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7.4.1二项分布
1．独立重复试验
如果每次试验，只考虑有两个可能的结果及，并且事件发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为次独立重复试验．次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为．
2．二项分布
若将事件发生的次数设为，事件不发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率是，其中．于是得到的分布列
… …
… …
由于表中的第二行恰好是二项展开式
各对应项的值，所以称这样的散型随机变量服从参数为，的二项分布，
记作．
二项分布的均值与方差：
若离散型随机变量服从参数为和的二项分布，则
，．
【题干】已知随机变量服从二项分布，，则等于________．
【题干】甲乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以的比分获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
【题干】某篮球运动员在三分线投球的命中率是，他投球次，恰好投进个球的概率________．（用数值表示）
【题干】某人参加一次考试，道题中解对道则为及格，已知他的解题正确率为，
则他能及格的概率为_________（保留到小数点后两位小数）
【题干】接种某疫苗后，出现发热反应的概率为，现有人接种了该疫苗，至少有人出现发热反应的概率为________．（精确到）
【题干】从一批由件正品，件次品组成的产品中，有放回地抽取次，每次抽一件，求恰好抽到两次次品的概率（结果保留位有效数字）．
【题干】一台型号的自动机床在一小时内不需要人照看的概为，有四台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多有台机床需要工人照看的概率是（ ）
A． B． C． D．
【题干】设在次独立重复试验中，事件发生的概率相同，若已知事件至少发生一次的概率等于，求事件在一次试验中发生的概率．
【题干】我舰用鱼雷打击来犯的敌舰，至少有枚鱼雷击中敌舰时，敌舰才被击沉．如果每枚鱼雷的命中率都是，当我舰上的个鱼雷发射器同是向敌舰各发射枚鱼雷后，求敌舰被击沉的概率（结果保留位有效数字）．
【题干】某厂生产电子元件，其产品的次品率为，现从一批产品中的任意连续取出件，求次品数的概率分布列及至少有一件次品的概率．
【题干】某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是．若某人获得两个“支持”，则给予万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助．求：
（1）该公司的资助总额为零的概率；
（2）该公司的资助总额超过万元的概率．
【题干】某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润元；若顾客采用分期付款，商场获得利润元．
（1）求位购买该商品的顾客中至少有位采用一次性付款的概率；
（2）求位位顾客每人购买件该商品，商场获得利润不超过元的概率．
【题干】某万国家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费元，便可获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为，若中奖，则家具城返还顾客现金元．某顾客消费了元，得到张奖券．
（1）求家具城恰好返还该顾客现金元的概率；
（2）求家具城至少返还该顾客现金元的概率．
【题干】某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的株大树中：
（1）至少有1株成活的概率；
（2）两种大树各成活株的概率．
【题干】一个口袋中装有个红球（且）和个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．
（1）试用表示一次摸奖中奖的概率；
（2）若，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；
（3）记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为．当取多少时，最大？
【题干】袋子和中装有若干个均匀的红球和白球，从中摸出一个红球的概率是，从中摸出一个红球的概率为．
（1）从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有次摸到红球即停止．
①求恰好摸次停止的概率；
②记次之内（含次）摸到红球的次数为，求随机变量的分布．
（2）若两个袋子中的球数之比为，将中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，求的值．
