2022-2023学年河南省周口市项城第一高级中学等5校高二（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年河南省周口市项城第一高级中学等5校高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的不同正因数的个数为( )
A. B. C. D.
2.在，轴上的截距分别为，的直线被圆：截得的弦长为( )
A. B. C. D.
3.已知函数的导函数的图象如图所示，则的极大值点为( )
A. 和
B.
C.
D.
4.设等差数列，的前项和分别为，，若，则( )
A. B. C. D.
5.的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
6.已知双曲线的左、右焦点分别是，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率是( )
A. B. C. D.
7.被除的余数为( )
A. B. C. D.
8.放假伊始，名同学相约前往某门店体验沉浸式角色扮演型剧本游戏，目前店中仅有可供人组局的剧本，其中，角色各人，角色人已知这名同学中有名男生，名女生，店主让他们人分成两组先后参加游戏，其中，角色不可同时为女生，角色至少有一名女生，则他们不同的选择方式共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知离散型随机变量的分布列为
则下列选项正确的是( )
A. B. 若，则
C. 若，则 D.
10.已知，则( )
A. B.
C. 展开式系数中最大 D.
11.甲箱中有个红球，个白球和个黑球，乙箱中有个红球，个白球和个黑球先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示从甲箱中取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙箱中随机取出一球，以表示从乙箱中取出的球是红球的事件，则( )
A. B.
C. D.
12.若，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.直线：过定点______，若直线与直线垂直，则 ______．
14.南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为，则该抛物线的焦点到准线的距离为______．
15.已知一个首项为的数列，从第二项起，每一项减去它前一项的差构成等比数列，每一项除以它前一项的商构成等差数列请写出一个满足题意的数列通项公式，即 ______．
16.如图，某景区共有，，，，五个景点，相邻景点之间仅设置一个检票口供出入，共有个检票口，工作人员为了检测检票设备是否正常，需要对每个检票口的检票设备进行检测若不重复经过同一个检票口，依次对所有检票口进行检测，则共有______种不同的检测顺序．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数．
若曲线在点处的切线方程为，求；
若函数在上单调递增，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知数列的前项和为，且．
证明是等比数列，并求的通项公式；
若，求数列的前项和．
19.本小题分
如图，四棱锥的底面为矩形，，，，平面平面，是的中点，是上一点，且平面．
求的值；
求直线与平面所成角的正弦值．
20.本小题分
某班举行“党史知识”竞赛，共个填空题，每题分，满分分李明参加该竞赛，其中前个题能答对，后个题能答对的概率分别为，，．
求李明最终获得满分的概率；
设李明的最终得分为，求的分布列．
21.本小题分
已知椭圆：的离心率是，是椭圆上一点．
求椭圆的标准方程；
过点的直线与椭圆交于，异于点两点，直线，的斜率分别是，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
22.本小题分
定义：若函数在定义域内存在实数，使得成立，其中为大于的常数，则称点为函数的级“平移点”．
判断函数的级“平移点”的个数，并求出级“平移点”；
若函数在上存在级“平移点”，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，
所以有个不同的正因数．
故选：．
根据质因数分解，结合分步计数原理进行求解即可．
本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由题意得，直线的方程为，即，
又由：，可化为，
可得圆的圆心为，半径为，则圆心到直线的距离，
所以直线被圆截得的弦长为．
故选：．
根据题意，求得直线的方程为，结合圆的弦长公式，即可求解．
本题考查直线与圆的位置关系的应用，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：根据图像，在和上，，单调递增；
在上，，单调递减，故的极大值点为．
故选：．
根据图像，在和上单调递增，在上单调递减，得到极大值点．
本题考查利用导数研究函数的极值，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为，，
