中小学教育资源及组卷应用平台
7.3.2 均值与方差性质的应用
一、知识要点
为随机变量，，为常数，，.
1）若是随机变量，则一般仍是随机变量，在求的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求的分布列带来的繁琐运算．
2）关键是将实际问题转化为数学问题，正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，求得该事件发生的概率，充分利用了分布列的性质.
3）概率问题的核心就是互斥事件、相互独立事件的概率计算、随机变量的分布以及均值等问题，并且都是以概率计算为前提的，在复习时要切实把握好概率计算方法．
【题干】设随机变量具有分布，，，，，，求，，.
【题干】 袋中有个大小相同的球，其中记上号的有个，记上号的有个（，，，）.现从袋中任取一球，表示所取球的标号．
（1）求的分布列、期望和方差；
（2）若，，，试求，的值．
【题干】（福建）某产品按行业生产标准分成个等级，等级系数依次为，，…，，其中为标准，为标准.已知甲厂执行标准生产该产品，产品的零售价为元/件；乙厂执行标准生产该产品，产品的零售价为元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．
（1）已知甲厂产品的等级系数的概率分布列如下所示：
且的数学期望，求，的值；
（2）为分析乙厂产品的等级系数，从该厂生产的产品中随机抽取件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数的数学期望．
（3）在（1）、（2）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．
注：（1）产品的“性价比”＝产品的等级系数的数学期望/产品的零售价；
（2）“性价比”大的产品更具可购买性．
【题干】 某公司有万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利，可能损失，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为，，；如果投资乙项目，一年后可能获利，也可能损失，这两种情况发生的概率分别为和．
（1）如果把万元投资甲项目，用表示投资收益（收益＝回收资金－投资资金），求的概率分布及；
（2）若把万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求的取值范围．
【题干】某班将要举行篮球投篮比赛，比赛规则是：每位选手可以选择在区投篮次或选择在区投篮次．在区每进一球得分，不进球得分；在区每进一球得分，不进球得分，得分高的选手胜出．已知参赛选手甲在区和区每次投篮进球的概率分别为和.
（1）如果选手甲以在、区投篮得分的期望高者为选择投篮区的标准，问选手甲应该选择哪个区投篮？
（2）求选手甲在区投篮得分高于在区投篮得分的概率．
【题干】如图，一个小球从处投入，通过管道自上面下落到或或，已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的．
某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到，，，则分别设为，，等奖．
（1）已知获得，，等奖的折扣率分别为，，，记随机变量为获得等奖的折扣率，求随机变量的分布列及数学期望
（2）若有人次（投入球为人次）参加促销活动，记随机变量为获得等奖或等奖的人次，求．
【题干】连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第次得到的点数为，若存在正整数，使，则称为你的幸运数字．
（1）求你的幸运数字为的概率；
（2）若，则你的得分为分；若，则你的得分为分；若，则你的得分为分；若抛掷三次还没找到你的幸运数字则记分．求得分的分布列和数学期望．
【题干】现有、两种建筑钢筋材料，从中各取等量的样品，检验它们的抗拉强度指数如下：
和分别表示，两种材料的抗拉强度．在使用材料时，要求抗拉强度平均不低于的条件下，试比较，两种材料哪一种的质量更好些．
【题干】为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的名志愿者中随机抽样名志愿者的年龄情况如下表所示．
（1）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图），再根据频率分布直方图估计这名志愿者中年龄在岁的人数；
（2）在抽出的名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取人参加中心广场的宣传活动，从这人中选取名志愿者担任主要负责人，记这名志愿者中“年龄低于岁”的人数为，求的分布列及数学期望．
分组 （单位：岁） 频数 频率
①
②
合计
(
20 25 30 35 40 45 年龄 岁
)
【题干】（北京）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以表示．
（1）如果，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；
（2）如果，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数的分布列和数学期望．
（注：方差 ，其中为，，…，的平均数）
【题干】已知，求与．
【题干】已知，，，则与的值分别为（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【题干】已知随机变量服从参数为的二项分布，则它的期望________，
方差________．
【题干】已知随机变量服从二项分布，且，，则二项分布的参数，的值分别为________，_________．
【题干】一盒子内装有个乒乓球，其中个旧的，个新的，每次取一球，取后放回，取次，则取到新球的个数的期望值是_________．
【题干】同时抛掷枚均匀硬币次，设枚硬币正好出现枚正面向上，枚反面向上的次数为，则的数学期望是（ ）
A． B． C． D．
