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学 科 数学 年 级 七 设计者
教材版本 人教版 册、章 下册第八单元
课标要求 内容要求：1.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程。2.掌握消元法，能解二元一次方程组。3.能解简单的三元一次方程组。4.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性。学业要求：能根据具体问题中的数量关系列出方程，理解方程的意义；能根据二元一次方程组的特征，选择代入消元法或加减消元法解二元一次方程组；并能解简单的三元一次方程组；能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。建立模型观念。
内容分析 本章在列方程组的讨论中，重视数学与实际的关系，突出其中蕴涵的建模思想；在解方程组的讨论中，重视过程与结果的关系，突出消元化归思想.此外，本章对于数学文化也予以关注.“阅读与思考一次方程组的古今表示及解法”中，从《九章算术》中有关一次方程组的算筹表示和解法说起，联系现代的矩阵表示和解法，介绍了中国古代数学的光辉成就.希望学生通过学习本章不仅在数学知识和能力方面得到提高，而且能够受到数学文化的熏陶.
学情分析 学生在之前的学习过程中，已经掌握了一元一次方程的概念和解法，以及代数式、整式等基础数学知识。在此基础上，本章将进一步研究二元一次方程组的有关概念、解法和应用等，它是一元一次方程的继续和发展，同时又是今后学习线性方程组及平面解析几何等知识的基础。教师在教学过程中可以根据学生的实际情况，采取适当的教学方法和策略，帮助学生逐步掌握二元一次方程组的知识和技能。同时，通过实际应用问题的练习，培养学生的数学应用意识和问题解决能力。
单元目标 （一）教学目标1、了解二元一次方程及其相关概念，能设两个未知数并列方程组表示实际问题中的两种相关的等量关系.2、体会“消元”思想，掌握解二元一次方程组的方法一一代入法和加减法，能根据二元一次方程组的具体形式选择适当的解法.3、了解三元一次方程组及其解法，进一步体会“消元”的思想，能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法.（二）教学重点、难点重点：二元一次方程组的解法及实际应用。难点：列二元一次方程组解决实际问题。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数8.1二元一次方程组18.2消元-解二元一次方程组28.3实际问题与二元一次方程组38.4三元一次方程组1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务8.1二元一次方程组1. 了解二元一次方程（组）及其解的定义.2.会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解.3.能根据实际问题列出简单的二元一次方程组。掌握二元一次方程组的概念以及解的概念任务1：学生能利用实际问题理解二元一次方程组的概念任务2：能利用例题理解二元一次方程组解的概念8.2消元-解二元一次方程组1.掌握代入消元法解简单的二元一次方程组的一般步骤，并能正确求出二元一次方程组的解.2.让学生经历探究的过程，体会二元一次方程组的解法与一元一次方程的解法的关系，进一步体会消元思想和化归思想.3.掌握加减消元法的意义.4.会用加减法解二元一次方程组.学生通过掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组来解决实际问题任务1：学生能利用代入消元法解题步骤解决问题任务2：学生能利用加减消元法解题步骤解决问题8.3实际问题与二元一次方程1.能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题.2.学会利用二元一次方程组解决和差倍分、配套、数字问题.3.学会利用二元一次方程组解决几何问题、行程问题、配套问题等.4.学会利用二元一次方程组解决图表信息、决策、商品等问题.和差倍分、配套、数字问题、几何问题、行程问题、工程问题、图表信息、决策、商品问题能利用二元一次方程组表示，并能利用代入或加减消元法计算。任务1：学生能利用二元一次方程组解决和差倍分、配套、数字问题；任务2：学生能利用二元一次方程组解决几何问题、行程问题、工程问题任务3：学生能利用二元一次方程组解决图表信息、决策、商品问题8.4三元一次方程组的解法1.能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决复杂的实际问题.2.学会利用二元一次方程组解决图表信息、决策、商品等问题.通过类比理解三元一次方程组的概念，掌握三元一次方程组的解法。任务一：通过实例了解三元一次方程组的概念；任务2：会用三元一次方程组解决实际问题。
