北京市第九中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试卷（含答案）

2024北京九中高二4月月考
数学
2024.4
(考试时间120分钟 满分150分)
一、单选题(共40分)
1．(本题4分)从0，1，2，3，4中选出3个数组成各位数字不重复的3位偶数，这样的数有（ ）个．
A．24 B．30 C．36 D．60
2．(本题4分)在数列中，若，则（ ）
A．﹣2 B． C．1 D．4
3．(本题4分)若，则（ ）
A．100 B．110 C．120 D．130
4．(本题4分)已知数列的前n项和为，则（ ）
A．81 B．162 C．243 D．486
5．(本题4分)若的展开式中各项系数之和为﹣128，则展开式中的系数为（ ）
A．﹣2835 B．945 C．2835 D．﹣945
6．(本题4分)等比数列满足，则（ ）
A．56 B．﹣56 C．﹣112 D．112
7．(本题4分)甲、乙、丙、丁四名同学参加学校组织的植树活动，学校共组织了3个植树小组，每人只能参加一个植树小组，则甲、乙不在同一个植树小组的安排方法有（ ）
A．81种 B．54种 C．36种 D．12种
8．(本题4分)在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1可能被错误的接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号为1时，接收为1和0的概率分别为p和．假设发送信号0和1是等可能的．已知接收到1的概率为0.475，则p的值为（ ）
A．0.8 B．0.85 C．0.9 D．0.95
9．(本题4分)排球比赛实行“每球得分制”，即每次发球后，谁取胜谁就得1分，得分的队有发球权，最后先得25分的队获得本局比赛胜利，若出现比分24：24，要继续比赛至某队领先2分才能取胜，该局比赛结束．甲、乙两队进行一局排球比赛，已知甲队发球时甲队获胜的概率为，乙队发球时甲队获胜的概率为，且各次发球的胜负结果相互独立．若此时甲、乙两队双方比分为22：22平，且甲队拥有发球权，则甲队得25分且取得该局比赛胜利的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．(本题4分)已知是数列的前n项和，且，，则下列结论正确的是（ ）
A．数列为等比数列 B．数列为等比数列
C． D．
二、填空题(共25分)
11．(本题5分)在数列中，若，则的值为______．
12．(本题5分)在等差数列中，，则的前10项和______．
13．(本题5分)已知甲、乙两人投篮的命中率分别为0.5和0.8，且两人投篮相互没有影响．若投进一球得2分，未进得0分，则每人投篮一次，得分相等的概率为______．
14．(本题5分)如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第10行中最大的数与第二大的数的数值之比为______(用最简分数表示)．
15．(本题5分)已知数列：1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，…，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，…，以此类推，则下列说法正确的是______．
①第10个1出现在第46项；
②该数列的前55项的和是1012；
③存在连续六项之和是3的倍数；
④满足前n项之和为2的整数幂，且n>100的最小整数n的值为440
三、解答题(共85分)
16．(本题13分)已知在等差数列中，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前n项和，则当n为何值时取得最大，并求出此最大值．
17．(本题13分)已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
18．(本题15分)国务院正式公布的《第一批全国重点文物保护单位名单》中把全国重点文物保护单位(下述简称为“第一批文保单位”)分为六大类．其中“A：革命遗址及革命纪念建筑物”、“B：石窟寺”、“C：古建筑及历史纪念建筑物”、“D：石刻及其他”、“E：古遗址”、“F：古墓群”，某旅行机构统计到北京部分区的17个“第一批文保单位”所在区分布如下表：
行政区 门类 个数
东城区 A：革命遗址及革命纪念建筑物 3
C：古建筑及历史纪念建筑物 5
西城区 C：古建筑及历史纪念建筑物 2
丰台区 A：革命遗址及革命纪念建筑物 1
海淀区 C：古建筑及历史纪念建筑物 2
房山区 C：古建筑及历史纪念建筑物 1
E：古遗址 1
昌平区 C：古建筑及历史纪念建筑物 1
F：古墓葬 1
