19.2平行四边形（5）
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文档简介
(共24张PPT)
19.2平行四边形(5)
教学目标：
1．经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程，体
会类比思想及探究图形判定的一般思路；
2．掌握平行四边形的三个判定定理，能根据不同条
件灵活选取适当的判定定理进行推理．
教学重点：
平行四边形三个判定定理的探究与应用．
教学难点：
根据不同条件灵活选取适当的判定定理进行推理．
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
平行四边形的判定定理：
复习旧知
1.平行四边形的定义是什么？
2.平行四边形的对边具有什么性质？
3.它的逆命题是什么？
你认为它成立吗？
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
平行四边形的两组对边分别相等.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
探究新知
已知：在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：
连接BD.
∵AB= CD， AD=CB，
BD=DB，
∴△ABD≌△CBD.
∴∠1=∠2，
∠3=∠4，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴AB∥CD，
AD∥CB，
1
2
3
4
在四边形ABCD中，
∵ AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
平行四边形判定定理一：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
形成新知
符号语言：
4.平行四边形的对角具有什么性质？
5.它的逆命题是什么？
你认为它成立吗？
平行四边形的两组对角分别相等.
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
探究新知
∵ ∠A= ∠C， ∠B= ∠D，
∴ ∠A＋∠B =∠C＋∠D.
∵ ∠A＋ ∠B ＋ ∠C ＋∠D=360°，
∴ ∠A＋∠B =180°，
∠A＋∠D=180°，
证明：
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴AD∥CB，
AB∥CD，
已知：在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠ B=∠D.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
平行四边形判定定理二：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
在四边形ABCD中，
∵ ∠A= ∠C， ∠B= ∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形.
形成新知
符号语言：
6.平行四边形的对角线具有什么性质？
5.它的逆命题是什么？
你认为它成立吗？
平行四边形的对角线互相平分.
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
探究新知
证 明:
∵OA= OC， OB=OD，
∠AOB=∠COD，
∴△AOB≌△COD.
∴AB= CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
同理可证 AD=CB，
如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O.
且 OA= OC， OB=OD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
O
平行四边形判定定理三：
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
∵ OA= OC， OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
O
符号语言：
形成新知
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
平形四边形的判定定理
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
边
角
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线互相平分的四边形是平行四边形
对角线
归纳小结
例5 如图， 点E，F是□ABCD的对角线AC上的两点，并且AE=CF.
求证：四边形BFDE是平行四边形.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA= OC，
∵AE=CF,
∴OA－AE=OC－CF.
∴OE=OF.
∴四边形BFDE是平行四边形.
证明：
OB=OD.
E
F
O
连接BD，
交AC于点O.
例题解析
例6 如图， 直线l1，l2，l3互相平行，直线AC和直线A1C1分别交直线l1，l2，l3于点A，B，C和点A1，B1，C1，且AB=BC.
求证：A1B1=B1C1.
A
B
C
A1
B1
C1
l1
l2
l3
A
C
B
例题解析
探究
例6 如图， 直线l1，l2，l3互相平行，直线AC和直线A1C1分别交直线l1，l2，l3于点A，B，C和点A1，B1，C1，且AB=BC.
求证：A1B1=B1C1.
A
B
C
A1
B1
C1
l1
l2
l3
E
F
过点B1作EF∥AC，
分别交直线l1，l3
于点E，F.
过点B1作EF∥AC，
A
B
C
A1
B1
C1
l1
l2
l3
E
F
分别交l1，l3于点E，F.
证明：
∵l1∥l2， AB∥EB1，
∴AB= EB1.
∵l2∥l3， BC∥FB1，
∴BC= B1F.
∵AB=BC，
∴EB1= FB1.
∵l1∥l3，
∴∠A1EB1=∠B1FC1.
∵∠A1B1E =∠FB1C1，
∴△A1B1E ≌△C1B1F
∴A1B1= C1B1.
例6 如图， 直线l1，l2，l3互相平行，直线AC和直线A1C1分别交直线l1，l2，l3于点A，B，C和点A1，B1，C1，且AB=BC.
求证：A1B1=B1C1.
A
B
C
A1
B1
C1
l1
l2
l3
E
F
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.
经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边.
A
B
C
A1
B1
C1
l1
l2
l3
推论
A
B
C
D
E
∵AD=DB，
DE∥BC，
∴AE= CE.
证明：
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴AB∥DC．
又∵DC=EF，
∴四边形DCFE也是平行四边形．
∴DC∥EF． ∴AB∥EF．
如图，AB=DC=EF，AD=BC，DE=CF．
求证：AB∥EF．
A
B
C
D
E
F
AD=BC，
∵AB=DC，
DE=CF，
练习巩固
平行四边形的判定定理：
(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形．
课堂小结
1.下列条件中，不能判定四边形是
平行四边形的是( ).