【题干】设飞机有两个发动机，飞机有四个发动机，如有半数或半数以上的发动机没有故障，就能够安全飞行，现设各个发动机发生故障的概率是的函数，其中为发动机启动后所经历的时间，为正的常数，试讨论飞机与飞机哪一个安全？（这里不考虑其它故障）．
【题干】假设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是，且各发动机互不影响．如果至少的发动机能正常运行，飞机就可以顺利地飞行．问对于多大的而言，四发动机飞机比二发动机飞机更安全？
【题干】一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是．
（1）设为这名学生在途中遇到红灯的次数，求的分布列；
（2）设为这名学生在首次停车前经过的路口数，求的分布列；
（3）求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．
【题干】一个质地不均匀的硬币抛掷次，正面向上恰为次的可能性不为，而且与正面向上恰为次的概率相同．令既约分数为硬币在次抛掷中有次正面向上的概率，求．
【题干】某气象站天气预报的准确率为，计算（结果保留到小数点后面第2位）
（1）5次预报中恰有次准确的概率；
（2）次预报中至少有次准确的概率；
（3）5次预报中恰有次准确，且其中第次预报准确的概率；
【题干】某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第层可以停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，求至少有两位乘客在20层下的概率．
【题干】个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取一球，求直到第次才取得次红球的概率．
【题干】某车间为保证设备正常工作，要配备适量的维修工．设各台设备发生的故障是相互独立的，且每台设备发生故障的概率都是．试求：
（1）若由一个人负责维修20台，求设备发生故障而不能及时维修的概率；
（2）若由3个人共同负责维修80台设备，求设备发生故障而不能及时维修的概率，并进行比较说明哪种效率高．
【题干】是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为．观察3个试验组，求至少有1个甲类组的概率．（结果保留四位有效数字）
【题干】已知甲投篮的命中率是，乙投篮的命中率是，两人每次投篮都不受影响，求投篮3次甲胜乙的概率．（保留两位有效数字）
【题干】若甲、乙投篮的命中率都是，求投篮次甲胜乙的概率．（）
【题干】省工商局于某年3月份，对全省流通领域的饮料进行了质量监督抽查，结果显示，某种刚进入市场的饮料的合格率为，现有甲，乙，丙人聚会，选用瓶饮料，并限定每人喝瓶，求：
（1）甲喝瓶合格的饮料的概率；
（2）甲，乙，丙人中只有人喝瓶不合格的饮料的概率（精确到）．
【题干】在一次考试中出了六道是非题，正确的记“√”号，不正确的记“×”号．若某考生随手记上六个符号，试求：（1）全部是正确的概率；
（2）正确解答不少于4道的概率；
（3）至少答对道题的概率．
【题干】某大学的校乒乓球队与数学系乒乓球队举行对抗赛，校队的实力比系队强，当一个校队队员与系队队员比赛时，校队队员获胜的概率为．
现在校、系双方商量对抗赛的方式，提出了三种方案：（1）双方各出人；（2）双方各出人；（3）双方各出人．三种方案中场次比赛中得胜人数多的一方为胜利．问：对系队来说，哪一种方案最有利？
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7.4.1二项分布
1．独立重复试验
如果每次试验，只考虑有两个可能的结果及，并且事件发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为次独立重复试验．次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为．
2．二项分布
若将事件发生的次数设为，事件不发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率是，其中．于是得到的分布列
… …
… …
由于表中的第二行恰好是二项展开式
各对应项的值，所以称这样的散型随机变量服从参数为，的二项分布，
记作．
二项分布的均值与方差：
若离散型随机变量服从参数为和的二项分布，则
，．
【题干】已知随机变量服从二项分布，，则等于________．
【答案】；
【解析】
【难度】*
【题干】甲乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以的比分获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A；
【解析】甲获胜，表示只比赛了局，且第局为甲获胜，前面局中甲胜了两局，乙
胜了一局，因此所求概率为．
【难度】**
【题干】某篮球运动员在三分线投球的命中率是，他投球次，恰好投进个球的概率________．（用数值表示）
【答案】；
【解析】.