(1)某个研学小组随机选择该旅行社统计的北京市17个“第一批文保单位”中的一个进行参观，求选中的参观单位恰好为“C：古建筑及历史纪念建筑物”的概率；
(2)小王同学随机选择该机构统计到的北京市“第一批文保单位”中的“A：革命遗址及革命纪念建筑物”中的一个进行参观；小张同学随机选择统计到的北京市“第一批文保单位”中的“C：古建筑及历史纪念建筑物”中的一个进行参观，两人选择参观单位互不影响，求两人选择的参观单位恰好在同一个区的概率：
(3)现在拟从该机构统计到的北京市“第一批文保单位”中的“C：古建筑及历史纪念建筑物”中随机抽取2个单位进行常规检查．记抽到海淀区的概率为，抽不到海淀区的概率为，试判断和的大小(直接写出结论)．
19．(本题14分)已知数列的前n项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，求证．
20．(本题15分)2020年5月1日起，北京市实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾四类．生活垃圾中有一部分可以回收利用，回收1吨废纸可再造出0.8吨好纸，降低造纸的污染排放，节省造纸能源消耗．某环保小组调查了北京市某垃圾处理场2020年6月至12月生活垃圾回收情况，其中可回收物中废纸和塑料品的回收量(单位：吨)的折线图如下图：
(1)从2020年6月至12月中随机选取1个月，求该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨的概率；
(2)从2020年7月至12月中随机选取4个月，记X为这几个月中回收废纸再造好纸超过3.0吨的月份个数．求X的分布列及数学期望；
(3)假设2021年1月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量为a吨．当a为何值时，自2020年6月至2021年1月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量的方差最小．(只需写出结论，不需证明)
21．(本题15分)已知无穷数列满足．
(1)若对于任意，有．
(ⅰ)当时，求；
(ⅱ)求证：“”是“为等差数列”的充分不必要条件．
(2)若，对于任意，有，求证：数列不含等于零的项．
参考答案
1．B【分析】考虑选出的3个数中有没有0的情况，有0时再考虑0的排法，根据分类加法原理，即可求得答案．
【详解】若从0，1，2，3，4中选出3个数中没有0，则组成各位数字不重复的3位偶数有个；
若从0，1，2，3，4中选出3个数中有0，且0排在个位，则组成各位数字不重复的3位偶数有个；
若从0，1，2，3，4中选出3个数中有0，且0不在个位，则组成各位数字不重复的3位偶数有个；故从0，1，2，3，4中选出3个数组成各位数字不重复的3位偶数，这样的数有12+12+6＝30个，
故选：B
2．A【分析】根据给定条件，探求出数列的周期，再利用周期性计算即得．
【详解】在数列中，由，得，
因此数列是周期性数列，周期为3，所以．故选：A
3．C【分析】利用二项式定理分别求出，即可计算得解．
【详解】在中，，
所以．故选：C
4．B【分析】根据给定条件，利用列式计算即得．
【详解】数列的前n项和为，所以．故选：B
5．D【分析】根据赋值法求系数和得，即可根据展开式的通项公式求解．
【详解】令，得，得，
则的展开式的通项，
令，得r＝3，则，故展开式中的系数为﹣945，故选：D．
6．D【分析】根据等比数列的定义解决问题．
【详解】由题意知，解得，
故．故选：D．
7．B【分析】根据分步计数原理分析求解即可．
【详解】甲有3种参加方法，乙有2种参加方法，丙、丁均有3种参加方法，根据分步乘法计数原理可知，甲、乙不在同一个植树小组的安排方法有3×2×3×3＝54种，故选：B．
8．B【分析】利用全概率公式计算可得．
【详解】设A＝“发送的信号为0”，B＝“接收到的信号为0”，
则“发送的信号为1”，“接收到的信号为1”，
所以，
所以接收信号为1的概率为：，
解得p＝0.85，故选：B．
9．C【分析】甲队得25分且取得该局比赛胜利包含甲以25：22取得比赛胜利和甲以25：23取得胜利两个事件，再利用事件的相互独立性及互斥事件加法公式求概率．
【详解】记事件A＝“甲队得25分且取得该局比赛胜利”，
事件B＝“甲以25：22取得该局胜利”，C＝“甲以25：23取得该局胜利”，
因为各次发球的胜负结果相互独立，且B，C互斥，所以，
，
所以，
所以甲队得25分且取得该局比赛胜利的概率为．故选：C
10．D【分析】A选项，计算出，故不是等比数列，A错误；
B选项，计算出的前三项，得到，B错误；
C选项，由题干条件得到，故为等比数列，得到，
故，相加即可求出，C错误；
D选项，在的基础上，分奇偶项，分别得到通项公式，最后求出.