《第八章》单元教学设计
任务1：通过案例总结二元一次方程组的概念
8.1二元一次方程组
任务2：通过例题认识一元二次方程组的解的概念
任务3：例题解析
任务1：通过案例总结代入消元法的步骤
8.2消元-解二元一次方程组
二元一次方程组
任务2：通过案例总结加减消元法的步骤
任务3：例题解析
任务1：研究和差倍分、配套、数字问题用二元一次方程
解决
任务2：研究几何问题、行程问题、工程问题用二元一次
方程解决
8.3实际问题与二元一次方程组
任务3：研究图表信息、决策、商品问题用二元一次方程
解决
任务4：例题解析
任务1：通过例子的类比引出三元一次方程组的概念
8.4三元一次方程组
任务2：例题探究解三元一次方程组的步骤
任务3：例题解析
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分课时教学设计
第一课时《8.2.1代入消元法解二元一次方程组》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是在学习了二元一次方程组的有关概念之后讲授的，用代入消元法解二元一次方程组是解二元一次方程组的基本方法之一，它既是对解一元一次方程的延伸和拓展，又是为以后学习三元一次方程组的解、求一次函数和二次函数的解析奠定了基础，具有非常重要的作用，对于学生理解并掌握消元、化归的数学思想也有者十分重要的意义。
学习者分析 学生数学基础相对比较薄弱，学生的认知水平有限，学参差不齐。学生已有的知识为：1.一元一次方程及其解的概念等知识；2.在《整式加减》一章的化简求值问题中对“代入”一词的意义与方法已有了一定的理解；3.在第五章的几何推理学习中，“等量代换”的意义已被学生所接纳。 以上学生的已有知识都为本节课的学习做好了知识上的铺垫，上课能够积极配合老师，积极思考回答问题。
教学目标 1.掌握代入消元法解简单的二元一次方程组的一般步骤，并能正确求出二元一次方程组的解. 2.让学生经历探究的过程，体会二元一次方程组的解法与一元一次方程的解法的关系，进一步体会消元思想和化归思想.
教学重点 用代入法解二元一次方程组。
教学难点 寻找实际问题中的两个等量关系。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：导入教师活动1： 1.把下列方程写成用含x的式子表示y的形式. (1) 2x+y=6 y=6-2x (2) y-3x-1=0 y=3x+1 2.你能把上面两个方程写成用含y的式子表示x的形式. 学生活动1： 给学生时间独立解决此问题，教师巡视对个别同学进行指导. 活动意图说明： 过学生熟悉的问题引入，吸引学生的课堂注意力；由浅入深，激发学习兴趣.环节二：新知讲解教师活动2： 用代入法解二元一次方程组 篮球联赛中，每场都要分出胜负，每队胜 1 场得 2 分，负 1 场得 1 分. 某队 10 场比赛中得到 16 分，那么这个队胜负场数分别是多少？ 在8.1节中我们已经看到，直接设两个未知数：胜x场、负y场， 可以列方程组 表示本章引言中问题的数量关系. 如果只设一个未知数:胜x场，那么这个问题也可以用一元一次方程2x+(10-x) = 16来解 对比方程和方程组，你能发现它们之间的关系吗？ 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为一元一次方程，先求出一个未知数，然后再求另一个未知数，这种将未知数的个数由多化少，逐一解决的思想，叫消元思想． 解二元一次方程组的基本思路：“消元” 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法． 例1 用代入法解方程组 转化 解：由①,得 x = y + 3 .③ 代入 把③代入②,得 3(y+3)－8y=14. 求解 解这个方程,得 y=－1. 回代 把y=－1代入③,得 x=2. 写解 所以这个方程组的解是 检验：检验方程组的解 思考：把③代入①可以吗？ 解二元一次方程组的步骤： 转化：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来. 代入：把此代数式代入没有变形的另一个方程中，可得一个一元一次方程. 求解：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值. 回代：回代求出另一个未知数的值. 写解：把方程组的解表示出来. 检验：检验(口算或在草稿纸上进行笔算),即把求得的解代入每一个方程看是否成立.