2023-2024学年数学八年级一元二次方程单元测试试题（鲁教版（五四制））基础卷含解析
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年数学八年级一元二次方程单元测试试题（鲁教版（五四制））基础卷含解析 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 932.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-09 17:30:43 | ||
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文档简介
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2023-2024学年数学八年级一元二次方程（鲁教版（五四制））单元测试 基础卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）劳动教育已被纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（本题3分）若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为（ ）
A． B． C．5 D．7
3．（本题3分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（本题3分）用配方法解方程方程应变形为（ ）
A． B． C． D．（x－1）2＝1
5．（本题3分）关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
6．（本题3分）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即若三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若三角形的面积，，则a的值为（ ）
A．2或3 B．3或 C．5或4 D．4或
7．（本题3分）用配方法解方程时，若将方程化为的形式，则的值为（ ）
A．－1 B． C． D．1
8．（本题3分）若将一元二次方程化成一般式为，则的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
9．（本题3分）已知关于x的一元二次方程的两个根分别为，3，则方程的两个根分别为（ ）
A．，3 B．，3 C．，2 D．，2
10．（本题3分）已知关于x的方程（a，b，m均为常数，且）的两个解是，则方程的解是（ ）
A． B． C． D．
评卷人得分
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）已知是一元二次方程的两根，则= ．
12．（本题3分）若关于x的一元二次方程有一个根为，则m的值为 ．
13．（本题3分）若是一元二次方程的两个实数根，且，则＝ ．
14．（本题3分）一元二次方程的较小的根是 ．
15．（本题3分）已知关于的一元二次方程的一个根是2，则的值为 ．
16．（本题3分）方程的两根分别为，则 ．
17．（本题3分）某商品经过两次降价，由每件100元降至81元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，可列方程为 ．
18．（本题3分）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，则第二周每个旅游纪念品的销售价格为 元．
评卷人得分
三、解答题（共66分）
19．（本题8分）用适当的方法解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
20．（本题8分）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围及a的最小整数值．
（本题10分）已知两个最简二次根式与是同类二次根式，求a的值．
22．（本题10分） 探究不同长方形周长与面积的关系
一、项目化情境与问题
某学习小组在一次参观画展时，一同学发现作品甲的边框是长方形，它的长、宽、周长C和面积S分别如图1所示
根据以上，这个同学提出一个有趣问题，任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的，即对于任意一个长方形A，是否一定存在长方形B，使得成立？
二、项目支架与探究
为了进一步深入探究提出的问题，小组成员对任务进行了如下分解，先从最简单情形入手，再逐次递进，最后猜想得出结论．
探究1 研究特殊情况 小组成员研究过后得知一定存在长方形乙的使得 设长方形乙的长为x，宽为y，请你通过计算完成图2的填空∶
探究2 研究特殊情况 不妨考虑图2所示的长方形乙，探究是否存在长方形丙使得成立？若存在，请求出长方形丙的长和宽．若不存在，请说明理由．
三、项目成果
长方形A的长为m，宽为1，若一定存在长方形B，使得成立，请直接写出m的最小值．
23．（本题10分）新能源汽车如今已成为越来越多人购车的首选．某停车场为了解决充电难的问题，现将长为米，宽为米的矩形停车场进行改造．如图，将矩形停车场的边和边分别减少相等的长度，减少的这部分区域用于修建充电桩，剩余停车场的面积为，求和减少的长度是多少？
24．（本题10分）如图，一艘轮船以的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以的途度由南向北移动，距台风中心的圆形区域（包括边界）都属台风影响区．当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离．，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离．
(1)如果这艘轮船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？
(2)如果你认为这艘轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经过多长时间它就会进入台风影响区？
(3)假设轮船航行速度和航向不变，轮船受到台风影响一共经历了多少小时？
25．（本题10分）将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法求最小值，求的最小值．
解：，
因为不论a取何值，总是非负数，即，所以，
所以当时，有最小值．
根据上述材料，解答下列问题．
(1)求式子的最大值．
(2)若，比较M、N的大小．(写出比较过程)
(3)若等腰三角形的两边a，b满足，求这个三角形的周长．
参考答案：
1．D
【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为．根据作物的产量两年内从300千克增加到363千克，列出方程即可．
【详解】解：第一年的产量为，
第二年的产量在第一年产量的基础上增加x，为，
则列出的方程是．
故选：D．
2．A
【分析】本题主要查了一元一次方程的解．把代入得到关于m的方程，即可求解．
【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根，
∴，
解得：．
故选：A
3．C
【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程对各选项进行逐一分析即可．
【详解】A选项：，是一元一次方程，故A不合题意．
B选项：，是二元二次方程，故B不合题意．
C选项：，是一元二次方程，故C符合题意．
D选项：，是分式方程，故D不合题意．
故选：C．
4．B
【分析】本题考查了解一元二次方程的配方法，掌握配方的步骤：“第一步∶ ，第二步：，第三步：， 第四步：；”是解题的关键．
【详解】解：，
，
；
故选：B．
5．A
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，算出的值，即可判断求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴有两个不相等的实数根，
故选：．
6．D
【分析】本题考查解一元二次方程，根据公式，列出关于的方程，利用换元法解一元二次方程即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴．
设，则，
整理，得，解得．
当时，，∴（负值舍去）；
当时，，∴（负值舍去）．
故选D．
7．B
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，根据配方法进行计算即可求解，熟练掌握配方法是解题关键．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B.
