中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第一课时《8.1二元一次方程组》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课内容是在学生已经掌握了一元一次方程的基础知识，初步具有提取数学信息，解决实际问题的能力后展开。根据建构主义理念，学生完全有能力利用自己原有的知识，主动地将其纳入自己的知识体系中。
学习者分析 在学生已经掌握了列一元一次方程解决实际问题的基础上，进行本节的教学，要注意引导学生注意：设两个未知数，就要找出两个相等的关系，列出二元一次方程组来表示问题中的全部含义。
教学目标 1. 了解二元一次方程（组）及其解的定义. 2.会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解. 3.能根据实际问题列出简单的二元一次方程组。
教学重点 二元一次方程，二元一次方程组及它的解的含义，以及检验一对数值是不是某个二元一次方程（组）的解。
教学难点 理解二元一次方程组的解。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：复习导入教师活动1： 1.什么叫做方程？ 含有未知数的等式叫做方程. 2.什么是一元一次方程？ 只含有一个未知数，未知数的最高次数是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程. 3.什么是方程的解？ 使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解. 4.解一元一次方程的思想是什么？ 转化思想 引言：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分.如果某队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数应分别是多少 你用学过的一元一次方程能解决此问题吗？ 解：设胜x场，则负（10－x）场. 2x+（10－x）=16. 学生活动1： 给学生时间独立解决此问题，教师巡视对个别同学进行指导. 活动意图说明： 运用生活中常见的数学情景来引发学生思考问题.运用讲练结合的方式加深的知识的记忆理解。环节二：新知讲解教师活动2： 二元一次方程组的定义 在上面的问题中，要求的是两个未知数。能不能根据题意直接设两个未知数，使列方程变得容易呢？ 思考：上述问题包含了哪些必须同时满足的条件？设胜的场数是x，负的场数是y，你能用方程把这些条件表示出来吗？ 题中包含两个必须同时满足的条件： 胜的场数＋负的场数＝总场数； x+y=10 胜场积分＋负场积分＝总积分. 2x+y=16 1.这两个方程有什么特点？ （1）是整式方程,即等号的两边必须都是整式; （2）含有两个未知数； （3）含有未知数的项的次数都是1. 2.与一元一次方程有什么不同？ 含未知数的个数不同 归纳： 上面两个方程中，每个方程都含有两个未知数(x和y)，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 注意：1.“一次”是指含未知数的项的次数是1，而不是未知数的次数； 2.方程的左右两边都是整式. 归纳： 上述问题中包含了两个必须同时满足的条件，也就是未知数x，y必须同时满足方程x+y=10和2x+y=16. 把这两个方程合在一起，写成 就组成了一个方程组. 这个方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组. 注意：(1) 2个未知数；(2) 未知数的项的次数是1； (3) 方程的左右两边都是整式.学生活动2： 学生独立思考，然后再分组交流，教师深入小组，参与活动，关注、学生能否理解概念，并紧扣概念解决问题。 教师深入学生中间，适时进行点拨。展示学生可能出现的各种情况，及时对学生的回答进行评价，对不规范的解法予以纠正，对学生好的解法及时给予表扬和鼓励，并且给予恰当的评价。 活动意图说明： 培养学生的自主学习习惯，发展观察总结能力，锻炼学生的实践能力，激发学生学习的自信心.环节三：新知讲解教师活动3： 二、二元一次方程（组）的解 探究：满足方程x+y=10，且符合问题的实际意义的x，y的值有哪些？把它们填在表中. 如果不考虑方程表示的实际意义，还可以取哪些值？这些值是有限的吗？ x，y 还可以取小数，如x=0.5，y=9.5；…有无数组这样的值. 上表中哪对x，y的值还满足方程2x+y=16. 