【题干】某服务部门有个服务对象，每个服务对象是否需要服务是独立的，若每个服务对象一天中需要服务的可能性是，则该部门一天中平均需要服务的对象个数是（ ）
A． B． C． D．
【题干】一个袋子里装有大小相同的个红球和个黄球，从中同时取出个，则其中含红球个数的数学期望是_________．（用数字作答）
【题干】同时抛掷枚均匀硬币次，设枚硬币正好出现枚正面向上，枚反面向上的次数为，则的数学期望是（ ）
A． B． C． D．
【题干】某批数量较大的商品的次品率是，从中任意地连续取出件，为所含次品的个数，求．
【题干】甲、乙、丙人投篮，投进的概率分别是．
（1）现人各投篮次，求人都没有投进的概率；
（2）用表示乙投篮次的进球数，求随机变量的概率分布及数学期望．
【题干】抛掷两个骰子，当至少有一个点或点出现时，就说这次试验成功．
（1）求一次试验中成功的概率；
（2）求在次试验中成功次数的分布列及的数学期望与方差．
【题干】某寻呼台共有客户人，若寻呼台准备了份小礼品，邀请客户在指定时间来领取．假设任一客户去领奖的概率为．问：寻呼台能否向每一位顾客都发出奖邀请？若能使每一位领奖人都得到礼品，寻呼台至少应准备多少礼品？
【题干】某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有，参加过计算机培训的有，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．
（1）任选名下岗人员，求该人参加过培训的概率；
（2）任选名下岗人员，记为人中参加过培训的人数，求的分布和期望．
【题干】设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为，购买乙种商品的概率为，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．记表示进入商场的位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求的分布及期望．
【题干】某班级有人，设一年天中，恰有班上的（）个人过生日的天数为，求的期望值以及至少有两人过生日的天数的期望值．
【题干】购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得元的赔偿金．假定在一年度内有人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金元的概率为．
（1）求一投保人在一年度内出险的概率；
（2）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为元，为保证盈利的期望不小于，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．
【题干】某安全生产监督部门对家小型煤矿进行安全检查（简称安检）．若安检不合格，则必须进行整改．若整改后复查仍不合格，则强行关闭．设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是，整改后安检合格的概率是，计算（结果精确到）．
（1）恰好有两家煤矿必须整改的概率；
（2）平均有多少家煤矿必须整改；
（3）至少关闭一家煤矿的概率．
【题干】设一部机器在一天内发生故障的概率为，机器发生故障时全天停止工作．若一周个工作日里均无故障，可获利润万元；发生一次故障可获利润万元，只发生两次故障可获利润万元，发生三次或三次以上故障就要亏损万元．求一周内期望利润是多少？（精确到）
【题干】在汶川大地震后对唐家山堰塞湖的抢险过程中，武警官兵准备用射击的方法引爆从湖坝上游漂流而下的一个巨大的汽油罐．已知只有发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆．每次射击是相互独立的，且命中的概率都是．
（1）求油罐被引爆的概率；
（2）如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为，求的分布列及．
【题干】某商场准备在国庆节期间举行促销活动，根据市场调查，该商场决定从种服装商品，种家电商品，种日用商品中，选出种商品进行促销活动．
（1）试求选出的种商品中至少有一种是日用商品的概率；
（2）商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高元，同时，若顾客购买该商品，则允许有次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都获得数额为的奖金．假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是，请问：商场应将每次中奖奖金数额最高定为多少元，才能使促销方案对商场有利
【题干】将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是．
（1）求小球落入袋中的概率；
（2）在容器入口处依次放入个小球，记为落入袋中的小球个数，试求的概率和的数学期望．
【题干】一个袋中有大小相同的标有的个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回），记下标号．若拿出球的标号是的倍数，则得分，否则得分．
（1）求拿次至少得分的概率；
（2）求拿次所得分数的分布列和数学期望．
【题干】某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数，其中的各位数中，，出现的概率为，出现的概率为．
记，当程序运行一次时，
（1）求的概率；
（2）求的概率分布和期望．
【题干】某学生在上学路上要经过个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是．
（1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
（2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
7.3.2 均值与方差性质的应用
一、知识要点
为随机变量，，为常数，，.