所以．
故选：．
根据等差数列的前项和公式，结合等差数列下标的性质进行求解即可．
本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为展开式的通项为，
当时才能出现，此时展开的通项为，
当时出现的一次，所以展开式中的系数为．
故选：．
先把看作整体写出二项式展开的通项，再根据指定项确定的次数，再写一次二项式展开的通项，最后根据指定项配凑出项的系数．
本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由是等边三角形，可得，
且，
则，
即，
由，两边同时除以，
即，
解得．
故选：．
由等边三角形的性质和双曲线的对称性，可得，推得，由离心率公式，解方程可得所求值．
本题考查双曲线的方程和性质，以及等边三角形的性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：由二项式定理可得，，
又因为，
其中，
其中，
所以被除的余数为．
故选：．
利用二项式展开式求得正确答案．
本题主要考查了二项式定理的应用，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：分组方法：一组，角色两个男生、角色男女；
另一组，角色男女、角色女；
方法数有：．
分组方法：一组男女；另一组男女；
方法数有：，
所以他们不同的选择方式共有．
故选：．
根据三个角色的要求进行分组，然后计算出他们不同的选择方式．
本题主要考查排列、组合及简单计数问题，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于中，由分布列的性质，可得，解得，所以A正确；
对于中，若，可得，则，故B正确；
对于中，由概率的定义知，，所以不正确；
对于中，由，，则，所以D正确．
故选：．
根据分布列的性质，以及概率的定义与互斥事件概率的加法公式，逐项判定，即可求解．
本题主要考查了离散型随机变量分布列的性质，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：令，
当时，，A正确；
当时，，当时，，
因此，B错误；
，
展开式的通项为，
设第项的系数最大，显然且，于是，
即，整理得，解得，
而为整数，则，所以展开式系数中最大，C错误；
当时，，D正确．
故选：．
根据给定条件，利用赋值法计算判断；求出展开式的通项公式，再建立不等式组求解判断作答．
本题主要考查二项式定理，考查转化能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：因为，，，
若发生，则乙箱中有个红球，个白球和个黑球，，故A正确；
若发生，则乙箱中有个红球，个白球和个黑球，，
若发生，则乙箱中有个红球，个白球和个黑球，，
，故B正确；
，
，故C错误；
，故D正确．
故选：．
根据全概率公式及条件概率概率公式计算可得．
本题主要考查条件概率，全概率公式，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：令函数，求导得，
当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
，即，
设，则，
当且仅当时取等号，
而函数在上递增，，，
则函数在上存在零点，取，
因此，即，A正确，B错误；
设，
由，得，当时，，当且仅当时取等号，
于是，
则有，即有，
取，因此，即，C正确，D错误．
故选：．
根据给定条件，构造函数，，再借助导数探讨函数单调性并证明恒成立的不等式作答．
本题考查构造函数，利用函数的单调性比较大小，导数研究函数的单调性，属难题．
13.【答案】
【解析】解：由直线：，可化为，
又由方程组，解得，，
所以直线过定点，
因为直线与直线垂直，可得，
解得．
故答案为：；．
化简直线的方程为，列出方程组，得到直线过定点，再由两直线的位置关系，列出方程，即可求解．
本题主要考查直线垂直的性质，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，建立直角坐标系，如图所示：
由题意得的坐标为，
设抛物线的标准方程为，则，解得．
故该抛物线的焦点到准线的距离为．
故答案为：．
以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，建立平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为，根据题意得到点的坐标，代入求出参数的值，即可得出答案．
本题考查抛物线的性质，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
15.【答案】答案不唯一
【解析】解：由首项为的数列，从第二项起，每一项减去它前一项的差构成等比数列，每一项除以它前一项的商构成等差数列，
可得数列为等比数列，数列为等差数列，
设等比数列的公比为，等差数列的公差为，
令，则，，，，，
各式相加得到，可得，
取，可得，
不妨设等差数列的公差为，则，可得，
即，解得，此时，
所以满足条件的一个通项公式可以为．
故答案为：答案不唯一．
设等比数列的公比为，等差数列的公差为，令，利用等比数列的求和公式，求得，取，求得，不妨设等差数列的公差为，根据，求得，得到答案．