归纳：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 我们还发现x=6，y=4既满足方程x+y=10，又满足方程2x+y=16. 也就是说，x=6，y=4是方程x+y=10与方程2x+y=16的公共解. 我们把x=6，y=4叫做二元一次方程组 的解 联系前面的问题可知，这个队在10场比赛中胜6场、负4场. 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.学生活动3： 组织学生小组讨论 根据一元一次方程的解的概念类比出二元一次方程的解的概念。 活动意图说明： 通过小组之间的讨论和交流，学生能够比较清晰的阐述了二元一次方程组的解，同时也培养了学生观察能力和语言表达能力，以及培养了学生转化思想。环节四：典例分析例：加工某种产品须经两道工序，第一道工序每人每天可完成 900 件，第二道工序每人每天可完成 1 200 件. 现有 7 位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一、二道工序所完成的件数相等？请列出符合题意的二元一次方程组. 解：设第一道工序每天安排x人，第二道工序每天安排y人,依题意，列方程组得： 答：第一道工序每天安排4人，第二道工序每天安排3人，可使两道工序每天完成的件数相等。学生活动4： 可根据解一元一次方程实际问题的步骤来解决二元一次方程组的实际问题。 活动意图说明： 本环节能帮助学生完善本节课的知识体系,通过例题，从而巩固本节课所学知识。
板书设计 二元一次方程组
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．已知 是方程2x－ ay＝3的一个解，那么a的值是( A ) A．1 B．3 C．－3 D．－1 2.为了丰富学生课外小组活动,培养学生动手操作能力,王老师让学生把5 m长的彩绳截成2 m或1 m的彩绳,用来做手工编织,在不造成浪费的前提下,你有几种不同的截法( C ) A.1 B.2 C.3 D.4 选做题： 3.已知关于x,y的方程(-4) +(m+2)x+(m+1)y=m+5. (1)当m为何值时,它是一元一次方程 (2)当m为何值时,它是二元一次方程 解:由题意得m2-4=0,解得m=2或m= -2. (1)当m=-2时,m+2=0,此时方程为一元一次方程. (2)当m=2时,原方程可化为4x+3y=7.此时方程为二元一次方程. 【综合拓展类作业】 4.若是二元一次方程4x-3y=10的一个解,求m的值. 解:将代入方程4x-3y=10, 得4(3m+1)-3(2m-2)=10,解得m=0.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 下列各组数中，是二元一次方程2x-y=-6的解的是 ( C ) 2.若是关于x，y的二元一次方程ax-y=4的解，则a的值为( C ) A.-2 B.2 C.3 D.-3 选做题： 3.某电视台黄金时段的2 min广告时间内,插播时间分别为15 s和30 s的两种广告,15 s的广告每播1次收费0.6万元,30 s的广告每播1次收费1万元,要求每种广告播放不少于2次.若设15 s的广告播放x次,30 s的广告播放y次. (1)试写出关于x,y的方程. (2)两种广告播放的次数有哪几种安排方式 (3)电视台选择哪种方式播放,利润最大 最大利润是多少 解:(1)15x+30y=120. (2)因为x,y为正整数,且x≥2,y≥2,所以满足15x+30y=120,即x+2y=8的解只有两组:和所以两种广告播放的次数有两种安排方式: ①15 s的广告播放4次,30 s的广告播放2次; ②15 s的广告播放2次,30 s的广告播放3次. (3)因为按方式①所得利润为0.6×4+1×2=4.4(万元), 按方式②所得利润为0.6×2+1 × 3=4.2(万元),所以按15 s的广告播放4次,30 s的广告播放2次所得的利润最大,最大利润是4.4万元. 【综合拓展类作业】 4.已知3m-4n=5,3s-4t=5,其中m,n,s,t都是常数,且m≠s,请你探究:是否存在一个二元一次方程,其解分别为与若存在,请你写出这个二元一次方程;若不存在,请你说明理由. 解:存在,这个二元一次方程为3x-4y=5. (1)解决本题的关键是要对二元一次方程的解有一个本质的认识.二元一次方程的解就是使其左右两边相等的一对未知数的值,如果没有其他条件限制,那么一个二元一次方程有无数个解.(2)要解决本题,还有一个重要的方面就是能从所给的两个式子中找出它们相同的结构,从而确定方程.