【难度】**
【题干】某人参加一次考试，道题中解对道则为及格，已知他的解题正确率为，
则他能及格的概率为_________（保留到小数点后两位小数）
【答案】；
【解析】他能及格则要解对道题中解对道或道：解对道的概率为，解对道的概率为，且与互斥，他能及格的概率为．
【难度】**
【题干】接种某疫苗后，出现发热反应的概率为，现有人接种了该疫苗，至少有人出现发热反应的概率为________．（精确到）
【答案】；
【解析】设发热人数为，则，
．
【难度】**
【题干】从一批由件正品，件次品组成的产品中，有放回地抽取次，每次抽一件，求恰好抽到两次次品的概率（结果保留位有效数字）．
【答案】
【解析】有放回地抽取件，视为重Bernoulli实验．设表示“一次实验中抽到次品”，．记为抽到的次品数，则，于是
．
【难度】**
【题干】一台型号的自动机床在一小时内不需要人照看的概为，有四台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多有台机床需要工人照看的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D；
【解析】所有可能的情况是有 台机床需要有工人照看，
于是，亦可考虑反面的情形求解．
【难度】**
【题干】设在次独立重复试验中，事件发生的概率相同，若已知事件至少发生一次的概率等于，求事件在一次试验中发生的概率．
【答案】
【解析】设所求概率为，为在4次试验中发生的次数，则，依题意，解出．
【难度】**
【题干】我舰用鱼雷打击来犯的敌舰，至少有枚鱼雷击中敌舰时，敌舰才被击沉．如果每枚鱼雷的命中率都是，当我舰上的个鱼雷发射器同是向敌舰各发射枚鱼雷后，求敌舰被击沉的概率（结果保留位有效数字）．
【答案】
【解析】设表示击中敌舰的鱼雷数，则，敌舰被击沉的概率为
．
【难度】**
【题干】某厂生产电子元件，其产品的次品率为，现从一批产品中的任意连续取出件，求次品数的概率分布列及至少有一件次品的概率．
【答案】
【解析】的取值分别为0、1、2，=0表示抽取两件均为正品，．=1表示抽取一件正品一件次品，．=2表示抽取两件均为次品．
∴的概率分布列为：
0 1 2
．
【难度】***
【题干】某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是．若某人获得两个“支持”，则给予万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助．求：
（1）该公司的资助总额为零的概率；
（2）该公司的资助总额超过万元的概率．
【答案】见解析
【解析】（1）设表示资助总额为零这个事件，则．
（2）设表示资助总额超过万元这个事件，则
．
【难度】**
【题干】某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润元；若顾客采用分期付款，商场获得利润元．
（1）求位购买该商品的顾客中至少有位采用一次性付款的概率；
（2）求位位顾客每人购买件该商品，商场获得利润不超过元的概率．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）记表示事件：“位顾客中至少位采用一次性付款”，则表示事件：“位顾客中无人采用一次性付款”．，．
（2）记表示事件：“位顾客每人购买件该商品，商场获得利润不超过元”．表示事件：“购买该商品的位顾客中无人采用分期付款”．表示事件：“购买该商品的位顾客中恰有位采用分期付款”．则．，．．
【难度】***
【题干】某万国家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费元，便可获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为，若中奖，则家具城返还顾客现金元．某顾客消费了元，得到张奖券．
（1）求家具城恰好返还该顾客现金元的概率；
（2）求家具城至少返还该顾客现金元的概率．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）家具城恰好返还给该顾客现金元，即该顾客的三张奖券有且只有一张中奖．所求概率为．
（2）设家具城至少返还给该顾客现金元为事件，这位顾客的三张奖券有且只有一张中奖为事件，这位顾客有且只有两张中奖为事件，这位顾客有且只有三张中奖为事件，则，且是互斥事件．
．也可以用间接法求：．
【难度】***
【题干】某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的株大树中：
（1）至少有1株成活的概率；
（2）两种大树各成活株的概率．
【答案】（1）（2）
【解析】设表示第株甲种大树成活，，2．表示第株乙种大树成活，，2．则，，，独立，且，．
（1）至少有1株成活的概率为
．