8．A
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式得出一次项系数和常数项即可．熟知一元二次方程的一般形式各项的系数是关键．
【详解】解：
∵一元二次方程化成一般式为，
故选：A．
9．C
【分析】根据方程的两个根分别为，3，得到，或，即可求解，
本题考查了，一元二次方程的解，解题的关键是：理解方程的解．
【详解】解：∵的两个根分别为，3，
∴中，，或，
解得：或，
故选：C．
10．D
【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，先运用得出，同理，得的解为，即可作答．
【详解】解：∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴则方程的解是
故选：D
11．/
【分析】本题主要考查根与系数的关系，是一元二次方程的两根时，．
直接根据两根之和的公式可得答案．
【详解】解：∵是一元二次方程的两根，
∴．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，把代入方程即可求解，掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值是解题的关键．
【详解】解：把代入方程得，
，
解得：，
故答案为：.
13．/
【分析】本题考查一元二次方程的解，将将代入一元二次方程，解得，再求解即可．
【详解】解：将代入一元二次方程，
得，
解得，
∴一元二次方程为，
解方程得，，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了一元二次方程的解法—因式分解法，由的形式可得或，即可求解；能根据方程的不同形式选择恰当的方法是解题的关键．
【详解】解：，
或，
，，
较小的根为；
故答案：．
15．14
【分析】本题考查了方程的根的定义，解一元一次方程；由解的定义将代入方程，即可求解；理解“能使方程成立的未知数的值叫做方程的解．”是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，
解得：；
故答案：．
16．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得，再由进行求解即可．
【详解】解：∵方程的两根分别为，
∴，
∴，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查的是平均变化率问题． 解决这类问题所用的等量关系为；此题可设平均每次降价的百分率为x，那么第一次降价后的单价是原来的，那么第二次降价后的单价是原来的，根据题意列方程解答即可；
【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得，
故答案为：．
18．9
【分析】本题考查一元二次方程的应用，由纪念品的进价和售价以及销量分别表示出两周的总利润，根据“这批旅游纪念品共获利1250元”等式求出即可．理解题意，正确列出方程是解答的关键．
【详解】解：设降低x元，由题意得出:
，
整理得：，
解得：．
∴．
即：第二周的销售价格为9元．
故答案为：9．
19．(1)，
(2)，
(3)，
(4)，
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程-因式分解法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答；
（2）利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答；
（3）利用解一元二次方程-公式法进行计算，即可解答；
（4）利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：
，
解得，
（2）解：
，
解得，
（3）解：，，
解得，
（4）解：
，
，
，
解得，
20．，a的最小整数值是
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根是解题的关键．根据方程有两个不相等的实数根求出a的取值范围，进而可得出结论．
【详解】关于x的方程有两个不相等的实数根，
，即，
解得，
的最小整数值是．
21．a的值为－1
【分析】此题主要考查了同类二次根式的定义即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．注意检验被开方数为非负数．
根据同类二次根式与最简二次根式的定义，列出方程解答即可．
【详解】解：根据题意，得，
∴，
解得：．
当时，，但不是最简二次根式，故不符合题意；
当时，，，符合题意．
∴a的值为－1．
22．探究1：，，，；探究2：不存在，理由见解析；三、m的最小值为．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元二次方程的判别式、解一元二次方程，能够根据题意列出方程是解题的关键．
探究1：根据题意得到，，然后利用长方形面积和周长公式得到，，进而解方程求解即可；
探究2：首先根据题意得到，，然后设长方形丙两条邻边长分别为a和，然后根据面积列方程求解即可；
三、设长方形B的两边长分别为，根据题意得到，然后得到，然后利用一元二次方程的判别式结合求解即可．
【详解】探究1：∵，
∴，
∵设长方形乙的长为x，宽为y，
∴，
∴，即
代入得，
解得，或（因y是宽小于长，故舍去）
∴；
探究2：要使成立
则，
∴设长方形丙两条邻边长分别为a和，
，
，
∴方程无解
不存在；
三、设长方形B的两边长分别为
则有
消去得，得
解得：或
∵
m的最小值为．
23．米
【分析】考查了一元二次方程的应用，设和减少的长度为米，根据题意列出方程求解即可，