本题考查的知识点：数列的通项公式的求法，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：如图，将个景区抽象为个点，将个检票口抽象为条路线，将问题化归为不重复走完条路线，即一笔画问题，
从或处出发的线路是奇数条，其余是偶数条，可以判断只能从或处出发才能不重复走完条路线，
由于对称性，只列出从处出发的路线情形即可．
走路线：，，，，，，共种；
走路线：，，，，，，共种；
走路线：，，，，共种；
综上，共有种检测顺序．
故答案为：．
将个景区抽象为个点，将个检票口抽象为条路线，将问题化归为不重复走完条路线，即一笔画问题，分析可得只能从或处出发才能不重复走完条路线，再用列举法列出所有可能结果，即可得解．
本题主要考查简单的计数问题，考查运算求解能力，属于基础题．
17.【答案】解：因为，所以，
因为曲线在点处的切线方程为，
所以，即，解得．
因为，又函数在上单调递增，
所以恒成立，
即在上恒成立，
令，，则，所以当时，
当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值即最小值，即，
所以，即实数的取值范围为．
【解析】求出函数的导函数，依题意可得，即可得到方程，解得即可；
依题意可得恒成立，参变分离可得在上恒成立，令，，利用导数求出函数的最小值，即可求出参数的取值范围．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】解：证明：由，可得，解得，
时，，化为，
则是首项为，公比为的等比数列，
可得的通项公式为；
由，，
可得，
，
上面两式相减可得
化为．
【解析】由数列的递推式和等比数列的定义、通项公式可得所求；
由对数的运算性质求得，，由数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，可得所求和．
本题考查数列的递推式和等比数列的通项公式、求和公式，以及数列的错位相减法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
19.【答案】解：设平面与直线相交于点，连接，，如下图所示，
平面，平面，平面平面，
，
，平面，
平面，
平面，
又平面平面，，
四边形为平行四边形，
，
即，分别为，的中点，
故；
因为，为的中点，
所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
以点为坐标原点，以所在直线为轴，以过点平行与的直线为轴，以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，所以，
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，即
令，解得，，
，
设直线与平面所成的角为，
则．
故直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】本题考查直线与平面平行的判定定理和性质，利用空间向量求解直线与平面所成角，属于中档题．
设平面与直线相交于点，连接，，利用线面平行的性质定理可得，又因为，所以四边形为平行四边形，从而求出结果；
建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标，进而求出平面的一个法向量，再利用直线与平面夹角的向量公式求解．
20.【答案】解：李明最终获得满分的概率为．
前个题得分分；
后个题，得分可能是，，，，
所以的可能取值为，，，，
所以，，，．
所以的分布列为：

【解析】根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案．
先求得的可能取值，然后利用相互独立事件概率计算公式求得的分布列．
本题主要考查离散型随机变量分布列的求解，属于基础题．
21.【答案】解：设椭圆的焦距为，
由题意可得，解得，，
故椭圆的标准方程为：；
由题意可知直线的斜率不为，设直线：，，，
联立，整理得，
则，，，
因为，所以，，
所以，
故为定值，该定值为．
【解析】由已知椭圆的离心率是，又过点，可得，直接解得，，即可得到椭圆的标准方程；
由直线过点，可设直线方程为：，，，联立方程组，由韦达定理可得，，又，得，，再代入化简即可求解．
本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
22.【答案】解：函数，，存在的级“平移点”，则，
即，，，
，即，
令，
则，
当时，，，
在上单调递增，而，
在只有个零点，即函数的级“平移点”的个数为，且级“平移点”为．
由在上存在级“平移点”，则有解，
即：，得：，
在上有解，
令，，则，
在上单调递增，则，
，即，
实数的取值范围为：．
【解析】根据题意，可得，代入解析式求解即可；
根据级“平移点”定义知有解，即可得在上有解，构造函数并利用导数研究单调性、最值，即可求的范围．
本题主要考查函数与方程的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
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