1）若是随机变量，则一般仍是随机变量，在求的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求的分布列带来的繁琐运算．
2）关键是将实际问题转化为数学问题，正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，求得该事件发生的概率，充分利用了分布列的性质.
3）概率问题的核心就是互斥事件、相互独立事件的概率计算、随机变量的分布以及均值等问题，并且都是以概率计算为前提的，在复习时要切实把握好概率计算方法．
【题干】设随机变量具有分布，，，，，，求，，.
【答案】；；.
【解析】因为..所以.，.
【难度】***
【点评】由的期望、方差求的期望、方差是常考题之一，常根据期望和方差的性质求解.
【题干】 袋中有个大小相同的球，其中记上号的有个，记上号的有个（，，，）.现从袋中任取一球，表示所取球的标号．
（1）求的分布列、期望和方差；
（2）若，，，试求，的值．
【答案】（1）略；（2）或.
【解析】（1）的分布列为
所以..
（2）由，得，即. 又，所以当时，由，得.当时，由，得.所以或.即为所求.
【难度】****
【题干】（福建）某产品按行业生产标准分成个等级，等级系数依次为，，…，，其中为标准，为标准.已知甲厂执行标准生产该产品，产品的零售价为元/件；乙厂执行标准生产该产品，产品的零售价为元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．
（1）已知甲厂产品的等级系数的概率分布列如下所示：
且的数学期望，求，的值；
（2）为分析乙厂产品的等级系数，从该厂生产的产品中随机抽取件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数的数学期望．
（3）在（1）、（2）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．
注：（1）产品的“性价比”＝产品的等级系数的数学期望/产品的零售价；
（2）“性价比”大的产品更具可购买性．
【答案】（1）；（2）；（3）乙.
【解析】（1）因为，所以，即.又由的概率分布列得，即.由，解得.
（2）由已知得，样本的频率分布表如下：
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数的概率分布列如下：
所以.即乙厂产品的等级系数的数学期望等于.
（3）乙厂的产品更具可购买性．理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于，价格为元/件，所以其性价比为.因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于，价格为元/件，所以其性价比为.据此，乙厂的产品更具可购买性．
【难度】****
【点评】（1）利用分布列的性质及求，值．（2）先求的分布列，再求，（3）利用提示信息判断．
【题干】 某公司有万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利，可能损失，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为，，；如果投资乙项目，一年后可能获利，也可能损失，这两种情况发生的概率分别为和．
（1）如果把万元投资甲项目，用表示投资收益（收益＝回收资金－投资资金），求的概率分布及；
（2）若把万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求的取值范围．
【答案】
【解析】（1）依题意，的可能取值为，，.的分布列为
.
（2）设表示万元投资乙项目的收益，则的分布列为：
，依题意要求，所以.
【难度】***
【题干】某班将要举行篮球投篮比赛，比赛规则是：每位选手可以选择在区投篮次或选择在区投篮次．在区每进一球得分，不进球得分；在区每进一球得分，不进球得分，得分高的选手胜出．已知参赛选手甲在区和区每次投篮进球的概率分别为和.
（1）如果选手甲以在、区投篮得分的期望高者为选择投篮区的标准，问选手甲应该选择哪个区投篮？
（2）求选手甲在区投篮得分高于在区投篮得分的概率．
【答案】（1）区；（2）.
【解析】（1）设选手甲在区投篮的得分为，则的可能取值为，，，；；.所以的分布列为
所以.同理，设选手甲在区投篮的得分为，则的可能取值为，，，，；；；.所以的分布列为：
所以，因为，所以选手甲应该选择区投篮.
（2）设选手甲在区投篮得分高于在区投篮得分为事件，由（1）知：（且或） 且.故选手甲在区投篮得分高于在区投篮得分的概率为.
【难度】***
【题干】如图，一个小球从处投入，通过管道自上面下落到或或，已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的．
某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到，，，则分别设为，，等奖．
（1）已知获得，，等奖的折扣率分别为，，，记随机变量为获得等奖的折扣率，求随机变量的分布列及数学期望
（2）若有人次（投入球为人次）参加促销活动，记随机变量为获得等奖或等奖的人次，求．
【答案】（1）略；（2）.