理解题意找到题目蕴含的相等关系是解题的关键．
【详解】解：设和减少的长度为米，
根据题意，得，
解得：（不合题意，舍去），，
答：和减少的长度为米．
24．(1)会进入台风影响区
(2)8.3小时
(3)轮船受到台风影响一共经历了11小时
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理等知识；根据题意得出关于的方程是解决问题的关键．
（1）作出肯定回答：这艘轮船不改变航向，那么它能进入台风影响区；
（2）首先假设轮船能进入台风影响区，进而利用勾股定理得出等式求出即可；
（3）根据（2）中的值即可得出结论．
【详解】（1）解：根据题意得：
∵，
∴
当台风到A点时，时间为
则船行驶的路程为
∵
∴轮船不改变航向，轮船会进入台风影响区；
（2）解：如图所示：
设小时后，就进入台风影响区，根据题意得出：
千米，千米，
，，
，
，，
，
即，
解得：，，
轮船经8.3小时就进入台风影响区；
（3）解：由（2）知，从8.3小时到19.3小时轮船受到台风影响，
轮船受台风影响的时间（小时），
答：轮船受到台风影响一共经历了11小时．
25．(1)有最大值
(2)，见解析
(3)这个三角形的周长为17
【分析】本题考查了完全平方公式、等腰三角形的定义、三角形的三边关系，掌灵活运用完全平方式的非负性求最值是解题关键．
（1）利用完全平方式的非负性求解即可；
（2）先化简，再结合（1）求解即可；
（3）先利用完全平方式的非负性，得出，，再根据等腰三角形的定义和三角形的三边关系，确定等腰三角形的三边分别为3、7、7，即可求出周长．
【详解】（1）解：．
∵，
∴，
∴当时，有最大值．
（2）∵，
∴．
由（1）可得，
∴，
∴．
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，．
∵a，b是等腰三角形的两边，且，
∴等腰三角形的三边分别为3、7、7，
∴这个等腰三角形的周长为．
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2023-2024学年数学八年级一元二次方程（鲁教版（五四制））单元测试 基础卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）劳动教育已被纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（本题3分）若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为（ ）
A． B． C．5 D．7
3．（本题3分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（本题3分）用配方法解方程方程应变形为（ ）
A． B． C． D．（x－1）2＝1
5．（本题3分）关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
6．（本题3分）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即若三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若三角形的面积，，则a的值为（ ）
A．2或3 B．3或 C．5或4 D．4或
7．（本题3分）用配方法解方程时，若将方程化为的形式，则的值为（ ）
A．－1 B． C． D．1
8．（本题3分）若将一元二次方程化成一般式为，则的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
9．（本题3分）已知关于x的一元二次方程的两个根分别为，3，则方程的两个根分别为（ ）
A．，3 B．，3 C．，2 D．，2
10．（本题3分）已知关于x的方程（a，b，m均为常数，且）的两个解是，则方程的解是（ ）
A． B． C． D．
评卷人得分
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）已知是一元二次方程的两根，则= ．
12．（本题3分）若关于x的一元二次方程有一个根为，则m的值为 ．
13．（本题3分）若是一元二次方程的两个实数根，且，则＝ ．
14．（本题3分）一元二次方程的较小的根是 ．
15．（本题3分）已知关于的一元二次方程的一个根是2，则的值为 ．
16．（本题3分）方程的两根分别为，则 ．
17．（本题3分）某商品经过两次降价，由每件100元降至81元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，可列方程为 ．
18．（本题3分）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，则第二周每个旅游纪念品的销售价格为 元．
评卷人得分
三、解答题（共66分）
19．（本题8分）用适当的方法解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
20．（本题8分）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围及a的最小整数值．
（本题10分）已知两个最简二次根式与是同类二次根式，求a的值．
22．（本题10分） 探究不同长方形周长与面积的关系
一、项目化情境与问题
某学习小组在一次参观画展时，一同学发现作品甲的边框是长方形，它的长、宽、周长C和面积S分别如图1所示
根据以上，这个同学提出一个有趣问题，任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的，即对于任意一个长方形A，是否一定存在长方形B，使得成立？