【详解】由题意得：，
由于，故数列不是等比数列，A错误；
则，
由于，故数列不为等比数列，B错误；
时，，即，
又，
故为等比数列，首项为2，公比为3，
故，
故，
以上20个式子相加得：，C错误；
因为，所以，两式相减得：
，
当时，
以上式子相加得：，
故，而也符和该式，故，
令得：，
当时，
以上式子相加得：，
故，而也符号该式，故，
令得：，综上：，D正确．故选：D
【点睛】当遇到时，数列往往要分奇数项和偶数项，分别求出通项公式，最后再检验能不能合并为一个，这类题目的处理思路可分别令和，用累加法进行求解．
11．17 【分析】将，时分别代入偶数与奇数对应通项，即可求解．
【详解】依题意，．故答案为：17
12．155 【分析】由等差数列求和公式即可得解．
【详解】由题意．故答案为：155．
13．0.5/
【分析】根据独立事件同时发生的概率公式，即可求解．
【详解】若两人都没有投进，概率，
若两人都投进，概率，
则得分相等的概率．故答案为：0.5
14． 【分析】第10行从左至右依次为，，，…，，由二项式系数性质可得答案．
【详解】观察知第10行从左至右依次为，，，…，，
由二项式系数的性质可得最大，其次为，
所以第10行中最大的数与第二大的数的数值之比为．故答案为：．
15．①③④
【分析】把题设中的数列分成如下的组：(1)，(1，2)，(1，2，4)，(1，2，4，8)，…，求出每组的和为，命题①通过计算每组项数的和求解；命题②恰好是前10组之和；命题③通过找到符合题意得出判断；命题④设前n项由前k行和第k+1行前，项组成，算出前n和为后结合前n项和为2的整数幂可得n的最小值．
【详解】将数列排成行的形式
1，
1，2，
1，2，4，
1，2，4，8，
…
第行为：，则第k行和为，
前k行共有个数，前k行的和为，
对于命题①，第10个1出现在第1+2+3+4+5+6+7+8+9+1＝46项，故①正确；
对于命题②，因为，所以数列的前55项的和是，故②错误；
对于命题③，因为，是3的倍数，所以存在连续六项之和是3的倍数，故③正确；
对于命题④，设前n项由前k行和第k+1行前项组成，则．
前n项和为，若前n项和为2的整数幂，则有，即．
因为，所以当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
所以满足前n项之和为2的整数幂，且n>100的最小整数n的值为440，故④正确．
故答案为：①③④
【点睛】关键点点睛：本题考查分组数列的和以及与不定方程的整数解，对于分组数列的前n项和的问题，一般采用计算“大组”和，再计算“小组”和，而不定方程的整数解问题，则需把和式放缩为2的正整数幂的形式，从而确定和的表达式．
16．(1)；
(2)时取得最大值为36．
【分析】(1)根据已知及等差数列通项公式求基本量，进而写出通项公式；
(2)写出等差数列前n项和，应用其二次函数性质求最大值和对应n．
【详解】(1)设等差数列的公差为d，则，
故，所以．
(2)由，且，
所以，
故n＝6时取得最大，最大值为36．
17．(1)；(2)．
【分析】(1)设等差数列的公差为d，根据题意列出关于和d的方程组求解即可；
(2)证明是等比数列，根据等比数列前n项和公式即可求解．
【详解】(1)设等差数列的公差为，
∵成等比数列，
解得
∴；
(2)由(1)得，，
∴，
∴是首项为4，公比为4的等比数列，
∴．
18．(1) (2) (3)
【分析】(1)由题意知总样本数为17，C：古建筑及历史纪念建筑物共有11，利用古典概型概率公式从而求解．
(2)由题意可知小王参观A：革命遗址及革命纪念建筑物与小张参观C：古建筑及历史纪念建筑物在同一个区的只有东城区，然后分别求出他们参观东城区的概率，从而求解．
(3)利用分类讨论求出抽到海淀区的概率和抽不到海淀区的概率，从而求解．
【详解】(1)设选中参观单位恰好为“C：古建筑及历史纪念建筑物”为事件C，
由题意知总共有17个，“C：古建筑及历史纪念建筑物”有11，所以．