【解析】（1）由题意得的分布列
则.
（2）由（1）可知，获得一等奖或二等奖的概率为.由题意得：，则.
【难度】***
【题干】连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第次得到的点数为，若存在正整数，使，则称为你的幸运数字．
（1）求你的幸运数字为的概率；
（2）若，则你的得分为分；若，则你的得分为分；若，则你的得分为分；若抛掷三次还没找到你的幸运数字则记分．求得分的分布列和数学期望．
【答案】（1）；（2）略.
【解析】（1）设“连续抛掷次骰子，和为”为事件，则它包含事件，，其中：四次中恰好两次为，两次为；：四次中恰好一次为，三次为.，为互斥事件，则的概率.
（2），.所以的分布列为：
所以.
【难度】***
【题干】现有、两种建筑钢筋材料，从中各取等量的样品，检验它们的抗拉强度指数如下：
和分别表示，两种材料的抗拉强度．在使用材料时，要求抗拉强度平均不低于的条件下，试比较，两种材料哪一种的质量更好些．
【答案】种钢筋更好.
【解析】先比较与的期望值，因为，.所以它们的期望相同.再比较它们的方差.因为..所以，所以种钢筋比较好.
【难度】****
【题干】为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的名志愿者中随机抽样名志愿者的年龄情况如下表所示．
（1）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图），再根据频率分布直方图估计这名志愿者中年龄在岁的人数；
（2）在抽出的名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取人参加中心广场的宣传活动，从这人中选取名志愿者担任主要负责人，记这名志愿者中“年龄低于岁”的人数为，求的分布列及数学期望．
分组 （单位：岁） 频数 频率
①
②
合计
(
20 25 30 35 40 45 年龄 岁
)
【答案】略.
【解析】（1），.故①处是，②处是.由频率分布直方表得的人数为.由频率分布直方图知，在这段数据上对应的频率是，因为组距是，所以小正方形的高是.故在频率分布直方图中补出高是的一个小正方形.
（2）用分层抽样方法抽人，则年龄低于岁的有人，年龄不低于岁的有人，故的可能取值是，，，，，.所以的分布列是
所以的期望值是.
【难度】****
【点评】注意超几何分布的使用和二项分布的异同点，二项分布的核心是每次实验概率保持不变.
【题干】（北京）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以表示．
（1）如果，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；
（2）如果，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数的分布列和数学期望．
（注：方差 ，其中为，，…，的平均数）
【答案】（1），；（2）略.
【解析】（1）当时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：，，，，
所以平均数为：；方差为：.
（2）当时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是：，，，；乙组同学的植树棵数是，，，.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有种可能的结果，这两名同学植树总棵数的可能取值为，，，，.事件“”等价于“甲组选出的同学植树棵，乙组选出的同学植树棵”，所以该事件有种可能的结果，因此.同理可得；；；.所以随机变量的分布列为：
.
