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6.2.1排列与组合
1）排列：一般地，从个不同的元素中任取（）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）
排列数：从个不同的元素中取出（）个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示.
排列数公式：，，，并且.
全排列：一般地，个不同元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素的一个全排列.
的阶乘：正整数由到的连乘积，叫作的阶乘，用表示．规定：.
2）组合：一般地，从个不同元素中，任意取出（）个元素并成一组，叫做从个元素中任取个元素的一个组合.
组合数：从个不同元素中，任意取出（）个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中，任意取出个元素的组合数，用符号表示.
组合数公式：，，，并且.
组合数的两个性质：性质1：；性质2：.（规定）
【题干】 解方程
(1； (2．
【题干】 化简．
【题干】[多选题]下列等式正确的是( )
A． B．
C． D．
【题干】求证：；
【题干】设，求证：
．
6.2.2排列组合常用方法——挡板法（名额分配或者相同物品的分配问题）
挡板法（名额分配或者相同物品的分配问题）
个相同小球放入（）个盒子里，要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于个相同小球串成一串从间隙里选个结点剪成段（插入块隔板），有种方法.
【题干】某校准备组建一个由人组成篮球队，这个人由个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共________种.
【题干】有个不加区别的小球放入编号为，，的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少于编号数，问有多少种不同的方法？
【题干】某中学准备组建一个人的足球队，这人由高一年级个班的学生组成，每个班至少一个，名额分配方案共有________种.
【题干】某校准备参加年高中数学联赛，把个选手名额分配到高三年级的个教学班，每班至少一个名额，则不同的分配方案共有________种.
【题干】个三好学生名额分到个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？
【题干】个相同的球装入个盒中，每盒至少有一个球有多少种装法？
【题干】求方程有________组不同的正整数解，有________组不同的非负整数解.
【题干】将序号分别为，，，，的张参观券全部分给人，每人至少张，如果分给同一人的张参观券连号，那么不同的分法种数是________.
【题干】某市植物园要在天内接待所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观天，其余只参观一天，则植物园天内不同的安排方法有 种．
【题干】某校准备组建一个由人组成篮球队，这个人由个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共 种．
【题干】有多少项？
【题干】有个不加区别的小球放入编号为 的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？
【题干】不定方程中不同的正整数解有 组，非负整数解有 组．
【题干】个人参加秋游带瓶饮料，每人至少带瓶，一共有多少种不同的带法．
【题干】将个完全相同的小球任意放入个不同的盒子中，共有多少种不同的放法？
【题干】一个楼梯共个台阶步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法．
【题干】有个三好学生名额，分配到高三年级的个班里，要求每班至少个名额，共有多少种不同的分配方案．
【题干】某中学准备组建一个人的足球队，这人由高一年级个班的学生组成，每个班至少一个，名额分配方案共有_______种．
【题干】个优秀指标名额分配到一、二、三个班，若名额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？
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6.2.1排列与组合
1）排列：一般地，从个不同的元素中任取（）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）
排列数：从个不同的元素中取出（）个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示.
排列数公式：，，，并且.
全排列：一般地，个不同元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素的一个全排列.
的阶乘：正整数由到的连乘积，叫作的阶乘，用表示．规定：.
2）组合：一般地，从个不同元素中，任意取出（）个元素并成一组，叫做从个元素中任取个元素的一个组合.
组合数：从个不同元素中，任意取出（）个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中，任意取出个元素的组合数，用符号表示.
组合数公式：，，，并且.
组合数的两个性质：性质1：；性质2：.（规定）
【题干】 解方程
(1； (2．
【解析】(1)根据题意，若，
则有或，解得或；
(2)根据题意，，则，有，且，
则有，化简可得：，解得或，
又由，且，则，则方程的解为．
【题干】 化简．
【解析】
(利用)
(多次利用了)
【点拨】 掌握组合数和排列数的关系，多熟悉组合数的性质.
【题干】[多选题]下列等式正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】，
，故成立．
，故成立．
，
，故 ，即不成立．
，故成立，
故选：．
【题干】求证：；
【证明】
【题干】设，求证：
．
【证明】对任意，
①当时，左边，
右边，等式成立．
②假设时命题成立，
即，
当时，
左边
，
右边
.
6.2.2排列组合常用方法——挡板法（名额分配或者相同物品的分配问题）
挡板法（名额分配或者相同物品的分配问题）
个相同小球放入（）个盒子里，要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于个相同小球串成一串从间隙里选个结点剪成段（插入块隔板），有种方法.
【题干】某校准备组建一个由人组成篮球队，这个人由个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共________种.
【答案】.
【解析】把个名额看作个相同的球，将它们一字排开，用块“隔板”放入个间隔位置，并且每个间隔位置只放入块“隔板”，则有种放法，即原问题的名额分配方案有种.
【难度】*
【题干】有个不加区别的小球放入编号为，，的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少于编号数，问有多少种不同的方法？
【答案】.
【解析】根据题意，先在编号为的盒子中依次放入个小球，编号为的盒子中依次放入个小球，还剩余个小球，只需将这个小球放入个小盒，每个小盒至少一个即可，个小球之间共个空位，从中选个，插入挡板即可，则有种不同的放法.