学生活动2： 回顾所学，锻炼学生根据实际问题列出合适的二元一次方程组的能力，顺势引导学生思考二元一次方程的解答方法，培养自主学习习惯. 学生独立思考，然后再分组交流，教师深入小组，参与活动，关注、学生能否理解概念，并紧扣概念解决问题。 教师深入学生中间，适时进行点拨。展示学生可能出现的各种情况，及时对学生的回答进行评价，对不规范的解法予以纠正，对学生好的解法及时给予表扬和鼓励，并且给予恰当的评价。 活动意图说明： 培养学生的自主学习习惯，发展观察总结能力，锻炼学生的实践能力，激发学生学习的自信心. 规范解二元一次方程组的具体步骤，培养学生有条理的思维和解题习惯.环节三：新知讲解教师活动3： 二、用代入消元法解二元一次方程组的实际应用 例 根据市场调查，某种消毒液的大瓶装(500 g)和小瓶装(250 g)两种产品的销售数量(按瓶计算)比为 2︰5. 某厂每天生产这种消毒液 22.5 t，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？ 思考：题中有哪些未知量？有怎样的等量关系？ 未知量有消毒液应该分装的大瓶数和小瓶数. 等量关系：1.大瓶数：小瓶数=2：5 2.大瓶所装消毒液+小瓶所装消毒液=总生产量 解：设这些消毒液应该分装 x 大瓶、y 小瓶. 根据大、小瓶数的比，以及消毒液分装量与总产量的数量关系，得 由①，得 y=x 把③代入②得，得 500x+250×x 解这个方程，得 x=20 000. 把 x=20 000代入③，得 y=50 000. 所以这个方程组的解是 答：这些消毒液应该分装 20 000 大瓶和 50 000 小瓶. 上面解方程组的过程可以用下面 的框图表示： 解这个方程组时，可以先消去 x 吗？ 解：设这些消毒液应该分装 x 大瓶、y 小瓶. 根据大、小瓶数的比，以及消毒液分装量与总产量的数量关系，得 由①，得 x=y 把③代入②得，得 500y+250y 解这个方程，得 y=50 000. 把 y=50 000代入③，得 x=20 000. 所以这个方程组的解是 答：这些消毒液应该分装 20 000 大瓶和 50 000 小瓶.学生活动3： 组织学生小组讨论 通过例题，进一步巩固学生解二元一次方程组的步骤和方法. 活动意图说明： 锻炼学生运用二元一次方程组解决实际问题的能力，巩固学生解二元一次方程组的步骤和方法.环节四：典例分析解方程组 解：把①代入②，得 3x+2(2x-3)=8. 解这个方程，得 x=2. 把 x=2 代入①，得 y=4-3=1. 所以这个方程组的解是 学生活动4： 可根据解二元一次方程组的步骤解决问题。活动意图说明： 巩固运用二元一次方程组解决实际问题的方法，发展抽象能力和推理能力，初步培养模型意识和观念.
板书设计 代入消元法解二元一次方程组
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．1．用代入法解方程组下列说法正确的是( B ) A.直接把①代入②,消去y B.直接把①代入②,消去x C.直接把②代入①,消去y D.直接把②代入①,消去x 2. 若单项式2x 与-是同类项,则a,b的值分别是( A ) A. a=3,b=1 B. a=-3,b=1 C. a=3,b=-1 D. a=-3,b=-1 选做题： 3. 把下列方程改写成用含x的式子表示y的形式： (1)2x-y=5； (2)x+y=4. 解：(1)移项，得-y=5-2x.系数化为1，得y=2x-5. (2)移项，得y=4-x.系数化为1，得y=8-x. 【综合拓展类作业】 4.已知关于 x, y 的二元一次方程组的解满足 x + y=0,求实数m的值. 解:关于 x, y 的方程组得 又因为 x + y=0,所以(2m-11)+(-m+7)=0,解得m=4.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.关于 x, y的方程组则y用只含x的式子表示为( B ) A. y=2x+7 B. y=7-2x C. y=-2x-5 D. y=2x-5 2.解方程组: 解:将②变形得x=8+3y,③ 把③代入①,得2(8+3y)+3y=7,解得y=-1, 把y=-1代入③,得x=5, 所以这个方程组的解是 选做题： 3.如图为正方体的一种表面展开图,如果原来正方体相对的两个面上的数或式子的值相等,求 x + y + a的值. 解:由题意得解得 易得a=3,所以 x + y + a=3+1+3=7. 【综合拓展类作业】 4.小明在解方程组时,得到的解是小英同样解这个方程组,由于把c抄错而得到的解是求方程组中a ,b ,c 的值. 解:依题意,可知是原方程组的解,所以解得c=-5. 由题意,可知是方程 ax + by =2的解,即2a-6b=2. 解方程组得 综上可知,a=,b=,c=-5.