【难度】***
【题干】已知，求与．
【答案】，
【解析】由二项分布的期望与方差公式得．
【难度】*
【题干】已知，，，则与的值分别为（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】A
【解析】，解得．
【难度】**
【题干】已知随机变量服从参数为的二项分布，则它的期望________，
方差________．
【答案】
【难度】**
【题干】已知随机变量服从二项分布，且，，则二项分布的参数，的值分别为________，_________．
【答案】
【难度】**
【题干】一盒子内装有个乒乓球，其中个旧的，个新的，每次取一球，取后放回，取次，则取到新球的个数的期望值是_________．
【答案】
【解析】二项分布，．
【难度】**
【题干】同时抛掷枚均匀硬币次，设枚硬币正好出现枚正面向上，枚反面向上的次数为，则的数学期望是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】抛掷一次，枚硬币正好出现枚正面向上，枚反面向上的概率是
，因此数学期望为．
【难度】***
【题干】某服务部门有个服务对象，每个服务对象是否需要服务是独立的，若每个服务对象一天中需要服务的可能性是，则该部门一天中平均需要服务的对象个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】**
【题干】一个袋子里装有大小相同的个红球和个黄球，从中同时取出个，则其中含红球个数的数学期望是_________．（用数字作答）
【答案】
【解析】由题意知，此问题满足参数为的二项分布，故．
【难度】***
【题干】同时抛掷枚均匀硬币次，设枚硬币正好出现枚正面向上，枚反面向上的次数为，则的数学期望是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】抛掷一次，枚硬币正好出现枚正面向上，枚反面向上的概率是，故
，因此数学期望为．
【难度】***
【题干】某批数量较大的商品的次品率是，从中任意地连续取出件，为所含次品的个数，求．
【答案】
【解析】由题意知，，所以．
【难度】**
【题干】甲、乙、丙人投篮，投进的概率分别是．
（1）现人各投篮次，求人都没有投进的概率；
（2）用表示乙投篮次的进球数，求随机变量的概率分布及数学期望．
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】（1）记"甲投篮次投进"为事件，"乙投篮1次投进"为事件，"丙投篮投
进"为事件，"人都没有投进"为事件．则，
∴
，∴人都没有投进的概率为．
（2）随机变量的可能值有，且，
，．
【难度】***
【题干】抛掷两个骰子，当至少有一个点或点出现时，就说这次试验成功．
（1）求一次试验中成功的概率；
（2）求在次试验中成功次数的分布列及的数学期望与方差．
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】（1）一次试验中，设事件表示“试验成功”，则
．
（2）依题意得：，其概率分布列为
∴
【难度】***
【题干】某寻呼台共有客户人，若寻呼台准备了份小礼品，邀请客户在指定时间来领取．假设任一客户去领奖的概率为．问：寻呼台能否向每一位顾客都发出奖邀请？若能使每一位领奖人都得到礼品，寻呼台至少应准备多少礼品？
【答案】不能，寻呼台至少应准备份礼品．
【解析】设来领奖的人数，
所以，可见，
所以，（人）（人）．答：不能，寻呼台至少应准备份礼品．
【难度】***
【题干】某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有，参加过计算机培训的有，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．
（1）任选名下岗人员，求该人参加过培训的概率；
（2）任选名下岗人员，记为人中参加过培训的人数，求的分布和期望．
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】（1）任选名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件，“该人参加过计
算机培训”为事件，由题设知，事件与相互独立，且，．任
选名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是：
．
所以该人参加过培训的概率是．
（2）因为每个人的选择是相互独立的，所以人中参加过培训的人数服从二项分布．，．的期望是．
【难度】****
【题干】设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为，购买乙种商品的概率为，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．记表示进入商场的位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求的分布及期望．
【答案】见解析
【解析】记表示事件：进入商场的位顾客购买甲种商品，记表示事件：进入商场的
位顾客购买乙种商品，记表示事件：进入商场的位顾客至少购买甲、乙两种商品中
的一种．则；
，故的分布
；；
；；所以．
【难度】****
【题干】某班级有人，设一年天中，恰有班上的（）个人过生日的天数为，求的期望值以及至少有两人过生日的天数的期望值．
【答案】见解析
【解析】个人在哪天过生日可看成次独立重复试验，设某天过生日的人数为，则
，因此，天每天有多少人过
生日，又可看作次独立重复试验，因此．由二项分布的期望值
公式，知：．没有人过生日的天数期望值为
．恰有一人过生日的天数期望值为．因此至少有两人
过生日的天数的期望值为：．
【难度】*****
【题干】购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得元的赔偿金．假定在一年度内有人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金元的概率为．
（1）求一投保人在一年度内出险的概率；
（2）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为元，为保证盈利的期望不小于，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．
【答案】（1）；（2）（元）
【解析】各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是，记投保的人中出险的
人数为，则．（1）记表示事件：保险公司为该险种至少支付元赔
偿金，则发生当且仅当，，
又，故．
（2）该险种总收入为元，支出是赔偿金总额与成本的和．支出，盈利，盈利的期望为，
由知，，
．
（元）．
【难度】****
【题干】某安全生产监督部门对家小型煤矿进行安全检查（简称安检）．若安检不合格，则必须进行整改．若整改后复查仍不合格，则强行关闭．设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是，整改后安检合格的概率是，计算（结果精确到）．
（1）恰好有两家煤矿必须整改的概率；
（2）平均有多少家煤矿必须整改；
（3）至少关闭一家煤矿的概率．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）每家煤矿必须整改的概率是，且每家煤矿是否整改是相互独立
的．设需要整改的煤矿数为，则．所以恰好有两家煤矿必须整改的概率
是：．
（2）的数学期望是，即平均有家煤矿必须整改．
（3）某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以某煤矿被关闭的概率是，从而该煤矿不被关闭的概率是．由题意，每家煤矿是否被关闭是相互独立的，所以至少关闭一家煤矿的概率是．
【难度】****
【题干】设一部机器在一天内发生故障的概率为，机器发生故障时全天停止工作．若一周个工作日里均无故障，可获利润万元；发生一次故障可获利润万元，只发生两次故障可获利润万元，发生三次或三次以上故障就要亏损万元．求一周内期望利润是多少？（精确到）
【答案】（万元）
【解析】以表示一周天内机器发生故障的天数，则，于是有概率分布
．以表示一周内所获利润，则的概率分布为：
．．
.