【难度】**
【题干】某中学准备组建一个人的足球队，这人由高一年级个班的学生组成，每个班至少一个，名额分配方案共有________种.
【答案】.
【解析】构造一个如图的隔板模型，取枚棋子排成一列，在相邻的每两枚棋子形成的个间隙中选取个插入隔板，将枚棋子分隔成个区间，第（）个区间的棋子数对应第个班级学生的名额，因此名额分配方案的种数与隔板插入方法数相等.因隔板插入方法数为，故名额分配方案有种.
【题干】某校准备参加年高中数学联赛，把个选手名额分配到高三年级的个教学班，每班至少一个名额，则不同的分配方案共有________种.
【答案】.
【解析】问题等价于把个相同小球放入个盒子里，每个盒子至少有一个小球的放法种数问题.将个小球串成一串，截为段有种截断法，对应放到个盒子里
因此，不同的分配方案共有种
【难度】**
【题干】个三好学生名额分到个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？
【答案】.
【解析】个人站成一排，每班至少要名，就有个空然后插入个板子把他们隔开，从九个里选个，就是.
【难度】**
【题干】个相同的球装入个盒中，每盒至少有一个球有多少种装法？
【答案】.
【解析】因为不能有空盒子，所以只能有个空位插板，需要隔个板，因此结果是.有种装法.
【难度】**
【题干】求方程有________组不同的正整数解，有________组不同的非负整数解.
【答案】. .
【难度】***
【题干】将序号分别为，，，，的张参观券全部分给人，每人至少张，如果分给同一人的张参观券连号，那么不同的分法种数是________.
【答案】.
【解析】张参观券全部分给人，分给同一人的张参观券连号，方法数为：和，和，和，和，四种连号，其它号码各位一组，分给人，共有种.
【难度】*
【题干】某市植物园要在天内接待所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观天，其余只参观一天，则植物园天内不同的安排方法有 种．
【答案】；
【解析】注意连续参观天，即需把天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有其余的就是所学校选天进行排列．于是安排方法数为．
【难度】***
【题干】某校准备组建一个由人组成篮球队，这个人由个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共 种．
【答案】；
【解析】此例的实质是个名额分配给个班，每班至少一个名额，可在个名额中的个空档中插入块档板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有种．
【难度】**
【题干】有多少项？
【答案】；
【解析】当项中只有一个字母时，有种（即），而指数的次数为，故这样的项有个；当项中有个字母时，有种，指数和为，即将个分配给个字母，用挡板法知为，于是一共这样的项有；当项中有个字母时，同上讨论知这样的项有种．当项中有个字母时，同上讨论知这样的项有种． 于是的项数为．或者化为的不定方程非负整数解的问题，答案为．
【难度】***
【题干】有个不加区别的小球放入编号为 的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？
【答案】；
【解析】为使每个盒子内的球数不少于编号数，先将个球分别放入编号为的盒子，这样这个问题转化为将个球放入三个不同盒子的问题．将个小球排成一排，在其间的个空隙中插入个挡板即可．于是所有的方法数为．
【难度】***
【题干】不定方程中不同的正整数解有 组，非负整数解有 组．
【答案】，；
【解析】相当于把个分给个未知数，采用挡板法，于是所有的方法数为；
非负整数解的问题，等价于 的非负整数解问题，等价于，的正整数解问题，一共有组．
【难度】***
【题干】个人参加秋游带瓶饮料，每人至少带瓶，一共有多少种不同的带法．
【答案】；
【解析】把问题转化为个相同的白球不相邻地插入已经排好的个相同的黑球之间的9个空隙中的排列问题．种．
【难度】***
【题干】将个完全相同的小球任意放入个不同的盒子中，共有多少种不同的放法？
【答案】；
【解析】考虑将个球放入个盒子中，每个盒子都不空，则每个盒子都减去一个球后与题目中的情形一一对应，故只需考虑将个球放入个盒子，每个盒子都不空即可．用加号法：将写成个相加，共有个加号，从中任取个，刚可将这些数分成份，共种．
【难度】***
【题干】一个楼梯共个台阶步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法．
【答案】；
【解析】根据题意要想步登完只能个一步登一个台阶，个一步登两个台阶，因此，把问题转化为个相同的黑球与个相同的白球的排列问题，共有种不同的走法．
【难度】***
【题干】有个三好学生名额，分配到高三年级的个班里，要求每班至少个名额，共有多少种不同的分配方案．
【答案】；
【解析】将写成个相加，其中有个加号，选出其中的个加号，于是可以被分成数之和，且每个数都不小于，故共有种分配方案．
【难度】***
【题干】某中学准备组建一个人的足球队，这人由高一年级个班的学生组成，每个班至少一个，名额分配方案共有_______种．
【答案】
【解析】用隔板法，人排成一排，有个间隔，在个间隔里插入个隔板，故共
有种分配方案．
【难度】***
【题干】个优秀指标名额分配到一、二、三个班，若名额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？
【答案】
【解析】先拿个指标分配给二班一个，三班两个，然后，问题就转化为个优秀名额分配给三个班级，每班至少一个．用隔板法，有种方法．
【难度】**
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