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学 科 数学 年 级 七 设计者
教材版本 人教版 册、章 下册第八单元
课标要求 内容要求：1.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程。2.掌握消元法，能解二元一次方程组。3.能解简单的三元一次方程组。4.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性。学业要求：能根据具体问题中的数量关系列出方程，理解方程的意义；能根据二元一次方程组的特征，选择代入消元法或加减消元法解二元一次方程组；并能解简单的三元一次方程组；能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。建立模型观念。
内容分析 本章在列方程组的讨论中，重视数学与实际的关系，突出其中蕴涵的建模思想；在解方程组的讨论中，重视过程与结果的关系，突出消元化归思想.此外，本章对于数学文化也予以关注.“阅读与思考一次方程组的古今表示及解法”中，从《九章算术》中有关一次方程组的算筹表示和解法说起，联系现代的矩阵表示和解法，介绍了中国古代数学的光辉成就.希望学生通过学习本章不仅在数学知识和能力方面得到提高，而且能够受到数学文化的熏陶.
学情分析 学生在之前的学习过程中，已经掌握了一元一次方程的概念和解法，以及代数式、整式等基础数学知识。在此基础上，本章将进一步研究二元一次方程组的有关概念、解法和应用等，它是一元一次方程的继续和发展，同时又是今后学习线性方程组及平面解析几何等知识的基础。教师在教学过程中可以根据学生的实际情况，采取适当的教学方法和策略，帮助学生逐步掌握二元一次方程组的知识和技能。同时，通过实际应用问题的练习，培养学生的数学应用意识和问题解决能力。
单元目标 （一）教学目标1、了解二元一次方程及其相关概念，能设两个未知数并列方程组表示实际问题中的两种相关的等量关系.2、体会“消元”思想，掌握解二元一次方程组的方法一一代入法和加减法，能根据二元一次方程组的具体形式选择适当的解法.3、了解三元一次方程组及其解法，进一步体会“消元”的思想，能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法.（二）教学重点、难点重点：二元一次方程组的解法及实际应用。难点：列二元一次方程组解决实际问题。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数8.1二元一次方程组18.2消元-解二元一次方程组28.3实际问题与二元一次方程组38.4三元一次方程组1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务8.1二元一次方程组1. 了解二元一次方程（组）及其解的定义.2.会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解.3.能根据实际问题列出简单的二元一次方程组。掌握二元一次方程组的概念以及解的概念任务1：学生能利用实际问题理解二元一次方程组的概念任务2：能利用例题理解二元一次方程组解的概念8.2消元-解二元一次方程组1.掌握代入消元法解简单的二元一次方程组的一般步骤，并能正确求出二元一次方程组的解.2.让学生经历探究的过程，体会二元一次方程组的解法与一元一次方程的解法的关系，进一步体会消元思想和化归思想.3.掌握加减消元法的意义.4.会用加减法解二元一次方程组.学生通过掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组来解决实际问题任务1：学生能利用代入消元法解题步骤解决问题任务2：学生能利用加减消元法解题步骤解决问题8.3实际问题与二元一次方程1.能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题.2.学会利用二元一次方程组解决和差倍分、配套、数字问题.3.学会利用二元一次方程组解决几何问题、行程问题、配套问题等.4.学会利用二元一次方程组解决图表信息、决策、商品等问题.和差倍分、配套、数字问题、几何问题、行程问题、工程问题、图表信息、决策、商品问题能利用二元一次方程组表示，并能利用代入或加减消元法计算。任务1：学生能利用二元一次方程组解决和差倍分、配套、数字问题；任务2：学生能利用二元一次方程组解决几何问题、行程问题、工程问题任务3：学生能利用二元一次方程组解决图表信息、决策、商品问题8.4三元一次方程组的解法1.能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决复杂的实际问题.2.学会利用二元一次方程组解决图表信息、决策、商品等问题.通过类比理解三元一次方程组的概念，掌握三元一次方程组的解法。任务一：通过实例了解三元一次方程组的概念；任务2：会用三元一次方程组解决实际问题。
《第八章》单元教学设计
任务1：通过案例总结二元一次方程组的概念
8.1二元一次方程组
任务2：通过例题认识一元二次方程组的解的概念
任务3：例题解析
任务1：通过案例总结代入消元法的步骤
8.2消元-解二元一次方程组
二元一次方程组
任务2：通过案例总结加减消元法的步骤
任务3：例题解析
任务1：研究和差倍分、配套、数字问题用二元一次方程
解决
任务2：研究几何问题、行程问题、工程问题用二元一次
方程解决
8.3实际问题与二元一次方程组
任务3：研究图表信息、决策、商品问题用二元一次方程
解决
任务4：例题解析
任务1：通过例子的类比引出三元一次方程组的概念
8.4三元一次方程组
任务2：例题探究解三元一次方程组的步骤
任务3：例题解析
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分课时教学设计
第一课时《8.2.2加减消元法解二元一次方程组》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 二元一次方程组安排在学生已经学过代数式和一元一次方程的知识之后，它是学习三元一次方程组的重要基础，同时也是以后学习函数、平面解析几何等知识以及物理、化学中的运算等不可缺少的工具。
学习者分析 本节课是在学生学习了代入法解二元一次方程组的基础上，理解了“消元”是核心，“化归”是目标，继续学习另一种消元的方法一加减消元，它是学生系统学习二元一次方程组知识的前提和基础。
教学目标 1.掌握加减消元法的意义. 2.会用加减法解二元一次方程组.
