第17章 勾股定理 本章练习（含答案）
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勾股定理 本章练习
一、单选题
1．已知直角三角形的两边长分别为3和4，则斜边长为( )
A.4 B.5 C.4或5 D.5或
2．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距( )
A.25海里 B.30海里 C.35海里 D.40海里
3．如图，货车卸货时支架侧面是，其中，已知，，则的长为( )
A. B. C. D.
4．三角形的三边长为a，b，c，且满足，则这个三角形是( )
A.等边三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形
5．在平面直角坐标系中，若已知点，则下列结论一定不成立的是( )
A. B. C. D.
6．如图，的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则BD的长为( )
A. B. C. D.
7．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为6，10，4，6，则最大正方形E的面积是( )
A.94 B.26 C.22 D.16
8．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）；如果大正方形的面积是10，小正方形的面积是2，直角三角形的两直角边分别为a、b，那么的值是( )
A. B.4 C.5 D.
9．如图1，在中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则的长为( )
A. B. C.17 D.
10．如图是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”.他通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明的重要数学定理是( )
A.三角形内角和定理 B.勾股定理
C.勾股定理的逆定理 D.斜边、直角边定理
11．将一长方形纸片按图1方式剪成四张完全相同的直角三角形纸片，相关线段长度如图中标注.现将它们拼成图2的“赵爽弦图”，则图2中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
12．平面内，将长分别为2，4，3的三根木棒按如图方式连接成折线，其中可以绕点B任意旋转，保持，将A，D两点用绷直的皮筋连接，设皮筋长度为d，则d不可能是( )
A.3 B.5 C.7 D.8
13．我们在学习勾股定理的第二课时时，以下图形可以用来验证勾股定理的有( )个.
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题
14．如图,在中,,,若动点P从点A出发()s.当点P运动到恰好到点A和点B的距离相等的位置时,t的值为________.
15．如图，把长、宽、对角线的长分别是a、b、c的矩形沿对角线剪开，与一个直角边长为c的等腰直角三角形拼接成右边的图形，用面积割补法能够得到的一个等式是______________.
16．如图，在中，，D、E、F分别是边BC、CA、AB的中点，，，则四边形AEDF的周长是_____________.
17．有两棵树，一棵高米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一个树的树梢，则小鸟至少飞行________米.
18．如图，将有一边重合两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点A表示的数是，若以点A为圆心，的长为半径画弧，与数轴交于点E（点E位于点A右侧），则点E表示的数为____________.
19．若直角三角形的两条边长为a,b,且满足,则该直角三角形的第三条边长为______.
20．勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中，b均小于c，，，m是大于1的奇数，则___________（用含m的式子表示）．
三、解答题
21．已知如图,四边形ABCD中,,,,,.
求证:是直角三角形.
22．现有如图所示的一块地(图中阴影部分)中,经测量,,,,.试求这块地的面积是多少
23．如图，在四边形中，，，，，求四边形的面积.
24．已知：如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为.
（1）求边的长；
（2）当为直角三角形时，求t的值；
（3）当时，求点A、P之间的距离.
25．请选择一个图形来证明勾股定理.（可以自己选用其他图形进行证明）
26．当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个数为勾股数，如：3，4，5都是正整数，且，所以3，4，5是勾股数.
（1）当n是大于1的整数时，，，是否是勾股数，说明理由；
（2）当n是大于1的奇数时，若n，，x是勾股数，，，求x(用含n的式子表示).
参考答案
1．答案：C
解析：直角三角形的两边长分别为3和4，
①4是此直角三角形的斜边长；
②当4是此直角三角形的直角边长时，斜边长为.
综上所述，斜边长为4或5.
故选：C.
2．答案：D
解析：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，
∴∠BAC=90°，
两小时后，两艘船分别行驶了16×2=32海里，12×2=24海里，
根据勾股定理得：（海里）.
故选：D.
3．答案：A
解析：在中，根据勾股定理可得：，
故选：A.
4．答案：C
解析：因为三角形的三边长满足，
所以，
所以这个三角形是直角三角形，
故选：C.