教学反思 通过自主探究和合作交流，建立二元一次方程的数学模型，学会逐步掌握基本的数学知识和方法，形成良好的数学思维习惯和应用意识，提高解决问题的能力，感受数学创造的乐趣，增进学好数学的信心，增加对数学较全面的体验和理解。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共26张PPT)
8.1二元一次方程组
人教版 七年级下册
内容总览
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
教材分析
本课内容是在学生已经掌握了一元一次方程的基础知识，初步具有提取数学信息，解决实际问题的能力后展开。根据建构主义理念，学生完全有能力利用自己原有的知识，主动地将其纳入自己的知识体系中。
教学目标
1. 了解二元一次方程（组）及其解的定义.
2.会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解.
3.能根据实际问题列出简单的二元一次方程组。
新知导入
1.什么叫做方程？
含有未知数的等式叫做方程.
2.什么是一元一次方程？
只含有一个未知数，未知数的最高次数是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程.
3.什么是方程的解？
使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解.
4.解一元一次方程的思想是什么？
转化思想
新知导入
引言：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分.如果某队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数应分别是多少
你用学过的一元一次方程能解决此问题吗？
解：设胜x场，则负（10－x）场.
2x+（10－x）=16.
新知讲解
一、二元一次方程组的定义
在上面的问题中，要求的是两个未知数。能不能根据题意直接设两个未知数，使列方程变得容易呢？
思考：上述问题包含了哪些必须同时满足的条件？设胜的场数是x，负的场数是y，你能用方程把这些条件表示出来吗？
题中包含两个必须同时满足的条件：
胜的场数＋负的场数＝总场数； x+y=10
胜场积分＋负场积分＝总积分. 2x+y=16
新知讲解
一、二元一次方程组的定义
1.这两个方程有什么特点？
（1）是整式方程,即等号的两边必须都是整式;
（2）含有两个未知数；
（3）含有未知数的项的次数都是1.
2.与一元一次方程有什么不同？
含未知数的个数不同
x＋y=10
2x＋y=16
这两个方程有什么特点？与一元一次方程有什么不同？
新知讲解
一、二元一次方程组的定义
归纳：
上面两个方程中，每个方程都含有两个未知数(x和y)，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.
注意：1.“一次”是指含未知数的项的次数是1，而不是未知数的次数；
2.方程的左右两边都是整式.
x＋y=10
2x＋y=16
新知讲解
一、二元一次方程组的定义
归纳：
上述问题中包含了两个必须同时满足的条件，也就是未知数x，y必须同时满足方程x+y=10和2x+y=16.
把这两个方程合在一起，写成 就组成了一个方程组.
这个方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组.
注意：(1) 2个未知数；(2) 未知数的项的次数是1； (3) 方程的左右两边都是整式.
新知讲解
二、二元一次方程（组）的解
探究：满足方程x+y=10，且符合问题的实际意义的x，y的值有哪些？把它们填在表中.
如果不考虑方程表示的实际意义，还可以取哪些值？这些值是有限的吗？
x，y 还可以取小数，如x=0.5，y=9.5；…有无数组这样的值.
上表中哪对x，y的值还满足方程2x+y=16.
x
y
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
新知讲解
二、二元一次方程（组）的解
归纳：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
我们还发现x=6，y=4既满足方程x+y=10，又满足方程2x+y=16.
也就是说，x=6，y=4是方程x+y=10与方程2x+y=16的公共解.
我们把x=6，y=4叫做二元一次方程组 的解
联系前面的问题可知，这个队在10场比赛中胜6场、负4场.
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
典例分析
解：设第一道工序每天安排x人，第二道工序每天安排y人,依题意，列方程组得：
答：第一道工序每天安排4人，第二道工序每天安排3人，可使两道工序每天完成的件数相等。
例：加工某种产品须经两道工序，第一道工序每人每天可完成 900 件，第二道工序每人每天可完成 1 200 件. 现有 7 位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一、二道工序所完成的件数相等？请列出符合题意的二元一次方程组.
