第16章 二次根式 复习试题（含答案）

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人教版数学八年级下第十六单元《二次根式》复习试题
一．选择题（共10小题）
1．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．要使代数式有意义，x的取值应满足（　　）
A．x≥4 B．x＞4 C．x＜4 D．x≠3
3．下列选项中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
4．化简的结果为（　　）
A．﹣1 B． C． D．
5．的相反数是（　　）
A．﹣ B． C． D．±
6．一个三角形的三边长分别是cm，cm，cm，则此三角形的周长为（　　）
A． B． C． D．
7．若，则a与1的关系是（　　）
A．a＜1 B．a≤1 C．a＞1 D．a≥1
8．若a满足，则a﹣20232的值为（　　）
A．0 B．1 C．2023 D．2024
9．若与最简二次根式能合并，则m的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：，则x3+y3+z3﹣3xyz的值是（　　）
A．0 B．1
C．3 D．条件不足，无法计算
二．填空题（共8小题）
11．计算的结果为 　 　．
12．对于任意两个不相等的正实数a，b定义新运算“※”，规定：a※b＝，求2※（x﹣1）中x的取值范围是 　 　．
13．已知x＝1﹣，y＝1+，则x2+3xy+y2的值为 　 　．
14．如果，则x的取值范围是 　 　．
15．一个三角形的三边长分别为3，4，x，则化简的结果为 　 　．
16．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a的值是　 　
17．若，则xy的值为 　 　．
18．已知a2+5a＝﹣2，b2+2＝﹣5b，且a≠b，则化简b+a＝　 　．
三．解答题（共10小题）
19．计算：
（1）；
（2）．
20．已知x＝+3，y＝﹣3，求下列各式的值
（1）x2﹣2xy+y2，（2）x2﹣y2．
21．若x，y为实数，且y＝++．求﹣的值．
22．我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而2＜＜3，所以的整数部分是2，将减去其整数部分2，所得的差﹣2就是的小数部分．根据以上信息回答下列问题：
（1）的整数部分是 　 　，小数部分是 　 　；
（2）如果3+的小数部分为a，5﹣的整数部分为b，求a+的值．
23．材料阅读：二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：＝＝
类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：；
根据上述知识，请你解答下列问题：
（1）化简；
（2）比较与的大小，并说明理由．
24．阅读理解并解答以下问题：
教材明确指出①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
（1）化简：＝　 　；
（2）我们思考“如何化简”的问题．为了使分母之中不含根号，我们想到平方差公式“（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2”，其特点是先平方后作差，既可以把运算为整数，又不产生新的无理数：．
这样的计算过程数学上称之为“分母有理化”．请把分母有理化．
（3）计算：．
25．阅读下列解题过程：，，
请回答下列问题：
（1）观察上面的解答过程，请写出＝　 　；
（2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律；
（3）利用上面的解法，请化简：．
26．先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，使得，，那么便有：．
例如：化简．
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即，，
∴．
仿照上例，回答问题：
（1）计算：；
（2）计算：．
27．先化简，再求值：，其中a＝2，b＝2，c＝3．
28．如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形．
（1）若a＝1，，求图1中两个正方形的面积之和；
（2）若，，求图2中AF的长；
（3）已知m＞n且满足．若图1中两个正方形的面积和为2，图2中四边形ABEF的面积为3，求△ACF的面积．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．B．
2．B．
3．B．
4．D．
5．A．
6．A．
7．B．
8．D．
9．B．
10．A．
二．填空题（共8小题）
11．计算的结果为 　2，　．
12．对于任意两个不相等的正实数a，b定义新运算“※”，规定：a※b＝，求2※（x﹣1）中x的取值范围是 x≥1且x≠3　．
13．已知x＝1﹣，y＝1+，则x2+3xy+y2的值为 　3　．
