2022-2023学年河南省郑州（新密）外国语学校高一（下）期中数学试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年河南省郑州（新密）外国语学校高一（下）期中数学试卷（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 105.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-09 19:47:29 | ||
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文档简介
2022-2023学年河南省北京外国语大学附属郑州（新密）外国语学校高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.化简：( )
A. B. C. D.
2.下列复数是的共轭复数的是( )
A. B. C. D.
3.已知一个直三棱柱的高为，如图，其底面水平放置的直观图斜二测画法为，其中，则该三棱柱的表面积为( )
A.
B.
C.
D.
4.已知平面向量，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.已知圆柱的高为，侧面积为，若该圆柱的上、下底面圆周都在某一球的球面上，则该球的体积为( )
A. B. C. D.
6.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知命题：是等腰三角形，命题：，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.如图，线段，互相垂直平分，在扇形中，，将阴影部分的图形绕所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知平面向量，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若四棱柱的底面和侧面都是矩形，则四棱柱一定是( )
A. 平行六面体 B. 长方体 C. 正四棱柱 D. 正方体
10.早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程世纪上半叶，数学家得到了一元三次、一元四次方程的解法此后数学家发现一元次方程有个复数根重根按重数计下列选项中属于方程的根的是( )
A. B. C. D.
11.在中，内角，，所对应的边分别是，，，若，则的可能取值为( )
A. B. C. D.
12.已知是的边上的一点不包含顶点，且，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，试写出一个与复数的虚部相等且模为的复数的代数形式______．
14.已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则 ______．
15.在中，内角，，所对应的边分别是，，，，，且的面积为，则 ______．
16.如图，一个棱长分米的正方体形封闭容器中盛有升的水没有盛满，若将该容器任意放置均不能使容器内水平面呈三角形，写出的一个可能取值： ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知向量，，满足，，，．
求向量与的夹角；
求．
18.本小题分
已知为复数，和均为纯虚数，其中是虚数单位．
求复数的共轭复数；
若复数在复平面内对应的点位于实轴下方，求实数的取值范围．
19.本小题分
如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是，圆柱筒长．
这种“浮球”的体积是多少？结果精确到
要在这样个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶克，共需胶约多少克？精确到克
20.本小题分
如图，，，为山脚两侧共线的三点，在山顶处测得这三点的俯角分别为，，，现计划沿直线开挖一条穿山隧道，经测量，，．
求的长：
求隧道的长．
结果精确到，附：，
21.本小题分
已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为，，母线长为，为的中点．
求圆台的体积与侧面积之比；
在圆台的侧面上，求从点到点的最短路径长．
22.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知，．
若，求的值；
求最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．
故选：．
利用平面向量的线性运算化简．
本题考查了平面向量线性运算的应用．
2.【答案】
【解析】解：因为，，，，
所以是的共轭复数．
故选：．
分别计算出四个选项，从而判断出的共轭复数．