教学重点 理解并掌握加减消元法的意义
教学难点 会用加减法解二元一次方程组
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：导入教师活动1： 问题1.前面我们用代入法求出了方程组 的解，这个方程组的两个方程中，y 的系数有什么关系？ 两个方程中 y 的系数相等． 问题2. 利用这种关系你能发现新的消元方法吗？学生活动1： 通过上节课知识回答问题 活动意图说明： 回顾所学，巩固学生对运用消元法解二元一次方程组的掌握，为后面加减消元法的学习做铺垫. 环节二：新知讲解教师活动2： 用加减法解二元一次方程组 分析：这两个方程中未知数y的系数相等， ②-①可消去未知数y ，即 ②左边 - ①左边 = ②右边 - ①右边，即 :2x + y - (x + y) = 16 - 10 解得 x = 6 将 x = 6 代入 ① 得 y = 4 所以原方程组的解是 - ②也能消去未知数y，求得x吗？ 解：① - ②得 x + y - (2x + y) = 10 - 16 解得 x = 6 将 x = 6 代入 ① 得 y = 4 所以原方程组的解是 你发现了什么？ 含同一未知数的项的系数相等时，把两个方程相减消元. 问题3.联系前面的解法，想一想怎样解方程组 解：①+②，得 18x=10.8 解得 x=0.6 把x=0.6代入①，得 3×0.6+10y=2.8 解得y=0.1 所以这个方程组的解是 你发现了什么？ 含同一未知数的项的系数相反时，把两个方程相加消元. 问题5. 这两个方程组的特点分别是什么？如何实现消元？依据是什么？ y 的系数相同，通过两方程相减实现消元，依据是等式的性质1 ． y 的系数互为相反数，通过两方程相加实现消元，依据是等式的性质1 ． 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程.这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 例1 用加减法解方程组： 分析：这两个方程中没有同一个未知数的系数相反或相等，直接加减这两个方程不能消元.我们对方程变形，使得这两个方程中某个未知数的系数相反或相等. 解：①×3，得 9x + 12y = 48 ③ ②×2，得 10x -12y = 66 ④ ③ + ④ 得 19x = 114 x = 6 将 x= 6 代入 ①，得 y =- 所以这个方程组的解是 如果用加减法消去 x 应如何解？解得的结果一样吗？ 例1 用加减法解方程组： 解：①×5，得 15x + 20y = 80 ③ ②×3，得 15x - 18y = 99 ④ ③ - ④ 得 38 y = -19 y =- 将 y =- 代入①，得 x = 6 所以这个方程组的解是 用加减法解二元一次方程组的主要步骤： 1. 变形：利用等式的性质，使得某个未知数的系数相等或互为相反数； 2. 加减消元：通过两式相加 ( 或相减 ) 消去一个未知数，得到一个一元一次方程； 3. 求解：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值； 4. 回代求解：回代求出另一个未知数的值； 5. 写解：把方程组的解表示出来； 6. 检验：把求得的解代入每一个方程看是否成立.学生活动2： 回顾所学，锻炼学生列出合适的二元一次方程组的能力，顺势引导学生思考二元一次方程的解答方法，培养自主学习习惯. 学生独立思考，然后再分组交流，教师深入小组，参与活动，关注、学生能否理解概念，并紧扣概念解决问题。 教师深入学生中间，适时进行点拨。展示学生可能出现的各种情况，及时对学生的回答进行评价，对不规范的解法予以纠正，对学生好的解法及时给予表扬和鼓励，并且给予恰当的评价。 活动意图说明： 培养学生的自主学习习惯，发展观察总结能力，锻炼学生的实践能力，激发学生学习的自信心. 规范加减法解二元一次方程组的具体步骤，培养学生有条理的思维和解题习惯.环节三：新知讲解教师活动3： 二、用加减消元法解二元一次方程组的实际应用 例2 2 台大收割机和 5 台小收割机同时工作 2 h 共收割小麦 3.6 hm2，3 台大收割机和 2 台小收割机同时工作 5 h 共收割小麦 8 hm2．