(2)设两人选择的参观单位恰好在同一个区为事件B，由题意可知小王参观A：革命遗址及革命纪念建筑物与小张参观C：古建筑及历史纪念建筑物在同一个区的只有东城区，
所以小王参观东城区景区的概率为，小张参观东城区景区的概率为．
所以．
(3)当抽到的2个都是海淀区的概率为，
当抽到的2个中有1个是海淀区的概率为，
所以，所以．
19．(1)
(2)证明见解析
【分析】(1)由与的关系结合等比数列的定义、通项计算即可；
(2)利用等差数列求和公式结合裂项相消法证明不等式即可．
【详解】(1)由已知，
又，即是以3为首项和公比的等比数列，
即；
(2)由(1)可知，所以，
则，
因为，显然，则，证毕．
20．(1) (2)分布列见解析， (3)4.4
【分析】(1)记“该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨”为事件A，推出只有8月份的可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨，然后求解概率．
(2)X的所有可能取值为1，2，3，利用超几何概率公式求出概率得到分布列，然后求解期望即可．
(3)根据方差的计算公式，结合二次函数的性质即可求解最小值．
【详解】(1)记“该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨”为事件A由题意，只有8月份的可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨 所以
(2)因为回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸
所以7月至12月回收的废纸可再造好纸超过3.0吨的月份有：7月、8月、10月，共3个月．
X的所有可能取值为1，2，3．
，，
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
(3)，当添加的新数a等于原几个数的平均值时，方差最小．
理由如下：由于2020年6月至2020年12月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量分别为2.8，3.5，4.9，4.2，4.9，4.9，5.6，故其平均数为
2020年6月至2021年1月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量方差为
，
其中为2020年6月至2020年12月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量)
由于为定值，所以只需要取最小即可，
根据二次函数的性质可知当取最小，所以当添加的新数a等于原几个数的平均值时，方差最小．
21．(1)(ⅰ)；(ⅱ)证明见解析 (2)证明见解析
【分析】(1)(ⅰ)结合条件代入计算即可；
(ⅱ)若，由于2023﹣1＝2022，所以当，数列为递增数列，不能存在降低的部分，否则达不到2023，若数列的公差为﹣1，；
(2)假设为数列的第一个为0项，而后进行反证即可．
【详解】(1)解：(ⅰ)因为，所以当，
数列为递增数列，且公差为1，不能存在降低的部分，
所以．
(ⅱ)若，由于2023﹣1＝2022，
所以当，数列为递增数列，且公差为1，不能存在降低的部分，
否则达不到2023，所以其是充分条件，
若数列的公差为﹣1，，可见其是不必要条件，
所以“”是“为等差数列”的充分不必要条件；
(2)证明：假设，是数列第一个为0项，则，
所以或，以此类推，可得(p，q为整数)，
显然与已知矛盾．所以数列不含等于零的项．
【点睛】与数列的新定义有关的问题的求解策略：
1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；
2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决．