（2）由独立重复试验中事件发生的概率公式知，所求概率为
．
【难度】***
【题干】一个口袋中装有个红球（且）和个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．
（1）试用表示一次摸奖中奖的概率；
（2）若，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；
（3）记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为．当取多少时，最大？
【答案】（1）（2）（3）
【解析】（1）一次摸奖从个球中任选两个，有种，其中两球不同色有种，一次摸奖中奖的概率．
（2）若，一次摸奖中奖的概率，三次摸奖是独立重复试验，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率是．
（3）设每次摸奖中奖的概率为，则三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为，求导得，不难知道在上为增函数，在上为减函数，当时取得最大值．由，解得．
【难度】****
【题干】袋子和中装有若干个均匀的红球和白球，从中摸出一个红球的概率是，从中摸出一个红球的概率为．
（1）从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有次摸到红球即停止．
①求恰好摸次停止的概率；
②记次之内（含次）摸到红球的次数为，求随机变量的分布．
（2）若两个袋子中的球数之比为，将中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，求的值．
【答案】见解析
【解析】（1）恰好摸次停止，则第次摸到的是红球，前面次独立重复试验摸到两次红球，所求概率为：，随机变量的取值为．由次独立重复试验概率公式，得
，，
，．
（2）设袋子中有个球，则袋子中有个球，且中红球数为，中红球数为，由，解得．
【难度】****
【题干】设飞机有两个发动机，飞机有四个发动机，如有半数或半数以上的发动机没有故障，就能够安全飞行，现设各个发动机发生故障的概率是的函数，其中为发动机启动后所经历的时间，为正的常数，试讨论飞机与飞机哪一个安全？（这里不考虑其它故障）．
【答案】略
【解析】当的两个发动机都有故障时，才不能安全飞行，安全的概率为．当的三或四个发动机有故障时，才不能安全飞行，安全的概率为：，
．∵，∴
当即时，，此时比较安全；当即时，，此时与一样安全；当即时，，此时比较安全．
【难度】****
【题干】假设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是，且各发动机互不影响．如果至少的发动机能正常运行，飞机就可以顺利地飞行．问对于多大的而言，四发动机飞机比二发动机飞机更安全？
【答案】略
【解析】分析：台发动机中要有台（或、台）正常运行，而这台可以是任意的．故属次独立重复试验问题．台发动机的情形同理．建立不等式求解．解：四发动机飞机成功飞行的概率为
，二发动机飞机成功飞行的概率为
要使四发动机飞机比二发动机飞机安全，只要
，解得．答：当发动机不出故障的概率大于时，四发动机飞机比二发动机飞机安全．注：计算飞机成功飞行的概率时可从反面考虑：四发动机为
，二发动机为，这样更简单．
【难度】***
【题干】一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是．
（1）设为这名学生在途中遇到红灯的次数，求的分布列；
（2）设为这名学生在首次停车前经过的路口数，求的分布列；
（3）求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．
【答案】略
【解析】（1），的分布列为
（2）由于表示该学生首次停车时经过的路口数，取值为．其中表示前个路口没遇红灯，但在个路口遇红灯，故，而表示一路上没遇红灯，；
（3）．
【难度】****
【题干】一个质地不均匀的硬币抛掷次，正面向上恰为次的可能性不为，而且与正面向上恰为次的概率相同．令既约分数为硬币在次抛掷中有次正面向上的概率，求．
【答案】略
【解析】设正面向上的概率为，依题意：，解得：，硬币在次抛掷中有次正面向上的概率为，故．
【难度】***
【题干】某气象站天气预报的准确率为，计算（结果保留到小数点后面第2位）
（1）5次预报中恰有次准确的概率；
（2）次预报中至少有次准确的概率；
（3）5次预报中恰有次准确，且其中第次预报准确的概率；
【答案】略
【解析】设为5次预报中预测准确的次数，则．
（1）
（2）
（3）设为4次预报中预测准确的次数，则，所求概率为
．
【难度】***
【题干】某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第层可以停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，求至少有两位乘客在20层下的概率．