5．答案：A
解析：由勾股定理可得：，
当时，有最小值，
的最小值为，
不能为，
A选项不符合题意，B，C，D都有可能，符合题意，
故选：A.
6．答案：A
解析：如图所示：记BC上的高为AE，
，
，，
，
即，
解得：.
故选：A.
7．答案：B
解析：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为，C、D的面积和为，，
即.
故选：B.
8．答案：D
解析：直角三角形的两直角边分别为a、b，大正方形的面积是10，小正方形的面积是2，
，①
，②
由②得：，③
①﹣③得：，④
①+④得：，
.
故选：D.
9．答案：C
解析：由图象可知：时，点P与点A重合，
，
点P从点A运动到点B所需的时间为；
点P从点B运动到点C的时间为，
；
在中：；
故选C.
10．答案：B
解析：由勾股定理相关的数学背景可知：“赵爽弦图”是对勾股定理的验证
故选：B.
11．答案：B
解析：如图所示：
小正方形的边长为，则阴影部分的面积＝小正方形的面积.
故选：B.
12．答案：D
解析：连接，则.
如图1，当点A在线段上时，；
如图2，当点A在的延长线上时，，
d的取值范围为，
故选：D.
13．答案：C
解析：图1和图3：，，
，
，
，故图1和图3都可以验证勾股定理；
图2：图形的总面积可以表示为：，
也可以表示为：，
，
.故图2可以验证勾股定理；
图4不可以验证勾股定理.
综上，图1、图2和图3可以验证勾股定理，共3个.
故选：C.
14．答案：或19.
解析:在中,,,
则由勾股定理得到:(cm)
当点P在AC上时,
设存在点P,使得,
此时cm,cm,
在中,,
即:,
解得:,
当时,;
当点P在AB上时,
此时,
当时,;
故答案为:或19.
15．答案：
解析：此图可以这样理解，有三个其面积分别为，和.
还有一个直角梯形，其面积为.
由图形可知：，
整理得，，
.
故答案为：.
16．答案：16
解析：，，，
，
D、E、F分别是边BC、CA、AB的中点，
，，
四边形AEDF的周长.
故答案为：16.
17．答案：10
解析：如图，设大树高为，
小树高为，
过C点作于E，则四边形是矩形，
连接，
，，，
在中，
.
故小鸟至少飞行.
故答案为：10.
18．答案：
解析：，，
，
，
，
，
点A表示的数是，
点E表示的数为，
故答案为：.
19．答案：3或
解析:由题意得,,,
解得,,,
当b为直角边时,直角三角形的第三条边长
当b为斜边时,直角三角形的第三条边长.
故答案为:或3.
20．答案：m
解析：a,b,c是勾股数, 其中a,b均小于c,,
m是大于1的奇数
故答案为: m.
21．答案：见解析
解析:证明:,,,
,
,
,
,
是直角三角形.
22．答案：
解析:（1）,,,
,,
,,.
.
是直角三角形.∴.
.
答:这块地的面积为.
23．答案：
解析：，，
，
，，
，
，
则四边形的面积为：
.
24．答案：（1）
（2）4或
（3）
解析：（1）在中，，，，
.
（2）由题意得：，
分以下两种情况：
①如图，当时，为直角三角形，
则，.
②如图，当时，为直角三角形，
则，
由勾股定理得：，
，
解得，
综上，t的值为4或.
（3）当时，，
，
在中，，
即点A、P之间的距离为.
25．答案：见解析
解析：选用第一个图形求证
证明：外部是四个全等的直角三角形，
中间的四边形为正方形，正方形的面积，
另，正方形的面积
；
第二个图形求证
证明：图中由两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形组成一个直角梯形，
等腰直角三角形面积，
另，等腰直角三角形面积
第三个图形求证
证明：图中由四个全等的直角三角形、一个小正方形组成一个大正方形，
中间的小正方形面积
另，小正方形面积
化简，得.
26．答案：（1）是，理由见解析
（2）
解析：（1）是理由如下：
当n是大于1的整数时，，，都是正整数，
，
，，是勾股数.