教学反思 回顾一元一次方程的解法，借此探索二元一次方程组的解法，使得学生的探究有很好的认知基础，探究显得十分自然流畅. 引导学生充分思考和体验转化与化归思想，增强学生的观察归纳能力，提高学生的学习能力.从本节课的授课过程来看，灵活运用了多种教学方法，既有教师的讲解，又有讨论，在教师指导下的自学，组织学生活动等. 调动了学生学习的积极性，充分发挥了学生的主体作用. 课堂拓展了学生的学习空间，给学生充分发表意见的自由度。
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8.2.1代入消元法解二元一次方程组
人教版 七年级下册
内容总览
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
教材分析
本节课是在学习了二元一次方程组的有关概念之后讲授的，用代入消元法解二元一次方程组是解二元一次方程组的基本方法之一，它既是对解一元一次方程的延伸和拓展，又是为以后学习三元一次方程组的解、求一次函数和二次函数的解析奠定了基础，具有非常重要的作用，对于学生理解并掌握消元、化归的数学思想也有者十分重要的意义。
教学目标
1.掌握代入消元法解简单的二元一次方程组的一般步骤，并能正确求出二元一次方程组的解.
2.让学生经历探究的过程，体会二元一次方程组的解法与一元一次方程的解法的关系，进一步体会消元思想和化归思想.
新知导入
1.把下列方程写成用含x的式子表示y的形式.
(1) 2x+y=6
(2) y-3x-1=0
2.你能把上面两个方程写成用含y的式子表示x的形式.
y=6-2x
y=3x+1
(1)
(2)
新知讲解
一、用代入法解二元一次方程组
篮球联赛中，每场都要分出胜负，每队胜 1 场得 2 分，负 1 场得 1 分. 某队 10 场比赛中得到 16 分，那么这个队胜负场数分别是多少？
在8.1节中我们已经看到，直接设两个未知数：胜x场、负y场，
可以列方程组 表示本章引言中问题的数量关系.
如果只设一个未知数:胜x场，那么这个问题也可以用一元一次方程
2x+(10-x) = 16来解.
新知讲解
一、用代入法解二元一次方程组
对比方程和方程组，你能发现它们之间的关系吗？
二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为一元一次方程，先求出一个未知数，然后再求另一个未知数，这种将未知数的个数由多化少，逐一解决的思想，叫消元思想．
2x+(10-x)=16
y=4
x=6
y=10-x
新知讲解
一、用代入法解二元一次方程组
解二元一次方程组的基本思路：“消元”
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法．
新知讲解
一、用代入法解二元一次方程组
例1 用代入法解方程组
转化 解：由①,得 x = y + 3 .③
代入 把③代入②,得 3(y+3)－8y=14.
求解 解这个方程,得 y=－1.
回代 把y=－1代入③,得 x=2.
写解 所以这个方程组的解是
检验：检验方程组的解
①
②
思考：把③
代入①可以吗？
新知讲解
一、用代入法解二元一次方程组
解二元一次方程组的步骤：
转化：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.
代入：把此代数式代入没有变形的另一个方程中，可得一个一元一次方程.
求解：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值.
回代：回代求出另一个未知数的值.
写解：把方程组的解表示出来.
检验：检验(口算或在草稿纸上进行笔算),即把求得的解代入每一个方程看是否成立.
新知讲解
二、用代入消元法解二元一次方程组的实际应用
例 根据市场调查，某种消毒液的大瓶装(500 g)和小瓶装(250 g)两种产品的销售数量(按瓶计算)比为 2︰5. 某厂每天生产这种消毒液 22.5 t，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？
思考：题中有哪些未知量？有怎样的等量关系？
未知量有消毒液应该分装的大瓶数和小瓶数.
等量关系：1.大瓶数：小瓶数=2：5
2.大瓶所装消毒液+小瓶所装消毒液=总生产量
新知讲解
二、用代入消元法解二元一次方程组的实际应用
解：设这些消毒液应该分装 x 大瓶、y 小瓶.
根据大、小瓶数的比，以及消毒液分装量与总产量的数量关系，得
由①，得 y=x
把③代入②得，得 500x+250×x
解这个方程，得 x=20 000.