A.两组对边分别平行
B.两组对边分别相等
C.一组对边平行另一组对边相等
D.一组对边平行且相等
C
巩固提高
2.如图，在□ABCD中，E为BC的中点，连接DE．延长DE交AB的延长线于点F．若AB=5cm，则BF= cm．
D
C
F
B
A
E
5
今天作业
课本P85页第9、10、11题
19.2平行四边形(5)
教学目标：
1．经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程，体
会类比思想及探究图形判定的一般思路；
2．掌握平行四边形的三个判定定理，能根据不同条
件灵活选取适当的判定定理进行推理．
教学重点：
平行四边形三个判定定理的探究与应用．
教学难点：
根据不同条件灵活选取适当的判定定理进行推理．
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
平行四边形的判定定理：
复习旧知
1.平行四边形的定义是什么？
2.平行四边形的对边具有什么性质？
3.它的逆命题是什么？
你认为它成立吗？
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
平行四边形的两组对边分别相等.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
探究新知
已知：在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：
连接BD.
∵AB= CD， AD=CB，
BD=DB，
∴△ABD≌△CBD.
∴∠1=∠2，
∠3=∠4，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴AB∥CD，
AD∥CB，
1
2
3
4
在四边形ABCD中，
∵ AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
平行四边形判定定理一：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
形成新知
符号语言：
4.平行四边形的对角具有什么性质？
5.它的逆命题是什么？
你认为它成立吗？
平行四边形的两组对角分别相等.
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
探究新知
∵ ∠A= ∠C， ∠B= ∠D，
∴ ∠A＋∠B =∠C＋∠D.
∵ ∠A＋ ∠B ＋ ∠C ＋∠D=360°，
∴ ∠A＋∠B =180°，
∠A＋∠D=180°，
证明：
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴AD∥CB，
AB∥CD，
已知：在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠ B=∠D.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
平行四边形判定定理二：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
在四边形ABCD中，
∵ ∠A= ∠C， ∠B= ∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形.
形成新知
符号语言：
6.平行四边形的对角线具有什么性质？
5.它的逆命题是什么？
你认为它成立吗？
平行四边形的对角线互相平分.
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
探究新知
证 明:
∵OA= OC， OB=OD，
∠AOB=∠COD，
∴△AOB≌△COD.
∴AB= CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
同理可证 AD=CB，
如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O.
且 OA= OC， OB=OD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
O
平行四边形判定定理三：
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
∵ OA= OC， OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
O
符号语言：
形成新知
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
平形四边形的判定定理
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
边
角
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线互相平分的四边形是平行四边形
对角线
归纳小结
例5 如图， 点E，F是□ABCD的对角线AC上的两点，并且AE=CF.
求证：四边形BFDE是平行四边形.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA= OC，
∵AE=CF,
∴OA－AE=OC－CF.
∴OE=OF.
∴四边形BFDE是平行四边形.
证明：
OB=OD.
E
F
O
连接BD，
交AC于点O.
例题解析
例6 如图， 直线l1，l2，l3互相平行，直线AC和直线A1C1分别交直线l1，l2，l3于点A，B，C和点A1，B1，C1，且AB=BC.
求证：A1B1=B1C1.
A
B
C
A1
B1
C1
l1
l2
l3
A
C
B
例题解析
探究
例6 如图， 直线l1，l2，l3互相平行，直线AC和直线A1C1分别交直线l1，l2，l3于点A，B，C和点A1，B1，C1，且AB=BC.
求证：A1B1=B1C1.
A
B
C
A1
B1
C1
l1
l2
l3
E
F
过点B1作EF∥AC，
分别交直线l1，l3
于点E，F.
过点B1作EF∥AC，
A
B
C
A1
B1
C1
l1
l2
l3
E
F
分别交l1，l3于点E，F.
证明：
∵l1∥l2， AB∥EB1，
∴AB= EB1.
∵l2∥l3， BC∥FB1，
∴BC= B1F.
∵AB=BC，
∴EB1= FB1.
∵l1∥l3，
∴∠A1EB1=∠B1FC1.
∵∠A1B1E =∠FB1C1，
∴△A1B1E ≌△C1B1F
∴A1B1= C1B1.
例6 如图， 直线l1，l2，l3互相平行，直线AC和直线A1C1分别交直线l1，l2，l3于点A，B，C和点A1，B1，C1，且AB=BC.
求证：A1B1=B1C1.
A
B
C
A1
B1
C1
l1
l2
l3
E
F
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.
经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边.
A
B
C
A1
B1
C1
l1
l2
l3
推论
A
B
C
D
E
∵AD=DB，
DE∥BC，
∴AE= CE.
证明：
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴AB∥DC．
又∵DC=EF，
∴四边形DCFE也是平行四边形．
∴DC∥EF． ∴AB∥EF．
如图，AB=DC=EF，AD=BC，DE=CF．
求证：AB∥EF．
A
B
C
D
E
F
AD=BC，
∵AB=DC，
DE=CF，
练习巩固
平行四边形的判定定理：
(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形．
课堂小结
1.下列条件中，不能判定四边形是
平行四边形的是( ).
A.两组对边分别平行
B.两组对边分别相等
C.一组对边平行另一组对边相等
D.一组对边平行且相等
C
巩固提高
2.如图，在□ABCD中，E为BC的中点，连接DE．延长DE交AB的延长线于点F．若AB=5cm，则BF= cm．
D
C
F
B
A
E
5
今天作业
课本P85页第9、10、11题