二、项目支架与探究
为了进一步深入探究提出的问题，小组成员对任务进行了如下分解，先从最简单情形入手，再逐次递进，最后猜想得出结论．
探究1 研究特殊情况 小组成员研究过后得知一定存在长方形乙的使得 设长方形乙的长为x，宽为y，请你通过计算完成图2的填空∶
探究2 研究特殊情况 不妨考虑图2所示的长方形乙，探究是否存在长方形丙使得成立？若存在，请求出长方形丙的长和宽．若不存在，请说明理由．
三、项目成果
长方形A的长为m，宽为1，若一定存在长方形B，使得成立，请直接写出m的最小值．
23．（本题10分）新能源汽车如今已成为越来越多人购车的首选．某停车场为了解决充电难的问题，现将长为米，宽为米的矩形停车场进行改造．如图，将矩形停车场的边和边分别减少相等的长度，减少的这部分区域用于修建充电桩，剩余停车场的面积为，求和减少的长度是多少？
24．（本题10分）如图，一艘轮船以的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以的途度由南向北移动，距台风中心的圆形区域（包括边界）都属台风影响区．当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离．，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离．
(1)如果这艘轮船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？
(2)如果你认为这艘轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经过多长时间它就会进入台风影响区？
(3)假设轮船航行速度和航向不变，轮船受到台风影响一共经历了多少小时？
25．（本题10分）将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法求最小值，求的最小值．
解：，
因为不论a取何值，总是非负数，即，所以，
所以当时，有最小值．
根据上述材料，解答下列问题．
(1)求式子的最大值．
(2)若，比较M、N的大小．(写出比较过程)
(3)若等腰三角形的两边a，b满足，求这个三角形的周长．
参考答案：
1．D
【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为．根据作物的产量两年内从300千克增加到363千克，列出方程即可．
【详解】解：第一年的产量为，
第二年的产量在第一年产量的基础上增加x，为，
则列出的方程是．
故选：D．
2．A
【分析】本题主要查了一元一次方程的解．把代入得到关于m的方程，即可求解．
【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根，
∴，
解得：．
故选：A
3．C
【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程对各选项进行逐一分析即可．
【详解】A选项：，是一元一次方程，故A不合题意．
B选项：，是二元二次方程，故B不合题意．
C选项：，是一元二次方程，故C符合题意．
D选项：，是分式方程，故D不合题意．
故选：C．
4．B
【分析】本题考查了解一元二次方程的配方法，掌握配方的步骤：“第一步∶ ，第二步：，第三步：， 第四步：；”是解题的关键．
【详解】解：，
，
；
故选：B．
5．A
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，算出的值，即可判断求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴有两个不相等的实数根，
故选：．
6．D
【分析】本题考查解一元二次方程，根据公式，列出关于的方程，利用换元法解一元二次方程即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴．
设，则，
整理，得，解得．
当时，，∴（负值舍去）；
当时，，∴（负值舍去）．
故选D．
7．B
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，根据配方法进行计算即可求解，熟练掌握配方法是解题关键．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B.
8．A
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式得出一次项系数和常数项即可．熟知一元二次方程的一般形式各项的系数是关键．
【详解】解：
∵一元二次方程化成一般式为，
故选：A．
9．C
【分析】根据方程的两个根分别为，3，得到，或，即可求解，
本题考查了，一元二次方程的解，解题的关键是：理解方程的解．
【详解】解：∵的两个根分别为，3，
∴中，，或，
解得：或，
故选：C．
10．D
【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，先运用得出，同理，得的解为，即可作答．
【详解】解：∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴则方程的解是
故选：D
11．/
【分析】本题主要考查根与系数的关系，是一元二次方程的两根时，．
直接根据两根之和的公式可得答案．
【详解】解：∵是一元二次方程的两根，
∴．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，把代入方程即可求解，掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值是解题的关键．
【详解】解：把代入方程得，
，
解得：，
故答案为：.