【答案】略
【解析】位乘客在某一层楼下可看作次独立重复试验，用表示在第20层下的人数，则，至少有两位乘客在20层下的概率为：
．
【难度】***
【题干】个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取一球，求直到第次才取得次红球的概率．
【答案】略
【解析】设表示“取出一球为红球”的事件，易知．
由题意第次取得的是红球，设为前面次取得红球的次数，则．
于是．题目要求的概率为．
【难度】***
【题干】某车间为保证设备正常工作，要配备适量的维修工．设各台设备发生的故障是相互独立的，且每台设备发生故障的概率都是．试求：
（1）若由一个人负责维修20台，求设备发生故障而不能及时维修的概率；
（2）若由3个人共同负责维修80台设备，求设备发生故障而不能及时维修的概率，并进行比较说明哪种效率高．
【答案】略
【解析】（1）设表示20台设备中发生故障的设备的数目，则，不能及时维修的概率为
（2）设表示80台设备中发生故障的设备的数目，则，不能及时维修的概率为
.比较（1）（2）的结果知（2）的效率较高．
【难度】****
【题干】是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为．观察3个试验组，求至少有1个甲类组的概率．（结果保留四位有效数字）
【答案】略
【解析】设表示事件“一个试验组中，服用A有效的小白鼠有只”，．
表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有只”，，依题意有：，，，．
于是试验组是甲类组的概率为．设表示3个试验组中甲类组的个数，则．．
【难度】****
【题干】已知甲投篮的命中率是，乙投篮的命中率是，两人每次投篮都不受影响，求投篮3次甲胜乙的概率．（保留两位有效数字）
【答案】略
【解析】设甲、乙投篮3次命中的次数分别为，，
则．所求概率为
．
【难度】****
【题干】若甲、乙投篮的命中率都是，求投篮次甲胜乙的概率．（）
【答案】略
【解析】方法一：同样设甲、乙投篮次命中的次数分别为，，则．
按照例题中的思路有：
…………①，不难知道所求概率也可以“”为主：
…………②，的概率分布是相同的，．①②相加得：
故．
方法二：由对称性知，于是有
．
【难度】****
【题干】省工商局于某年3月份，对全省流通领域的饮料进行了质量监督抽查，结果显示，某种刚进入市场的饮料的合格率为，现有甲，乙，丙人聚会，选用瓶饮料，并限定每人喝瓶，求：
（1）甲喝瓶合格的饮料的概率；
（2）甲，乙，丙人中只有人喝瓶不合格的饮料的概率（精确到）．
【答案】略
【解析】（1）记“第一瓶饮料合格”为事件，“第二瓶饮料合格”为事件，与是相互独立事件，“甲喝瓶饮料都合格就是事件同时发生，根据相互独立事件的概率乘法公式得：．
（2）记“一人喝合格的瓶饮料”为事件，三人喝瓶饮料且限定每人瓶相当于次独立重复试验．根据次独立重复试验中事件发生次的概率公式，人喝瓶饮料只有人喝瓶不合格的概率：．
【难度】****
【题干】在一次考试中出了六道是非题，正确的记“√”号，不正确的记“×”号．若某考生随手记上六个符号，试求：（1）全部是正确的概率；
（2）正确解答不少于4道的概率；
（3）至少答对道题的概率．
【答案】略
【解析】由已知可知每个题解答正确的概率为，并且每次解答是相互独立事件．
（1）全部正确的概率是．
（2）“正确解答不少于道”即“有道题、道题或道题正确”，故所求概率为
．
（3）“至少答对2道题”的对立事件为“有道题或道题正确”，故所求概率为．
【难度】***
【题干】某大学的校乒乓球队与数学系乒乓球队举行对抗赛，校队的实力比系队强，当一个校队队员与系队队员比赛时，校队队员获胜的概率为．
现在校、系双方商量对抗赛的方式，提出了三种方案：（1）双方各出人；（2）双方各出人；（3）双方各出人．三种方案中场次比赛中得胜人数多的一方为胜利．问：对系队来说，哪一种方案最有利？
【答案】略
【解析】分析：进行几场比赛相当于进行几次独立重复试验，可以用次独立重复试验中某事件发生次的概率方式解题．记一场比赛系队获胜为事件，事件的对立事件为校队获胜，所以用方案（1），发生两次为系队胜，发生次也为系队胜，所以系队胜的概率为：，用方案（2），发生、、次为系队胜．所以系队胜的概率为：，用方案（3），发生、、、次为系队胜．所以系队胜的概率为：
比较可以看出，双方各出个人对系队更有利，获胜概率为．
【难度】****
【点评】实际上，对弱队而言，比赛场数越少，对弱队越有利，侥幸取胜的可能性越大．奥运会上乒乓球比赛从分制改成分制对我们这个乒乓强国来说，是不利的；但从三局改为七局对我们来说是有利的．
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