法．
由分类加法计数原理，得不同的染色方法总数为（种）．
【难度】***
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