1 台大收割机和 1 台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？ 分析：如果1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x hm 和yhm ， 那么2台大收割机和5台小收割机同时工作1 h共收割小麦(2x+5y) hm ；3台大收割机和2台小收割机同时工作1 h共收割小麦(3x+2y) hm ．由此考虑两种情况下的工作量. 解：设1台大收割机和1台小收割机每小时分别收割小麦 x hm2 和 y hm2 . 根据两种工作方式中的相等关系，得方程组 去括号，得 ②-①，得 11x=4.4 解这个方程，得 x=0.4 把 x=0.4 代入①，得 y=0.2 所以这个方程组的解是 答：1 台大收割机和 1 台小收割机每小时各收割小麦0.4 hm2和0.2 hm2. 上面解方程组的过程可以用下面的框图表示： 学生活动3： 组织学生小组讨论 通过例题，进一步巩固学生解二元一次方程组的步骤和方法. 活动意图说明： 通过例题，进一步巩固用加减消元法解二元一次方程组的方法，引导学生归纳加减消元法的定义，发展应用能力与推理意识. 锻炼学生运用二元一次方程组解决实际问题的能力，巩固学生解二元一次方程组的步骤和方法. 环节四：典例分析用加减法解方程组： (1) (2) 解：(1)①-②，得3x=-9，x=-3.把x=-3代入②，得2×(-3)-6y=10，y=-. 所以这个方程组的解是 (2)①+②，得4x=-8，x=-2.把x=-2代入②，得-2+2y=0，y=1. 所以这个方程组的解是学生活动4： 可根据解二元一次方程组的步骤解决问题。活动意图说明： 用加减消元法解二元一次方程组的方法，锻炼学生的运用能力和计算能力，发展创新意识，提高解题技巧.
板书设计 加减消元法解二元一次方程组
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．已知方程组既由②×3-①×2可得到( C ) A.-3y=2 B.4y+1=0 C. y=0 D.7y=-8 2.用加减法解方程组最简单的方法是( D ) A.①×3-②×2 B.①×3+②×2 C.①+②×2 D.①-②×2 选做题： 3.用加减消元法解下列方程组： 解：(1)①×2，得8x＋6y＝6.③ ×3，得9x－6y＝45.④ +④，得17x＝51，x＝3. 把x＝3代入①，得4×3＋3y＝3，y＝－3. 所以原方程组的解是 【综合拓展类作业】 4.已知关于 x,y的二元一次方程组的解互为相反数,求k的值. 解:解方程组得因为关于x,y的二元一次方程组的解互为相反数,可得2k+3-2-k=0,解得k=-1.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.方程组中,x的系数的特点是相等,方程组中,y的系数的特点是互为相反数 这两个方程组用加减消元法解较简便. 2.解方程组消去未知数y最简单的方法是( B ) A.①×2+② B.①×2-② C.由①,得y=,再代入② D.由①,得x=,再代入② 选做题： 3.请根据图中提供的信息,回答下列问题: (1)一个暖瓶与一个水杯分别是多少元 (2)甲、乙两家商场同时出售同样的暖瓶和水杯.为了迎接新年,两家商场都在搞促销活动.甲商场规定:这两种商品都打九折;乙商场规定:买一个暖瓶赠送一个水杯.若某单位想要买4个暖瓶和15个水杯,请问选择哪家商场购买更合算,并说明理由. 解:(1)设一个暖瓶与一个水杯分别为x元,y元,由题意得 解得 答:一个暖瓶与一个水杯分别为30元,8元. (2)在乙商场购买更合算.理由:若该单位在甲商场购买,共需钱数为 4×30×0.9+15×8×0.9=216(元);若在乙商场购买,则需钱数为 4×30+(15-4)×8=208(元).∴在乙商场购买更合算. 【综合拓展类作业】 4.小明想从“天猫”某网店购买计算器,经查询,某品牌A型号计算器的单价比B型号计算器的单价多10元,5台A型号的计算器与7台B型号的计算器的价钱相同,问A,B两种型号计算器的单价分别是多少 解:设A型号计算器的单价为x元,B型号计算器的单价为y元,依题意,得解得 答:A型号计算器的单价为35元,B型号计算器的单价为25元.