本题主要考查共轭复数的定义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由斜二测画法还原底面平面图如图所示，
其中，
所以，
所以此直三棱柱的底面积为，高为，
故直三棱柱表面积为．
故选：．
根据斜二测画法还原底面平面图，然后由直三棱柱的表面积公式可解．
本题考查了三棱柱的表面积公式，属基础题．
4.【答案】
【解析】解：，，
则，，
故在上的投影向量为：．
故选：．
根据向量在向量上的投影向量的定义求解即可．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由圆柱侧面积，解得，
因为圆柱的上、下底面圆周都在某一球的球面上，
所以球心在圆柱高的中点处，设球半径为，
则，
所以．
故选：．
根据圆柱侧面积求出圆柱底面圆的半径，再由球截面圆的性质得出球半径，即可得解．
本题考查外接球问题，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：由，
得，
即．
化简得．
所以，但不能推出．
所以是的必要不充分条件．
故选：．
利用余弦定理化简，再利用充分条件和必要条件的定义判断．
本题考查解三角形，考查学生运算能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：由题意知：所得几何体是一个以为半径的半球体和一个底面半径为，高为的圆锥构成的组合体，
半球体表面积，圆锥侧面积，
所得几何体的表面积．
故选：．
根据旋转体特征可知所得几何体是一个半球体和一个圆锥构成的组合体，结合球的表面积和圆锥侧面积公式可求得结果．
本题考查了组合体表面积的计算，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由可得，即，
而，当且且，反向时等号成立，
所以，即，等号成立条件为．
故选：．
根据数量积的运算性质及均值不等式化简可得，即可求解．
本题主要考查数量积的运算性质及均值不等式，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：根据四棱柱的侧面都是矩形，可知该四棱柱为直四棱柱，
然后根据四棱柱的底面是矩形，可知该四棱柱为长方体．
故选：．
根据已知四棱柱的性质，即可得出答案．
本题考查四棱柱的性质，属于基础题．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了复数的运算性质，属于基础题．
对应各个选项逐个分析即可求解．
【解答】
解：选项A：当时，
，故A错误，
选项B：当时，
，故B正确，
选项C：当时，
，故C正确，
选项D：显然当时满足，故D正确，
故选：．
11.【答案】
【解析】解：由余弦定理可知，，
所以，
又，
所以，
则由，
可得，则有，
整理可得，
由正弦定理边化角可得：，
因为，
所以，
因为，
所以，显然，即，
所以有，
所以，
若，则为钝角，，此时必有，
所以，所以，所以，
此时有，所以，
则，显然不可能，所以，
则，，
则，此时有，
所以．
故选：．
根据余弦定理，化简整理可得，根据正弦定理边化角整理可先判断，不合适得出，则，然后根据不等式的性质，即可得出的取值范围．
本题考查余弦定理，正弦定理的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：是的边上的一点不包含顶点，则有，
得，即，
又，为边上的一点，
可得，，，，，
所以A正确，B错误；
，当且仅当时等号成立，所以，C错误；
，D正确．
故选：．
利用平面向量的线性运算，结合基本不等式，验证各选项的结果．
本题主要考查平面向量的基本定理，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：因为向量，，
所以，，
故，
则可设，
由，解得，
所以．
故答案为：．
根据复平面上向量对应的复数求出，，再由复数除法求出的虚部，利用复数模求解即可．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：由向量，，在正方形网格中的位置可得：
，，，
又，
则，即，
则，
故答案为：．
由平面向量的坐标运算求解即可．
本题考查了平面向量的坐标运算，属基础题．
15.【答案】
【解析】解：由，且，
可得，
，解得，
，
，可得，
代入，即，
．
故答案为：．
根据三角形面积公式求出，再由余弦定理的变形即可得出．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
16.【答案】答案不唯一
【解析】【分析】
本题考查了空间几何体体积的计算，属于中档题．
如图，在正方体中，若要使液面形状不可能为三角形，则平面平行于水平面放置时，液面必须高于平面，且低于平面，据此计算即可得解．
【解答】
解：如图，在正方体中，若要使液面形状不可能为三角形，
则平面平行于水平面放置时，液面必须高于平面，且低于平面，
若满足上述条件，则任意转动正方体，液面形状都不可能为三角形，
设正方体内水的体积为，而，