13．/
【分析】本题考查一元二次方程的解，将将代入一元二次方程，解得，再求解即可．
【详解】解：将代入一元二次方程，
得，
解得，
∴一元二次方程为，
解方程得，，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了一元二次方程的解法—因式分解法，由的形式可得或，即可求解；能根据方程的不同形式选择恰当的方法是解题的关键．
【详解】解：，
或，
，，
较小的根为；
故答案：．
15．14
【分析】本题考查了方程的根的定义，解一元一次方程；由解的定义将代入方程，即可求解；理解“能使方程成立的未知数的值叫做方程的解．”是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，
解得：；
故答案：．
16．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得，再由进行求解即可．
【详解】解：∵方程的两根分别为，
∴，
∴，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查的是平均变化率问题． 解决这类问题所用的等量关系为；此题可设平均每次降价的百分率为x，那么第一次降价后的单价是原来的，那么第二次降价后的单价是原来的，根据题意列方程解答即可；
【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得，
故答案为：．
18．9
【分析】本题考查一元二次方程的应用，由纪念品的进价和售价以及销量分别表示出两周的总利润，根据“这批旅游纪念品共获利1250元”等式求出即可．理解题意，正确列出方程是解答的关键．
【详解】解：设降低x元，由题意得出:
，
整理得：，
解得：．
∴．
即：第二周的销售价格为9元．
故答案为：9．
19．(1)，
(2)，
(3)，
(4)，
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程-因式分解法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答；
（2）利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答；
（3）利用解一元二次方程-公式法进行计算，即可解答；
（4）利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：
，
解得，
（2）解：
，
解得，
（3）解：，，
解得，
（4）解：
，
，
，
解得，
20．，a的最小整数值是
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根是解题的关键．根据方程有两个不相等的实数根求出a的取值范围，进而可得出结论．
【详解】关于x的方程有两个不相等的实数根，
，即，
解得，
的最小整数值是．
21．a的值为－1
【分析】此题主要考查了同类二次根式的定义即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．注意检验被开方数为非负数．
根据同类二次根式与最简二次根式的定义，列出方程解答即可．
【详解】解：根据题意，得，
∴，
解得：．
当时，，但不是最简二次根式，故不符合题意；
当时，，，符合题意．
∴a的值为－1．
22．探究1：，，，；探究2：不存在，理由见解析；三、m的最小值为．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元二次方程的判别式、解一元二次方程，能够根据题意列出方程是解题的关键．
探究1：根据题意得到，，然后利用长方形面积和周长公式得到，，进而解方程求解即可；
探究2：首先根据题意得到，，然后设长方形丙两条邻边长分别为a和，然后根据面积列方程求解即可；
三、设长方形B的两边长分别为，根据题意得到，然后得到，然后利用一元二次方程的判别式结合求解即可．
【详解】探究1：∵，
∴，
∵设长方形乙的长为x，宽为y，
∴，
∴，即
代入得，
解得，或（因y是宽小于长，故舍去）
∴；
探究2：要使成立
则，
∴设长方形丙两条邻边长分别为a和，
，
，
∴方程无解
不存在；
三、设长方形B的两边长分别为
则有
消去得，得
解得：或
∵
m的最小值为．
23．米
【分析】考查了一元二次方程的应用，设和减少的长度为米，根据题意列出方程求解即可，
理解题意找到题目蕴含的相等关系是解题的关键．
【详解】解：设和减少的长度为米，
根据题意，得，
解得：（不合题意，舍去），，
答：和减少的长度为米．
24．(1)会进入台风影响区
(2)8.3小时
(3)轮船受到台风影响一共经历了11小时
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理等知识；根据题意得出关于的方程是解决问题的关键．
（1）作出肯定回答：这艘轮船不改变航向，那么它能进入台风影响区；
（2）首先假设轮船能进入台风影响区，进而利用勾股定理得出等式求出即可；
（3）根据（2）中的值即可得出结论．
【详解】（1）解：根据题意得：
∵，
∴
当台风到A点时，时间为
则船行驶的路程为
∵
∴轮船不改变航向，轮船会进入台风影响区；
（2）解：如图所示：
设小时后，就进入台风影响区，根据题意得出：
千米，千米，
，，
，
，，
，
即，
解得：，，
轮船经8.3小时就进入台风影响区；
（3）解：由（2）知，从8.3小时到19.3小时轮船受到台风影响，
轮船受台风影响的时间（小时），
答：轮船受到台风影响一共经历了11小时．
25．(1)有最大值
(2)，见解析
(3)这个三角形的周长为17
【分析】本题考查了完全平方公式、等腰三角形的定义、三角形的三边关系，掌灵活运用完全平方式的非负性求最值是解题关键．
（1）利用完全平方式的非负性求解即可；
（2）先化简，再结合（1）求解即可；
（3）先利用完全平方式的非负性，得出，，再根据等腰三角形的定义和三角形的三边关系，确定等腰三角形的三边分别为3、7、7，即可求出周长．
【详解】（1）解：．
∵，
∴，
∴当时，有最大值．
（2）∵，
∴．
由（1）可得，
∴，
∴．
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，．
∵a，b是等腰三角形的两边，且，
∴等腰三角形的三边分别为3、7、7，
∴这个等腰三角形的周长为．
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