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● 解题方法总结和题型归类
一、求展开式中指定项
常见题型：
1）求某一项的系数，比如说的系数.思路：利用通项公式.
化简后，合并同类项后，让的指数等于，求出的值，代回.
2）求第几项或其系数，比如说第五项、第五项的系数.思路：利用通项公式.
注意：某一项的系数和二项式系数的区别.项的系数是变量的系数.
【题干】展开式中的系数为，则实数等于（ ）
A． B． C． D．
【题干】若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【题干】的展开式中项的系数是（ ）
A． B． C． D．
【题干】若展开式的二项式系数之和等于，则第三项是（ ）
【题干】设的展开式的各项系数之和为，二项式系数之和为，若，则展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
【题干】的展开式中的系数是________（用数字作答）．
【题干】的展开式中的系数是（ ）
A． B． C． D．
【题干】的展开式中含的项的系数为_________（结果用数值表示）.
【题干】展开式中不含的项的系数和为（ ）
A． B． C． D．
【题干】的展开式中第六项是________.
【点评】
【题干】展开式中的系数是________（用数字作答）．
【题干】设常数，展开式中的系数为，则________．
【题干】已知的展开式中的系数与的展开式中的系数相等，则
________．
【题干】在的展开式中，含的项的系数是（ ）.
A． B． C． D．
【题干】除以的余数是________
【题干】对于，求证：．
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二项式定理
对应二级知识点：二项式定理
● 基础知识总结和逻辑关系
一、二项式定理
1）二项式定理：这个公式表示的定理叫做二项式定理．
2）二项式系数、二项式的通项：叫做的二项展开式，其中的系数叫做二项式系数，式中的叫做二项展开式的通项．
用表示，即通项为展开式的第项：．
3）二项式展开式的各项幂指数：二项式的展开式项数为项，各项的幂指数状况是：
① 各项的次数都等于二项式的幂指数．
② 字母的按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零，字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到．
4）几点注意：
① 通项是的展开式的第项，这里．
② 二项式的项和的展开式的第项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换的．
③ 注意二项式系数（）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．
④ 通项公式是这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项公式是（只须把看成代入二项式定理）这与是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是，但项的系数一个是，一个是，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．
⑤ 设、，则得公式：．
⑥ 通项是中含有五个元素，
只要知道其中四个即可求第五个元素．
⑦ 当不是很大，比较小时可以用展开式的前几项求的近似值．
二、二项式系数的性质
1）杨辉三角形：
对于是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．
2）二项式系数的性质：
展开式的二项式系数是：，从函数的角度看可以看成是为自变量的函数，其定义域是：．
当时，的图象为下图：
这样我们利用“杨辉三角”和时的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质．
① 对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由公式得到．
② 增减性与最大值：
a. 如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；
b. 如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．
由于展开式各项的二项式系数顺次是：
，
，…，
，，…，
．
③ 二项式系数的和为，即．
④ 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即：．
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● 解题方法总结和题型归类
一、求展开式中指定项
常见题型：
1）求某一项的系数，比如说的系数.思路：利用通项公式.
化简后，合并同类项后，让的指数等于，求出的值，代回.
2）求第几项或其系数，比如说第五项、第五项的系数.思路：利用通项公式.
注意：某一项的系数和二项式系数的区别.项的系数是变量的系数.
【题干】展开式中的系数为，则实数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由于二项式的展开式的通项公式为 ，令，，展开式中的系数为，解得.
【难度】**
【题干】若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，令，
【难度】**
【题干】的展开式中项的系数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意
【难度】**
【题干】若展开式的二项式系数之和等于，则第三项是（ ）
【答案】
【解析】根据题意，展开式的二项式系数之和等于，有，解可得，；可得其二项展开式的通项为，则其第三项是.
【难度】**
【题干】设的展开式的各项系数之和为，二项式系数之和为，若，则展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】中，令得展开式的各项系数之和根据二项式系数和公式得二项式系数之和因为所以解得所以的展开式的通项为令得故展开式中的系数为.
【难度】**
【题干】的展开式中的系数是________（用数字作答）．
【答案】
【解析】原式，的系数为
【难度】***
【题干】的展开式中的系数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为的展开式为，的展开式中的的系数是；常数项为，所以的展开式中的系数是.
【难度】***
【题干】的展开式中含的项的系数为_________（结果用数值表示）.
【答案】
【解析】二项展开式的通项为，令得所以展开式中含的项的系数为.
【难度】**
【题干】展开式中不含的项的系数和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】中，令得展开式的各项系数和为，的展开式的通项为，令得含项的系数为故展开式中不含项的系数的和为.
【难度】**
【题干】的展开式中第六项是________.
【答案】
【难度】**
【点评】
【题干】展开式中的系数是________（用数字作答）．
【答案】
【解析】通项公式为，当时，．所以的系数是．
【题干】设常数，展开式中的系数为，则________．
【答案】
【解析】，由得，由知．
【题干】已知的展开式中的系数与的展开式中的系数相等，则
________．
【答案】
【解析】的通项为，当时，．∴的展开式中的系数是，的通项为，当时，．
∴的展开式中的系数是，∴，．
【题干】在的展开式中，含的项的系数是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】用排列组合的观点来求，个因式取，余下个取常数项，故所求系数为，选A．
【题干】除以的余数是________
【答案】
【解析】将分解成含的因数，然后用二项式定理展开，不含的项就是余数．
，又∵余数不能为负数，需转化为正数，
∴除以的余数为．∴应填：
【题干】对于，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】展开式的通项
．展开式的通项
．
由二项式展开式的通项明显看出，所以．
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