而升，升，
所以的取值范围是，
则的一个可能取值为答案不唯一．
故答案为：答案不唯一．
17.【答案】解：因为，
所以，
因为，
所以，
解得，
而，
则，，
，
又，
所以．
因为，，，
所以，
即．
【解析】由，，解得，再由结合向量的数量积，向量夹角公式即可得出答案．
由向量的数量积的运算性质即可得出答案．
本题考查了向量的数量积，重点考查了向量夹角公式，属中档题．
18.【答案】解：设，
则．
因为为纯虚数，所以，且，
所以，
所以．
因为为纯虚数，所以，所以，
所以，，所以．
由知，
所以，复数在复平面内对应的点为．
由题意可知，，，，解得或，且，
所以，实数的取值范围为．
【解析】设，可知，根据复数的除法运算化简，即可得出，根据共轭复数的概念，即可得出答案；
代入化简可得复数为，根据复数的几何意义，结合已知列不等式组，求解即可得出答案．
本题考查复数的几何意义，属于基础题．
19.【答案】解：该半球的直径，
所以“浮球”的圆柱筒直径也是，得半径，
所以两个半球的体积之和为，
而，
该“浮球”的体积是；
上下两个半球的表面积是，
而“浮球”的圆柱筒侧面积为，
所以个“浮球”的表面积为，
因此，个“浮球”的表面积的和为，
因为每平方米需要涂胶克，
所以总共需要胶的质量为：克．
【解析】分别求出两个半球的体积，和圆柱体的体积，即可求出“浮球”的体积；
先求出一个“浮球”的表面积，再求出个的面积，即可求解．
本题主要考查简单几何体的体积及表面积计算，考查运算求解能力，属于基础题．
20.【答案】解：由题意，，，
所以，，，，
所以，即，
解得；
因为，，所以，，
又由知，
所以在中，，
即，
所以．
【解析】求出角，在中由正弦定理即可得结果；
在中求出，从而求解得．
本题考查正弦定理及余弦定理的应用，属于中档题．
21.【答案】解：圆台的侧面积为．
由已知圆台上底面面积，下底面面积，
如图，，分别是上下底面圆的圆心，则，，
取为的中点，连结，则，且，
所以，
所以圆台的高为，
所以圆台的体积为．
所以圆台的体积与侧面积之比为．
作出原圆锥的轴截面，如图，
因为，，又易知∽，
所以．
因为，所以．
将圆台侧面沿展开如图，则即为所求最短距离，
因为上底面展开后得到扇形的弧长，半径，
所以圆心角，所以．
又，，
在中，有，
所以点到点的最短路径长为．
【解析】先求出圆台的侧面积，根据圆台的轴截面，可得出圆台的高，然后即可根据体积公式求出圆台的体积，然后作比即可得出答案；
先作出原圆锥的轴截面，然后即可得出圆锥的母线长，将圆台侧面沿展开，连结即为点到点的最短路径，根据圆台的侧面展开图，求得圆心角，进而根据三角形，即可得出答案．
本题考查圆台的体积与侧面积问题，距离的最值问题，属中档题．
22.【答案】解：由已知可得．
由余弦定理可得，
所以，
由正弦定理可得，
因为，
所以，
所以，
所以．
因为，
由余弦定理可得，
又，
所以，
所以，
当时，有最小值为，
所以，，
所以的最小值为．
【解析】根据余弦定理求得，根据正弦定理推得，然后即可根据得出，进而得出答案；
首先根据向量的运算得出然后根据余弦定理，结合已知得出，即可得出答案．
本题考查了正弦定理、余弦定理，重点考查了平面向量数量积的运算，属中档题．
第1页，共1页
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.化简：( )
A. B. C. D.
2.下列复数是的共轭复数的是( )
A. B. C. D.
3.已知一个直三棱柱的高为，如图，其底面水平放置的直观图斜二测画法为，其中，则该三棱柱的表面积为( )
A.
B.
C.
D.
4.已知平面向量，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.已知圆柱的高为，侧面积为，若该圆柱的上、下底面圆周都在某一球的球面上，则该球的体积为( )
A. B. C. D.
6.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知命题：是等腰三角形，命题：，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.如图，线段，互相垂直平分，在扇形中，，将阴影部分的图形绕所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知平面向量，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若四棱柱的底面和侧面都是矩形，则四棱柱一定是( )
A. 平行六面体 B. 长方体 C. 正四棱柱 D. 正方体
10.早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程世纪上半叶，数学家得到了一元三次、一元四次方程的解法此后数学家发现一元次方程有个复数根重根按重数计下列选项中属于方程的根的是( )
A. B. C. D.
11.在中，内角，，所对应的边分别是，，，若，则的可能取值为( )