（2）由题意，得
，
x是正整数，
.
勾股定理 本章练习
一、单选题
1．已知直角三角形的两边长分别为3和4，则斜边长为( )
A.4 B.5 C.4或5 D.5或
2．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距( )
A.25海里 B.30海里 C.35海里 D.40海里
3．如图，货车卸货时支架侧面是，其中，已知，，则的长为( )
A. B. C. D.
4．三角形的三边长为a，b，c，且满足，则这个三角形是( )
A.等边三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形
5．在平面直角坐标系中，若已知点，则下列结论一定不成立的是( )
A. B. C. D.
6．如图，的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则BD的长为( )
A. B. C. D.
7．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为6，10，4，6，则最大正方形E的面积是( )
A.94 B.26 C.22 D.16
8．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）；如果大正方形的面积是10，小正方形的面积是2，直角三角形的两直角边分别为a、b，那么的值是( )
A. B.4 C.5 D.
9．如图1，在中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则的长为( )
A. B. C.17 D.
10．如图是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”.他通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明的重要数学定理是( )
A.三角形内角和定理 B.勾股定理
C.勾股定理的逆定理 D.斜边、直角边定理
11．将一长方形纸片按图1方式剪成四张完全相同的直角三角形纸片，相关线段长度如图中标注.现将它们拼成图2的“赵爽弦图”，则图2中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
12．平面内，将长分别为2，4，3的三根木棒按如图方式连接成折线，其中可以绕点B任意旋转，保持，将A，D两点用绷直的皮筋连接，设皮筋长度为d，则d不可能是( )
A.3 B.5 C.7 D.8
13．我们在学习勾股定理的第二课时时，以下图形可以用来验证勾股定理的有( )个.
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题
14．如图,在中,,,若动点P从点A出发()s.当点P运动到恰好到点A和点B的距离相等的位置时,t的值为________.
15．如图，把长、宽、对角线的长分别是a、b、c的矩形沿对角线剪开，与一个直角边长为c的等腰直角三角形拼接成右边的图形，用面积割补法能够得到的一个等式是______________.
16．如图，在中，，D、E、F分别是边BC、CA、AB的中点，，，则四边形AEDF的周长是_____________.
17．有两棵树，一棵高米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一个树的树梢，则小鸟至少飞行________米.
18．如图，将有一边重合两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点A表示的数是，若以点A为圆心，的长为半径画弧，与数轴交于点E（点E位于点A右侧），则点E表示的数为____________.
19．若直角三角形的两条边长为a,b,且满足,则该直角三角形的第三条边长为______.
20．勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中，b均小于c，，，m是大于1的奇数，则___________（用含m的式子表示）．
三、解答题
21．已知如图,四边形ABCD中,,,,,.
求证:是直角三角形.
22．现有如图所示的一块地(图中阴影部分)中,经测量,,,,.试求这块地的面积是多少
23．如图，在四边形中，，，，，求四边形的面积.
24．已知：如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为.
（1）求边的长；
（2）当为直角三角形时，求t的值；
（3）当时，求点A、P之间的距离.
25．请选择一个图形来证明勾股定理.（可以自己选用其他图形进行证明）
26．当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个数为勾股数，如：3，4，5都是正整数，且，所以3，4，5是勾股数.
（1）当n是大于1的整数时，，，是否是勾股数，说明理由；
（2）当n是大于1的奇数时，若n，，x是勾股数，，，求x(用含n的式子表示).
参考答案
1．答案：C
解析：直角三角形的两边长分别为3和4，
①4是此直角三角形的斜边长；
②当4是此直角三角形的直角边长时，斜边长为.
综上所述，斜边长为4或5.
故选：C.
2．答案：D
解析：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，
∴∠BAC=90°，
两小时后，两艘船分别行驶了16×2=32海里，12×2=24海里，
根据勾股定理得：（海里）.
故选：D.
3．答案：A
解析：在中，根据勾股定理可得：，
故选：A.
4．答案：C
解析：因为三角形的三边长满足，
所以，
所以这个三角形是直角三角形，
故选：C.