14．如果，则x的取值范围是 　3≤x≤6　．
15．一个三角形的三边长分别为3，4，x，则化简的结果为 　6　．
16．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a的值是　2　
17．若，则xy的值为 　8　．
18．已知a2+5a＝﹣2，b2+2＝﹣5b，且a≠b，则化简b+a＝　﹣．
三．解答题（共10小题）
19．计算：
（1）；
（2）．
解：（1）原式＝3﹣6+4
＝；
（2）原式＝3﹣2+
＝1+2．
20．已知x＝+3，y＝﹣3，求下列各式的值
（1）x2﹣2xy+y2，（2）x2﹣y2．
解：（1）当x＝+3，y＝﹣3时，
x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2＝[（+3）﹣（﹣3）]2＝62＝36；
（2）x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝[（+3）+（﹣3）][（+3）﹣（﹣3）]＝2×6＝12
21．若x，y为实数，且y＝++．求﹣的值．
解：依题意得：x＝，则y＝，
所以＝＝，＝＝2，
所以﹣＝﹣＝﹣＝．
22．我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而2＜＜3，所以的整数部分是2，将减去其整数部分2，所得的差﹣2就是的小数部分．根据以上信息回答下列问题：
（1）的整数部分是 　4　，小数部分是 ﹣4　；
（2）如果3+的小数部分为a，5﹣的整数部分为b，求a+的值．
解：（1）∵4＜＜5，
∴的整数部分是4，小数部分是﹣4，
故答案为：4，﹣4；
（2）∵2＜＜3，
∴2+3＜3+＜3+3，即5＜3+＜6，
∴3+的整数部分是5，小数部分a＝﹣2，
∵1＜＜2，
∴﹣2＜﹣＜﹣1，
∴5﹣2＜5﹣＜5﹣1，即3＜5﹣＜4，
∴5﹣的整数部分b＝3，
∴a+＝﹣2+＝+1．
23．材料阅读：二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：＝＝
类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：；
根据上述知识，请你解答下列问题：
（1）化简；
（2）比较与的大小，并说明理由．
解：（1）原式＝﹣
＝+2﹣
＝2；
（2）∵﹣＝，﹣＝，
而＜，
∴﹣＜﹣．
24．阅读理解并解答以下问题：
教材明确指出①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
（1）化简：＝；
（2）我们思考“如何化简”的问题．为了使分母之中不含根号，我们想到平方差公式“（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2”，其特点是先平方后作差，既可以把运算为整数，又不产生新的无理数：．
这样的计算过程数学上称之为“分母有理化”．请把分母有理化．
（3）计算：．
解：（1）
＝
＝，
（2）
＝
＝
＝
＝﹣1；
（3）+
＝+
＝+
＝﹣++
＝2．
25．阅读下列解题过程：，，
请回答下列问题：
（1）观察上面的解答过程，请写出＝　10﹣3；
（2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律；
（3）利用上面的解法，请化简：．
解：（1）＝
＝﹣
＝；
故答案为：．
（2）观察前面例子的过程和结果得：；
（3）反复运用得
＝
＝
＝
＝﹣1+10
＝9．
26．先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，使得，，那么便有：．
例如：化简．
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即，，
∴．
仿照上例，回答问题：
（1）计算：；
（2）计算：．
解：（1）；
（2）
＝
＝
＝．
27．先化简，再求值：，其中a＝2，b＝2，c＝3．
解：设a+b+c＝x，
＝
＝
＝，
∵a＝2，b＝2，c＝3，
∴x＝a+b+c＝2+2+3＝7，
∴x﹣2a＝7﹣2×2＝3，x﹣2b＝7﹣2×2＝3，x﹣2x＝7﹣2×3＝1，
∴原式＝．
28．如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形．
（1）若a＝1，，求图1中两个正方形的面积之和；
（2）若，，求图2中AF的长；
（3）已知m＞n且满足．若图1中两个正方形的面积和为2，图2中四边形ABEF的面积为3，求△ACF的面积．
解：（1）S＝a2+b2＝12+（）2＝3，
∴两个正方形的面积之和为3；
（2）∵∠ACD＝∠DCF＝45°，
∴∠ACF＝90°，
∵AC＝＝＝，CF＝n＝＝，
∴AF＝＝＝4；
（3）∵，
∴（am﹣bn）2＝3①，（an+bm）2＝5②，
①+②得，a2m2+b2n2﹣2abmn+a2n2+b2m2+2abmn＝8，
整理得（a2+b2）（m2+n2）＝8，
∵a2+b2＝2，（m+n）2＝3，
∴4+2mn＝6，
解得mn＝1，
∴S△ACF＝m2×n2＝1．