教学反思 本节课的教学目的是，进一步帮助学生理解二元一次方程组的“消元”思想，初步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想，能够选择恰当的方法解二元一次方程组，培养学生的观察、分析问题的能力.
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8.2.2加减消元法解二元一次方程组
人教版 七年级下册
内容总览
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
教材分析
二元一次方程组安排在学生已经学过代数式和一元一次方程的知识之后，它是学习三元一次方程组的重要基础，同时也是以后学习函数、平面解析几何等知识以及物理、化学中的运算等不可缺少的工具。
教学目标
1.掌握加减消元法的意义.
2.会用加减法解二元一次方程组.
新知导入
问题1.前面我们用代入法求出了方程组 的解，这个方程组的两个方程中，y 的系数有什么关系？
两个方程中 y 的系数相等．
问题2. 利用这种关系你能发现新的消元方法吗？
新知讲解
一、用加减法解二元一次方程组
分析：这两个方程中未知数y的系数相等， ②-①可消去未知数y ，即
②左边 - ①左边 = ②右边 - ①右边，即 :2x + y - (x + y) = 16 - 10
解得 x = 6
将 x = 6 代入 ① 得 y = 4
所以原方程组的解是
① - ②也能消去未知数y，求得x吗？
新知讲解
一、用加减法解二元一次方程组
解：① - ②得 x + y - (2x + y) = 10 - 16
解得 x = 6
将 x = 6 代入 ① 得 y = 4
所以原方程组的解是
含同一未知数的项的系数相等时，把两个方程相减消元.
你发现了什么？
新知讲解
一、用加减法解二元一次方程组
问题3.联系前面的解法，想一想怎样解方程组
解：①+②，得 18x=10.8
解得 x=0.6
把x=0.6代入①，得 3×0.6+10y=2.8
解得y=0.1
所以这个方程组的解是
含同一未知数的项的系数相反时，把两个方程相加消元.
你发现了什么？
①
②
新知讲解
一、用加减法解二元一次方程组
问题5. 这两个方程组的特点分别是什么？如何实现消元？依据是什么？
y 的系数相同，通过两方程相减实现消元，依据是等式的性质1 ．
y 的系数互为相反数，通过两方程相加实现消元，依据是等式的性质1 ．
新知讲解
一、用加减法解二元一次方程组
当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程.这种方法叫做加减消元法，简称加减法.
新知讲解
一、用加减法解二元一次方程组
例1 用加减法解方程组：
分析：这两个方程中没有同一个未知数的系数相反或相等，直接加减这两个方程不能消元.我们对方程变形，使得这两个方程中某个未知数的系数相反或相等.
新知讲解
一、用加减法解二元一次方程组
例1 用加减法解方程组：
解：①×3，得 9x + 12y = 48 ③
②×2，得 10x -12y = 66 ④
③ + ④ 得 19x = 114 x = 6
将 x= 6 代入 ①，得 y =-
所以这个方程组的解是
如果用加减法消去 x 应如何解？解得的结果一样吗？
新知讲解
一、用加减法解二元一次方程组
例1 用加减法解方程组：
解：①×5，得 15x + 20y = 80 ③
②×3，得 15x - 18y = 99 ④
③ - ④ 得 38 y = -19 y =-
将 y =- 代入①，得 x = 6
所以这个方程组的解是
新知讲解
一、用加减法解二元一次方程组
用加减法解二元一次方程组的主要步骤：
1. 变形：利用等式的性质，使得某个未知数的系数相等或互为相反数；
2. 加减消元：通过两式相加 ( 或相减 ) 消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
3. 求解：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值；
4. 回代求解：回代求出另一个未知数的值；
5. 写解：把方程组的解表示出来；
6. 检验：把求得的解代入每一个方程看是否成立.
新知讲解
二、用加减消元法解二元一次方程组的实际应用
例2 2 台大收割机和 5 台小收割机同时工作 2 h 共收割小麦 3.6 hm2，3 台大收割机和 2 台小收割机同时工作 5 h 共收割小麦 8 hm2．1 台大收割机和 1 台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？
分析：如果1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x hm 和yhm ，
那么2台大收割机和5台小收割机同时工作1 h共收割小麦(2x+5y) hm ；3台大收割机和2台小收割机同时工作1 h共收割小麦(3x+2y) hm ．由此考虑两种情况下的工作量.
