【备课参考】北师大版八年级数学上册：6-4 数据的离散程度 教学设计

4　数据的离散程度
教学目标
【知识与技能】
1.理解方差与标准差的概念与作用.
2.灵活运用方差与标准差来处理数据.
3.能用计算器求数据的方差和标准差.
【过程与方法】
经历探索用方差与标准差来分析数据、做出决策的过程,培养学生运用数学知识解决实际问题的意识和“让数字来说话”的习惯.
【情感、态度与价值观】
1.通过生活学习数学,了解数学与生活的紧密联系.
2.通过生活学习数学,并通过用数学知识解决生活中的问题来激发学生的学习热情.
教学重难点
【重点】
方差和标准差概念的理解.
【难点】
应用方差和标准差分析数据,并做出决策.
教学过程
一、温故知新
创设问题情境(一):
两台机床都生产直径为(20±0.2)mm的零件,为了检验产品质量,从产品中各抽取10个进行测量,结果如下:
机床A 20.0 19.8 20.1 20.2 19.9 20.0 20.2 19.8 20.2 19.8
机床B 20.0 20.0 19.9 20.0 19.9 20.2 20.0 20.1 20.1 19.8
　　师:你认为两台机床哪台加工零件的精度更稳定
为了判断两台机床加工零件的精度的稳定情况,我们先用上节课学习的特征量来判断,中位数都是20.0 mm,平均数还是20.0 mm.
如何反映这两组数据的区别呢
二、讲授新课
探究解决问题(一):
让学生在学习小组中讨论、解释、交流自己的 ( http: / / www.21cnjy.com )发现,教师可以参与到某个或几个小组中倾听,在小组学习中讨论、交流自己的发现,直观上机床B比机床A的精度好.
创设问题情境(二):
思考:你能获取什么信息呢 除了极差之外,还有什么数量可以刻画一组数据的离散程度呢
师:通过计算,依据最后的结果可以比较两组数据围绕其平均值的波动情况吗
探究解决问题(二):
机床A的数据:
xi 20.0 19.8 20.1 20.2 19.9 20.0 20.2 19.8 20.2 19.8
xi- 0 -0.2 0.1 0.2 -0.1 0 0.2 -0.2 0.2 -0.2
　　机床A每个数据与平均数的偏差和为:
(x1-)+(x2-)+…+(x10+)
=0+(-0.2)+0.1+0.2+(-0.1)+0+0.2+(-0.2)+0.2+(-0.2)
=0
机床B的数据:
xi 20.0 20.0 19.9 20.0 19.9 20.2 20.0 20.1 20.1 19.8
xi- 0 0 -0.1 0 -0.1 0.2 0 0.1 0.1 -0.2
　　机床B每个数据与平均数的偏差和为:
　　(x1-)+(x2-)+…+(x10-)
=0+0+(-0.1)+0+(-0.1)+0.2+0+0.1+0.1+(-0.2)
=0
这样计算,我们还是无法区分两台机床的精度.
如何求各个偏差的绝对值|xi-|的平均数呢
机床A数据的平均偏差:
=0.14,
机床B数据的平均偏差:
=0.08,
显然,机床B加工零件的精度比较好.
一般地,平均偏差=
(n是数据的个数),可以用来表示一组数据的 ( http: / / www.21cnjy.com )离散程度,但用这个公式计算绝对值,为避免涉及绝对值,统计学中常用的方法是以偏差的平方即(xi-)2代替|xi-|,于是有下面的方法:
设一组数据是x1,x2,…,x10,它们的 ( http: / / www.21cnjy.com )平均数是,我们用s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]来衡量这组数据的离散程度,并把它叫做这组数据的方差.
下面来计算机床A、B的方差:
=0.026(mm2),
=0.012(mm2),
由于0.026>0.012,可知机床A生产的10个零件直径比机床B生产的10个零件直径波动要大.
一组数据的方差越大,说明这组数据的离散程度越大,当两组数据的平均数相同或差异比较小时,可用方差来比较这两组数据的离散程度.
求方差的步骤为:
(1)求平均数.
(2)求偏差.
(3)求偏差的平方和.
(4)求平方和的平均数.
由于方差是各个数据偏差的平 ( http: / / www.21cnjy.com )方的平均数,它的单位和原数据的单位不一致,因此,在有些情况下,需要用方差的算术平方根,即标准差来衡量数据的离散程度.
s=
本课尽量鼓励所有的学生参与,尤其是平时 ( http: / / www.21cnjy.com )数学基础比较薄弱的学生,让他们发现数学也可以如此与生活接近,提高他们的学习兴趣,这部分内容不难理解,计算比较麻烦.
三、例题讲解
求一组数据的标准差和方差,用计算器更方便.
【例1】用计算器求下列数据的标准差和方差(结果保留2位小数):
138,156,131,141,128,139,135,130
【答案】按键方法:
(1)设定计算模式,在打开计算器后,先按“2ndf”,“MODE”1将其设定至“Stat”状态.
(2)按键“2ndf”,“DEL”清除计算器原先在“Stat”模式下所储存的数据.
(3)输入数据,依次按以下各按键:
138“DATA”156“DATA ( http: / / www.21cnjy.com )”131“DATA”141“DATA”128“DATA”139“DATA”135“DATA”130“DATA”
(4)求标准差和方差,在计算器的键盘上,用ax表示一组数据的标准差.
按键“RCL”、“ax”显示标准差:
ax=8.302860953
而键盘上无表示方差的按键,所以要利用标准差与方差的关系来求方差.
按键“x2”、“=”显示方差:
ANS2=68.9375
由上可得,S≈8.30,S2≈69.94.
【例2】为了考察甲、乙两种小麦的长势,分别从中抽出10株苗,测得苗高如下(单位:cm):
甲:12,13,14,15,10,16,13,11,15,11;
乙:11,16,17,14,13,19,6,8,10,16.
哪种小麦长得比较整齐
【答案】=×(12+13+14+15+10+16+13+11+15+11)=13(cm);
=×(11+16+17+14+13+19+6+8+10+16)=13(cm).
=×[(12-13)2+(13-1 ( http: / / www.21cnjy.com )3)2+(14-13)2+(15-13)2+(10-13)2+(16-13)2+(13-13)2+(11-13)2+(15-13)2+(11-13)2]=3.6(cm2);
=×[(11-13)2+(16-13)2+( ( http: / / www.21cnjy.com )17-13)2+(14-13)2+(13-13)2+(19-13)2+(6-13)2+(8-13)2+(16-13)2]=15.8(cm2).
因为<,所以甲种小麦长得比较整齐.
【例3】张强和金佳两人参加体育项目训练,近期的5次测试成绩如下表所示,谁的成绩比较稳定 为什么
测试成绩 1 2 3 4 5
张强 13 14 13 12 13
金佳 10 13 16 14 12
　　【答案】x1=(13+14+13+12+13)÷5=13,
x2=(10+13+16+14+12)÷5=13,
=(0+12+0+12+0)=0.4,
=(32+0+32+12+12)=4.
<,∴张强的成绩比金佳的成绩要稳定.
四、课堂小结
本课主要学习了用方差与标准 ( http: / / www.21cnjy.com )差可表示出一组数据与其平均值的离散程度,即稳定性.方差越小,稳定性越好.注意:“用先平均,再求差,然后平方,最后再平均”得到的结果.