故一周内的期望利润为：（万元）．
【难度】***
【题干】在汶川大地震后对唐家山堰塞湖的抢险过程中，武警官兵准备用射击的方法引爆从湖坝上游漂流而下的一个巨大的汽油罐．已知只有发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆．每次射击是相互独立的，且命中的概率都是．
（1）求油罐被引爆的概率；
（2）如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为，求的分布列及．
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】（1）设命中油罐的次数为，则当或时，油罐不能被引爆．
，．所以油罐被引爆的概率为；
（2）射击次数的取值为．，，，．所以的分布列为：
．
【难度】****
【题干】某商场准备在国庆节期间举行促销活动，根据市场调查，该商场决定从种服装商品，种家电商品，种日用商品中，选出种商品进行促销活动．
（1）试求选出的种商品中至少有一种是日用商品的概率；
（2）商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高元，同时，若顾客购买该商品，则允许有次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都获得数额为的奖金．假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是，请问：商场应将每次中奖奖金数额最高定为多少元，才能使促销方案对商场有利
【答案】（1）；（2）商场应将中奖奖金数额最高定为元，才能使促销方案对商场
有利．
【解析】（1）从种服装商品，种家电商品，种日用商品中，选出种商品一共有
种选法，选出的种商品中没有日用商品的选法有种，所以选出的种商品中至少有一
种日用商品的概率为．
（2）顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量，设为，其所有可能值为．表示顾客在三次抽奖中都没有获奖，所以．
同样的可得，，
．于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是
．要使促销方案对商场有利，应使顾客获奖奖金总额的期望值不大于商场的提价数额，因此应有，所以．
故商场应将中奖奖金数额最高定为元，才能使促销方案对商场有利．
【难度】****
【题干】将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是．
（1）求小球落入袋中的概率；
（2）在容器入口处依次放入个小球，记为落入袋中的小球个数，试求的概率和的数学期望．
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】（1）记“小球落入袋中”为事件，“小球落入袋中”为事件，
则事件的对立事件为，而小球落入袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故，从而；
（2）显然，随机变量，故，．
【难度】*
【题干】一个袋中有大小相同的标有的个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回），记下标号．若拿出球的标号是的倍数，则得分，否则得分．
（1）求拿次至少得分的概率；
（2）求拿次所得分数的分布列和数学期望．
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】（1）设拿出球的号码是的倍数的为事件，则，，
拿次至少得分包括分和分两种情况．，，
∴．
（2）的可能取值为，则
；；
；；；所以的分布列为
．或者本问中，得分的次数，，
故．
【难度】****
【题干】某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数，其中的各位数中，，出现的概率为，出现的概率为．
记，当程序运行一次时，
（1）求的概率；
（2）求的概率分布和期望．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）已知，要使，只需后四位中出现个和个．
∴；
（2）的可能取值为．，
，，
，，
，∴的概率分布为：
．
【难度】****
【题干】某学生在上学路上要经过个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是．
（1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
（2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望．
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】（1）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件．因为事件
等价于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红
灯”，所以事件的概率为．
（2）由题意可得，可能取的值为（单位：）．事件“”等价于事件“该学生在上学路上遇到次红灯”，
所以．即的分布列是：
所以的期望是．
【url】
【难度】****
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