把 x=20 000代入③，得 y=50 000.
①
②
新知讲解
二、用代入消元法解二元一次方程组的实际应用
解：设这些消毒液应该分装 x 大瓶、y 小瓶.
根据大、小瓶数的比，以及消毒液分装量与总产量的数量关系，得
所以这个方程组的解是
答：这些消毒液应该分装 20 000 大瓶和 50 000 小瓶.
①
②
新知讲解
二、用代入消元法解二元一次方程组的实际应用
上面解方程组的过程可以用下面 的框图表示：
二元一次方程组
消去
一元一次方程
变形
代入
解得
解得
50 000
y
=
代入
20 000
x
=
用x代替y，消去未知数y
新知讲解
二、用代入消元法解二元一次方程组的实际应用
解这个方程组时，可以先消去 x 吗？
新知讲解
二、用代入消元法解二元一次方程组的实际应用
解：设这些消毒液应该分装 x 大瓶、y 小瓶.
根据大、小瓶数的比，以及消毒液分装量与总产量的数量关系，得
由①，得 x=
把③代入②得，得 500×+250y
解这个方程，得 y=50 000.
把 y=50 000代入③，得 x=20 000.
①
②
新知讲解
二、用代入消元法解二元一次方程组的实际应用
解：设这些消毒液应该分装 x 大瓶、y 小瓶.
根据大、小瓶数的比，以及消毒液分装量与总产量的数量关系，得
所以这个方程组的解是
答：这些消毒液应该分装 20 000 大瓶和 50 000 小瓶.
①
②
典例分析
解：把①代入②，得 3x+2(2x-3)=8.
解这个方程，得 x=2.
把 x=2 代入①，得 y=4-3=1.
所以这个方程组的解是
解方程组
①
②
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
1．用代入法解方程组下列说法正确的是( )
A.直接把①代入②,消去y
B.直接把①代入②,消去x
C.直接把②代入①,消去y
D.直接把②代入①,消去x
B
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
2.若单项式2x 与-是同类项,则a,b的值分别是( )
A. a=3,b=1 B. a=-3,b=1
C. a=3,b=-1 D. a=-3,b=-1
A
课堂练习
【知识技能类作业】
选做题：
3.把下列方程改写成用含x的式子表示y的形式：
(1)2x-y=5； (2)x+y=4.
解：(1)移项，得-y=5-2x.
系数化为1，得y=2x-5.
(2)移项，得y=4-x.
系数化为1，得y=8-x
课堂练习
【综合实践类作业】
4.已知关于 x, y 的二元一次方程组的解满足 x + y=0,求实数m的值.
解:关于 x, y 的方程组得
又因为 x + y=0,所以(2m-11)+(-m+7)=0,解得m=4.
课堂总结
代入消元法解二元一次方程组
1.用代入法解二元一次方程组
转化，代入，求解，回代，写解，检验
2.用代入消元法解二元一次方程组的实际应用
板书设计
代入消元法解二元一次方程组
代入消元法解二元一次方程组
用代入法解二元一次方程组
用代入消元法解二元一次方程组的实际应用
作业布置
【知识技能类作业】
1.关于 x, y的方程组则y用只含x的式子表示为( )
A. y=2x+7 B. y=7-2x
C. y=-2x-5 D. y=2x-5
B
作业布置
【知识技能类作业】
2.解方程组:
解:将②变形得x=8+3y,③
把③代入①,得2(8+3y)+3y=7,解得y=-1,
把y=-1代入③,得x=5,
所以这个方程组的解是
作业布置
【知识技能类作业】
3.如图为正方体的一种表面展开图,如果原来正方体相对的两个面上的数或式子的值相等,求 x + y + a的值.
解:由题意得解得
易得a=3,所以 x + y + a=3+1+3=7.
作业布置
【综合实践类作业】
4.小明在解方程组时,得到的解是小英同样解这个方程组,由于把c抄错而得到的解是求方程组中a ,b ,c 的值.
作业布置
【综合实践类作业】
4. 解:依题意,可知是原方程组的解,所以解得c=-5.
由题意,可知是方程 ax + by =2的解,即2a-6b=2.
解方程组得
综上可知,a=,b=,c=-5.
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