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
1．已知 是方程2x－ay＝3的一个解，那么a的值是( )
A．1 B．3 C．－3 D．－1
A
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
2.为了丰富学生课外小组活动,培养学生动手操作能力,王老师让学生把5 m长的彩绳截成2 m或1 m的彩绳,用来做手工编织,在不造成浪费的前提下,你有几种不同的截法( )
A.1 B.2 C.3 D.4
C
课堂练习
【知识技能类作业】
选做题：
3.已知关于x,y的方程(-4) +(m+2)x+(m+1)y=m+5.
(1)当m为何值时,它是一元一次方程
(2)当m为何值时,它是二元一次方程
解:由题意得m2-4=0,解得m=2或m= -2.
(1)当m=-2时,m+2=0,此时方程为一元一次方程.
(2)当m=2时,原方程可化为4x+3y=7.此时方程为二元一次方程.
课堂练习
【综合实践类作业】
4.若是二元一次方程4x-3y=10的一个解,求m的值.
解:将代入方程4x-3y=10,
得4(3m+1)-3(2m-2)=10,解得m=0.
课堂总结
二元一次方程组
1.二元一次方程组定义
都含有两个未知数(x和y)，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.
方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组.
2.二元一次方程（组）的解
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
板书设计
二元一次方程组
二元一次方程组
二元一次方程组定义
二元一次方程（组）的解
作业布置
【知识技能类作业】
1.下列各组数中，是二元一次方程2x-y=-6的解的是 ( )
A. B. C. D.
C
作业布置
【知识技能类作业】
2.若是关于x，y的二元一次方程ax-y=4的解，则a的值为( )
A.-2 B.2 C.3 D.-3
C
作业布置
【知识技能类作业】
3.某电视台黄金时段的2 min广告时间内,插播时间分别为15 s和30 s的两种广告,15 s的广告每播1次收费0.6万元,30 s的广告每播1次收费1万元,要求每种广告播放不少于2次.若设15 s的广告播放x次,30 s的广告播放y次.
(1)试写出关于x,y的方程.
(2)两种广告播放的次数有哪几种安排方式
(3)电视台选择哪种方式播放,利润最大 最大利润是多少
作业布置
【知识技能类作业】
3. 解:(1)15x+30y=120.
(2)因为x,y为正整数,且x≥2,y≥2,所以满足15x+30y=120,即x+2y=8的解只有两组:和所以两种广告播放的次数有两种安排方式:
①15 s的广告播放4次,30 s的广告播放2次;
②15 s的广告播放2次,30 s的广告播放3次.
(3)因为按方式①所得利润为0.6×4+1×2=4.4(万元),
按方式②所得利润为0.6×2+1 × 3=4.2(万元),所以按15 s的广告播放4次,30 s的广告播放2次所得的利润最大,最大利润是4.4万元.
作业布置
【综合实践类作业】
4.已知3m-4n=5,3s-4t=5,其中m,n,s,t都是常数,且m≠s,请你探究:是否存在一个二元一次方程,其解分别为与若存在,请你写出这个二元一次方程;若不存在,请你说明理由.
解:存在,这个二元一次方程为3x-4y=5.
(1)解决本题的关键是要对二元一次方程的解有一个本质的认识.二元一次方程的解就是使其左右两边相等的一对未知数的值,如果没有其他条件限制,那么一个二元一次方程有无数个解.(2)要解决本题,还有一个重要的方面就是能从所给的两个式子中找出它们相同的结构,从而确定方程.
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com)
中小学教育资源网站
兼职招聘：
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/admin中小学教育资源及组卷应用平台
学 科 数学 年 级 七 设计者
教材版本 人教版 册、章 下册第八单元
课标要求 内容要求：1.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程。2.掌握消元法，能解二元一次方程组。3.能解简单的三元一次方程组。4.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性。学业要求：能根据具体问题中的数量关系列出方程，理解方程的意义；能根据二元一次方程组的特征，选择代入消元法或加减消元法解二元一次方程组；并能解简单的三元一次方程组；能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。建立模型观念。
内容分析 本章在列方程组的讨论中，重视数学与实际的关系，突出其中蕴涵的建模思想；在解方程组的讨论中，重视过程与结果的关系，突出消元化归思想.此外，本章对于数学文化也予以关注.“阅读与思考一次方程组的古今表示及解法”中，从《九章算术》中有关一次方程组的算筹表示和解法说起，联系现代的矩阵表示和解法，介绍了中国古代数学的光辉成就.希望学生通过学习本章不仅在数学知识和能力方面得到提高，而且能够受到数学文化的熏陶.