5．答案：A
解析：由勾股定理可得：，
当时，有最小值，
的最小值为，
不能为，
A选项不符合题意，B，C，D都有可能，符合题意，
故选：A.
6．答案：A
解析：如图所示：记BC上的高为AE，
，
，，
，
即，
解得：.
故选：A.
7．答案：B
解析：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为，C、D的面积和为，，
即.
故选：B.
8．答案：D
解析：直角三角形的两直角边分别为a、b，大正方形的面积是10，小正方形的面积是2，
，①
，②
由②得：，③
①﹣③得：，④
①+④得：，
.
故选：D.
9．答案：C
解析：由图象可知：时，点P与点A重合，
，
点P从点A运动到点B所需的时间为；
点P从点B运动到点C的时间为，
；
在中：；
故选C.
10．答案：B
解析：由勾股定理相关的数学背景可知：“赵爽弦图”是对勾股定理的验证
故选：B.
11．答案：B
解析：如图所示：
小正方形的边长为，则阴影部分的面积＝小正方形的面积.
故选：B.
12．答案：D
解析：连接，则.
如图1，当点A在线段上时，；
如图2，当点A在的延长线上时，，
d的取值范围为，
故选：D.
13．答案：C
解析：图1和图3：，，
，
，
，故图1和图3都可以验证勾股定理；
图2：图形的总面积可以表示为：，
也可以表示为：，
，
.故图2可以验证勾股定理；
图4不可以验证勾股定理.
综上，图1、图2和图3可以验证勾股定理，共3个.
故选：C.
14．答案：或19.
解析:在中,,,
则由勾股定理得到:(cm)
当点P在AC上时,
设存在点P,使得,
此时cm,cm,
在中,,
即:,
解得:,
当时,;
当点P在AB上时,
此时,
当时,;
故答案为:或19.
15．答案：
解析：此图可以这样理解，有三个其面积分别为，和.
还有一个直角梯形，其面积为.
由图形可知：，
整理得，，
.
故答案为：.
16．答案：16
解析：，，，
，
D、E、F分别是边BC、CA、AB的中点，
，，
四边形AEDF的周长.
故答案为：16.
17．答案：10
解析：如图，设大树高为，
小树高为，
过C点作于E，则四边形是矩形，
连接，
，，，
在中，
.
故小鸟至少飞行.
故答案为：10.
18．答案：
解析：，，
，
，
，
，
点A表示的数是，
点E表示的数为，
故答案为：.
19．答案：3或
解析:由题意得,,,
解得,,,
当b为直角边时,直角三角形的第三条边长
当b为斜边时,直角三角形的第三条边长.
故答案为:或3.
20．答案：m
解析：a,b,c是勾股数, 其中a,b均小于c,,
m是大于1的奇数
故答案为: m.
21．答案：见解析
解析:证明:,,,
,
,
,
,
是直角三角形.
22．答案：
解析:（1）,,,
,,
,,.
.
是直角三角形.∴.
.
答:这块地的面积为.
23．答案：
解析：，，
，
，，
，
，
则四边形的面积为：
.
24．答案：（1）
（2）4或
（3）
解析：（1）在中，，，，
.
（2）由题意得：，
分以下两种情况：
①如图，当时，为直角三角形，
则，.
②如图，当时，为直角三角形，
则，
由勾股定理得：，
，
解得，
综上，t的值为4或.
（3）当时，，
，
在中，，
即点A、P之间的距离为.
25．答案：见解析
解析：选用第一个图形求证
证明：外部是四个全等的直角三角形，
中间的四边形为正方形，正方形的面积，
另，正方形的面积
；
第二个图形求证
证明：图中由两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形组成一个直角梯形，
等腰直角三角形面积，
另，等腰直角三角形面积
第三个图形求证
证明：图中由四个全等的直角三角形、一个小正方形组成一个大正方形，
中间的小正方形面积
另，小正方形面积
化简，得.
26．答案：（1）是，理由见解析
（2）
解析：（1）是理由如下：
当n是大于1的整数时，，，都是正整数，
，
，，是勾股数.
（2）由题意，得
，
x是正整数，
.