A. B. C. D.
12.已知是的边上的一点不包含顶点，且，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，试写出一个与复数的虚部相等且模为的复数的代数形式______．
14.已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则 ______．
15.在中，内角，，所对应的边分别是，，，，，且的面积为，则 ______．
16.如图，一个棱长分米的正方体形封闭容器中盛有升的水没有盛满，若将该容器任意放置均不能使容器内水平面呈三角形，写出的一个可能取值： ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知向量，，满足，，，．
求向量与的夹角；
求．
18.本小题分
已知为复数，和均为纯虚数，其中是虚数单位．
求复数的共轭复数；
若复数在复平面内对应的点位于实轴下方，求实数的取值范围．
19.本小题分
如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是，圆柱筒长．
这种“浮球”的体积是多少？结果精确到
要在这样个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶克，共需胶约多少克？精确到克
20.本小题分
如图，，，为山脚两侧共线的三点，在山顶处测得这三点的俯角分别为，，，现计划沿直线开挖一条穿山隧道，经测量，，．
求的长：
求隧道的长．
结果精确到，附：，
21.本小题分
已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为，，母线长为，为的中点．
求圆台的体积与侧面积之比；
在圆台的侧面上，求从点到点的最短路径长．
22.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知，．
若，求的值；
求最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．
故选：．
利用平面向量的线性运算化简．
本题考查了平面向量线性运算的应用．
2.【答案】
【解析】解：因为，，，，
所以是的共轭复数．
故选：．
分别计算出四个选项，从而判断出的共轭复数．
本题主要考查共轭复数的定义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由斜二测画法还原底面平面图如图所示，
其中，
所以，
所以此直三棱柱的底面积为，高为，
故直三棱柱表面积为．
故选：．
根据斜二测画法还原底面平面图，然后由直三棱柱的表面积公式可解．
本题考查了三棱柱的表面积公式，属基础题．
4.【答案】
【解析】解：，，
则，，
故在上的投影向量为：．
故选：．
根据向量在向量上的投影向量的定义求解即可．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由圆柱侧面积，解得，
因为圆柱的上、下底面圆周都在某一球的球面上，
所以球心在圆柱高的中点处，设球半径为，
则，
所以．
故选：．
根据圆柱侧面积求出圆柱底面圆的半径，再由球截面圆的性质得出球半径，即可得解．
本题考查外接球问题，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：由，
得，
即．
化简得．
所以，但不能推出．
所以是的必要不充分条件．
故选：．
利用余弦定理化简，再利用充分条件和必要条件的定义判断．
本题考查解三角形，考查学生运算能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：由题意知：所得几何体是一个以为半径的半球体和一个底面半径为，高为的圆锥构成的组合体，
半球体表面积，圆锥侧面积，
所得几何体的表面积．
故选：．
根据旋转体特征可知所得几何体是一个半球体和一个圆锥构成的组合体，结合球的表面积和圆锥侧面积公式可求得结果．
本题考查了组合体表面积的计算，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由可得，即，
而，当且且，反向时等号成立，
所以，即，等号成立条件为．
故选：．
根据数量积的运算性质及均值不等式化简可得，即可求解．
本题主要考查数量积的运算性质及均值不等式，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：根据四棱柱的侧面都是矩形，可知该四棱柱为直四棱柱，
然后根据四棱柱的底面是矩形，可知该四棱柱为长方体．
故选：．
根据已知四棱柱的性质，即可得出答案．
本题考查四棱柱的性质，属于基础题．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了复数的运算性质，属于基础题．
对应各个选项逐个分析即可求解．
【解答】
解：选项A：当时，
，故A错误，
选项B：当时，
，故B正确，
选项C：当时，
，故C正确，
选项D：显然当时满足，故D正确，
故选：．
11.【答案】
【解析】解：由余弦定理可知，，
所以，
又，
所以，
则由，
可得，则有，
整理可得，
由正弦定理边化角可得：，
因为，
所以，
因为，
所以，显然，即，
所以有，
所以，
若，则为钝角，，此时必有，
所以，所以，所以，