新知讲解
二、用加减消元法解二元一次方程组的实际应用
解：设1台大收割机和1台小收割机每小时分别收割小麦 x hm2 和 y hm2 .
根据两种工作方式中的相等关系，得方程组
去括号，得
②-①，得 11x=4.4
解这个方程，得 x=0.4
把 x=0.4 代入①，得 y=0.2
①
②
新知讲解
二、用加减消元法解二元一次方程组的实际应用
所以这个方程组的解是
答：1 台大收割机和 1 台小收割机每小时各收割小麦0.4 hm2和0.2 hm2.
新知讲解
二、用加减消元法解二元一次方程组的实际应用
上面解方程组的过程可以用下面的框图表示：
4x+10y=3.6 ①
15x+10y=8 ②
x = 0.4
y = 0.2
解得 x
解得 y
②-①
一元一次方程
11x=4.4
二
元
一
次
方
程
组
两方程相减，
消去未知数y．
典例分析
解：(1)①-②，得3x=-9，x=-3.把x=-3代入②，得2×(-3)-6y=10，y=-.
所以这个方程组的解是
(2)①+②，得4x=-8，x=-2.把x=-2代入②，得-2+2y=0，y=1.
所以这个方程组的解是
用加减法解方程组：
(1) (2)
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
1．已知方程组既由②×3-①×2可得到( )
A.-3y=2 B.4y+1=0 C. y=0 D.7y=-8
C
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
2.用加减法解方程组最简单的方法是( )
A.①×3-②×2 B.①×3+②×2 C.①+②×2 D.①-②×2
D
课堂练习
【知识技能类作业】
选做题：
3.用加减消元法解下列方程组：
解：①×2，得8x＋6y＝6.③
②×3，得9x－6y＝45.④
③＋④，得17x＝51，x＝3.
把x＝3代入①，得4×3＋3y＝3，y＝－3.
所以原方程组的解是
课堂练习
【综合实践类作业】
4.已知关于 x,y的二元一次方程组的解互为相反数,求k的值.
解:解方程组得因为关于x,y的二元一次方程组的解互为相反数,可得2k+3-2-k=0,解得k=-1.
课堂总结
加减消元法解二元一次方程组
1.用加减法解二元一次方程组
转化，加减消元，求解，回代，写解，检验
2.用加减消元法解二元一次方程组的实际应用
板书设计
加减消元法解二元一次方程组
加减消元法解二元一次方程组
用加减法解二元一次方程组
用加减消元法解二元一次方程组的实际应用
作业布置
【知识技能类作业】
1.方程组中,x的系数的特点是________,方程组中,y的系数的特点是 这两个方程组用________消元法解较简便.
相等
互为相反数
加减
作业布置
【知识技能类作业】
2.解方程组消去未知数y最简单的方法是( )
A.①×2+②
B.①×2-②
C.由①,得y=,再代入②
D.由①,得x=,再代入②
B
作业布置
【知识技能类作业】
3.请根据图中提供的信息,回答下列问题:
(1)一个暖瓶与一个水杯分别是多少元
(2)甲、乙两家商场同时出售同样的暖瓶和水杯.为了迎接新年,两家商场都在搞促销活动.甲商场规定:这两种商品都打九折;乙商场规定:买一个暖瓶赠送一个水杯.若某单位想要买4个暖瓶和15个水杯,请问选择哪家商场购买更合算,并说明理由.
作业布置
【知识技能类作业】
3. 解:(1)设一个暖瓶与一个水杯分别为x元,y元,由题意得
解得
答:一个暖瓶与一个水杯分别为30元,8元.
(2)在乙商场购买更合算.理由:若该单位在甲商场购买,共需钱数为
4×30×0.9+15×8×0.9=216(元);若在乙商场购买,则需钱数为
4×30+(15-4)×8=208(元).∴在乙商场购买更合算.
作业布置
【综合实践类作业】
4.小明想从“天猫”某网店购买计算器,经查询,某品牌A型号计算器的单价比B型号计算器的单价多10元,5台A型号的计算器与7台B型号的计算器的价钱相同,问A,B两种型号计算器的单价分别是多少
解:设A型号计算器的单价为x元,B型号计算器的单价为y元,依题意,得解得
答:A型号计算器的单价为35元,B型号计算器的单价为25元.
谢谢
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