学情分析 学生在之前的学习过程中，已经掌握了一元一次方程的概念和解法，以及代数式、整式等基础数学知识。在此基础上，本章将进一步研究二元一次方程组的有关概念、解法和应用等，它是一元一次方程的继续和发展，同时又是今后学习线性方程组及平面解析几何等知识的基础。教师在教学过程中可以根据学生的实际情况，采取适当的教学方法和策略，帮助学生逐步掌握二元一次方程组的知识和技能。同时，通过实际应用问题的练习，培养学生的数学应用意识和问题解决能力。
单元目标 （一）教学目标1、了解二元一次方程及其相关概念，能设两个未知数并列方程组表示实际问题中的两种相关的等量关系.2、体会“消元”思想，掌握解二元一次方程组的方法一一代入法和加减法，能根据二元一次方程组的具体形式选择适当的解法.3、了解三元一次方程组及其解法，进一步体会“消元”的思想，能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法.（二）教学重点、难点重点：二元一次方程组的解法及实际应用。难点：列二元一次方程组解决实际问题。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数8.1二元一次方程组18.2消元-解二元一次方程组28.3实际问题与二元一次方程组38.4三元一次方程组1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务8.1二元一次方程组1. 了解二元一次方程（组）及其解的定义.2.会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解.3.能根据实际问题列出简单的二元一次方程组。掌握二元一次方程组的概念以及解的概念任务1：学生能利用实际问题理解二元一次方程组的概念任务2：能利用例题理解二元一次方程组解的概念8.2消元-解二元一次方程组1.掌握代入消元法解简单的二元一次方程组的一般步骤，并能正确求出二元一次方程组的解.2.让学生经历探究的过程，体会二元一次方程组的解法与一元一次方程的解法的关系，进一步体会消元思想和化归思想.3.掌握加减消元法的意义.4.会用加减法解二元一次方程组.学生通过掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组来解决实际问题任务1：学生能利用代入消元法解题步骤解决问题任务2：学生能利用加减消元法解题步骤解决问题8.3实际问题与二元一次方程1.能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题.2.学会利用二元一次方程组解决和差倍分、配套、数字问题.3.学会利用二元一次方程组解决几何问题、行程问题、配套问题等.4.学会利用二元一次方程组解决图表信息、决策、商品等问题.和差倍分、配套、数字问题、几何问题、行程问题、工程问题、图表信息、决策、商品问题能利用二元一次方程组表示，并能利用代入或加减消元法计算。任务1：学生能利用二元一次方程组解决和差倍分、配套、数字问题；任务2：学生能利用二元一次方程组解决几何问题、行程问题、工程问题任务3：学生能利用二元一次方程组解决图表信息、决策、商品问题8.4三元一次方程组的解法1.能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决复杂的实际问题.2.学会利用二元一次方程组解决图表信息、决策、商品等问题.通过类比理解三元一次方程组的概念，掌握三元一次方程组的解法。任务一：通过实例了解三元一次方程组的概念；任务2：会用三元一次方程组解决实际问题。
《第八章》单元教学设计
任务1：通过案例总结二元一次方程组的概念
8.1二元一次方程组
任务2：通过例题认识一元二次方程组的解的概念
任务3：例题解析
任务1：通过案例总结代入消元法的步骤
8.2消元-解二元一次方程组
二元一次方程组
任务2：通过案例总结加减消元法的步骤
任务3：例题解析
任务1：研究和差倍分、配套、数字问题用二元一次方程
解决
任务2：研究几何问题、行程问题、工程问题用二元一次
方程解决
8.3实际问题与二元一次方程组
任务3：研究图表信息、决策、商品问题用二元一次方程
解决
任务4：例题解析
任务1：通过例子的类比引出三元一次方程组的概念
8.4三元一次方程组
任务2：例题探究解三元一次方程组的步骤
任务3：例题解析
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