此时有，所以，
则，显然不可能，所以，
则，，
则，此时有，
所以．
故选：．
根据余弦定理，化简整理可得，根据正弦定理边化角整理可先判断，不合适得出，则，然后根据不等式的性质，即可得出的取值范围．
本题考查余弦定理，正弦定理的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：是的边上的一点不包含顶点，则有，
得，即，
又，为边上的一点，
可得，，，，，
所以A正确，B错误；
，当且仅当时等号成立，所以，C错误；
，D正确．
故选：．
利用平面向量的线性运算，结合基本不等式，验证各选项的结果．
本题主要考查平面向量的基本定理，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：因为向量，，
所以，，
故，
则可设，
由，解得，
所以．
故答案为：．
根据复平面上向量对应的复数求出，，再由复数除法求出的虚部，利用复数模求解即可．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：由向量，，在正方形网格中的位置可得：
，，，
又，
则，即，
则，
故答案为：．
由平面向量的坐标运算求解即可．
本题考查了平面向量的坐标运算，属基础题．
15.【答案】
【解析】解：由，且，
可得，
，解得，
，
，可得，
代入，即，
．
故答案为：．
根据三角形面积公式求出，再由余弦定理的变形即可得出．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
16.【答案】答案不唯一
【解析】【分析】
本题考查了空间几何体体积的计算，属于中档题．
如图，在正方体中，若要使液面形状不可能为三角形，则平面平行于水平面放置时，液面必须高于平面，且低于平面，据此计算即可得解．
【解答】
解：如图，在正方体中，若要使液面形状不可能为三角形，
则平面平行于水平面放置时，液面必须高于平面，且低于平面，
若满足上述条件，则任意转动正方体，液面形状都不可能为三角形，
设正方体内水的体积为，而，
而升，升，
所以的取值范围是，
则的一个可能取值为答案不唯一．
故答案为：答案不唯一．
17.【答案】解：因为，
所以，
因为，
所以，
解得，
而，
则，，
，
又，
所以．
因为，，，
所以，
即．
【解析】由，，解得，再由结合向量的数量积，向量夹角公式即可得出答案．
由向量的数量积的运算性质即可得出答案．
本题考查了向量的数量积，重点考查了向量夹角公式，属中档题．
18.【答案】解：设，
则．
因为为纯虚数，所以，且，
所以，
所以．
因为为纯虚数，所以，所以，
所以，，所以．
由知，
所以，复数在复平面内对应的点为．
由题意可知，，，，解得或，且，
所以，实数的取值范围为．
【解析】设，可知，根据复数的除法运算化简，即可得出，根据共轭复数的概念，即可得出答案；
代入化简可得复数为，根据复数的几何意义，结合已知列不等式组，求解即可得出答案．
本题考查复数的几何意义，属于基础题．
19.【答案】解：该半球的直径，
所以“浮球”的圆柱筒直径也是，得半径，
所以两个半球的体积之和为，
而，
该“浮球”的体积是；
上下两个半球的表面积是，
而“浮球”的圆柱筒侧面积为，
所以个“浮球”的表面积为，
因此，个“浮球”的表面积的和为，
因为每平方米需要涂胶克，
所以总共需要胶的质量为：克．
【解析】分别求出两个半球的体积，和圆柱体的体积，即可求出“浮球”的体积；
先求出一个“浮球”的表面积，再求出个的面积，即可求解．
本题主要考查简单几何体的体积及表面积计算，考查运算求解能力，属于基础题．
20.【答案】解：由题意，，，
所以，，，，
所以，即，
解得；
因为，，所以，，
又由知，
所以在中，，
即，
所以．
【解析】求出角，在中由正弦定理即可得结果；
在中求出，从而求解得．
本题考查正弦定理及余弦定理的应用，属于中档题．
21.【答案】解：圆台的侧面积为．
由已知圆台上底面面积，下底面面积，
如图，，分别是上下底面圆的圆心，则，，
取为的中点，连结，则，且，
所以，
所以圆台的高为，
所以圆台的体积为．
所以圆台的体积与侧面积之比为．
作出原圆锥的轴截面，如图，
因为，，又易知∽，
所以．
因为，所以．
将圆台侧面沿展开如图，则即为所求最短距离，
因为上底面展开后得到扇形的弧长，半径，
所以圆心角，所以．
又，，
在中，有，
所以点到点的最短路径长为．
【解析】先求出圆台的侧面积，根据圆台的轴截面，可得出圆台的高，然后即可根据体积公式求出圆台的体积，然后作比即可得出答案；
先作出原圆锥的轴截面，然后即可得出圆锥的母线长，将圆台侧面沿展开，连结即为点到点的最短路径，根据圆台的侧面展开图，求得圆心角，进而根据三角形，即可得出答案．
本题考查圆台的体积与侧面积问题，距离的最值问题，属中档题．
22.【答案】解：由已知可得．
由余弦定理可得，
所以，
由正弦定理可得，
因为，
所以，
所以，
所以．
因为，
由余弦定理可得，
又，
所以，
所以，
当时，有最小值为，
所以，，
所以的最小值为．
【解析】根据余弦定理求得，根据正弦定理推得，然后即可根据得出，进而得出答案；
首先根据向量的运算得出然后根据余弦定理，结合已知得出，即可得出答案．
本题考查了正弦定理、余弦定理，重点考查了平面向量数量积的运算，属中档题．
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