2022-2023学年江苏省无锡市锡山区天一中学强化班高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省无锡市锡山区天一中学强化班高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数在复平面内对应的点为，则( )
A. B. C. D.
2.若向量满足，则( )
A. B. C. D.
3.向量在边长为的正方形网格中的位置如图所示，则( )
A. B. C. D.
4.设复数，满足，，则( )
A. B. C. D.
5.在中，若，则( )
A. B. C. D.
6.在平面四边形中，，若，则( )
A. B. C. D.
7.已知复数满足且，则的值为( )
A. B. C. D.
8.在中，已知，，，当取得最小值时，的面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，则下列正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若与的夹角为钝角，则
D. 若是与同向的单位向量，则
10.已知非零复数，在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，则( )
A. 当时，
B. 当时，
C. 若，则存在实数，使得
D. 若，则
11.在锐角中，内角，，的对边分别为，，，，且，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
12.在圆的内接四边形中，，，，则( )
A. B. 四边形的面积为
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.如图，在边长为的等边中，点为中线的三等分点靠近点，点为的中点，则 ______．
14.在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为______．
15.设复平面内的不同三点，，对应复数分别为，，，若是虚数单位，则的值为______．
16.已知，，是非零平面向量，，，，，则的最大值是______．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知，，是同一平面内的三个向量，其中．
若，且，求的坐标；
若，且与垂直，求在方向上的投影向量．
18.本小题分
已知复数，若存在实数，使成立．
求证：为定值；
若，求的取值范围．
19.本小题分
如图，在中，，，，直线交于点，直线交于点，
若，求实数的值；
若是边长为的等边三角形，求数量积．
20.本小题分
已知是虚数单位，，，设复数，，，且．
若为实数，求；
若复数，对应的向量分别是，为坐标原点，若，，三点不共线，记的面积为，求及其最大值．
21.本小题分
某大学科研团队在如下图所示的长方形区域内包含边界进行粒子撞击实验，科研人员在、两处同时释放甲、乙两颗粒子．甲粒子在处按方向做匀速直线运动，乙粒子在处按方向做匀速直线运动，两颗粒子碰撞之处记为点，且粒子相互碰撞或触碰边界后爆炸消失．已知长度为分米，为中点．
已知向量与的夹角为，且足够长．若两颗粒子成功发生碰撞，求两颗粒子运动路程之和的最大值；
设向量与向量的夹角为，向量与向量的夹角为，甲粒子的运动速度是乙粒子运动速度的倍．请问的长度至少为多少分米，才能确保对任意的，总可以通过调整甲粒子的释放角度，使两颗粒子能成功发生碰撞？
22.本小题分
在中角，，的对边分别为，，，已知．
求角的大小；
若，且为锐角三角形，求的取值范围；
若，且外接圆半径为，圆心为，为上的一动点，试求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：复数在复平面内对应的点为，则，．
故选：．
直接利用复数的运算法则化简求解即可．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，
，则，
，
．
故选：．
根据题意可得，再将两边同时平方即可得到答案．
本题考查平面向量数量积的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：如图，
把向量平移到同一起点，得出，然后把平移到同一起点，则：，
．
故选：．
可把向量平移到同一起点，从而得出，然后把平移到同一起点，再进行数量积的运算即可．
本题考查了向量减法的三角形法则，向量数量积的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：设，，
，
，即，
则
，
故．
故选：．
根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数模公式，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
所以，
化简得：，
由正弦定理角化边得：，
由余弦定理得，，
因为，
所以．
故选：．
利用三角恒等变换及余弦定理即可处理．
本题主要考查和差角公式，诱导公式，正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：取的中点，以为坐标原点，所在直线为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系不妨取点在轴上方，
设，则，
所以，，，
因为，
所以，
即，解得，
所以．
故选：．
建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算法则，求解即可．
本题考查平面向量的基本定理，遇到规则图形，建立适当的平面直角坐标系，将问题转化为平面向量的坐标运算是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：设，则，
根据，得，
根据，
得，
由，解得，故，
，
由于，
同理得，
因此得．
故选：．
设，则，由题意得，则，分别计算其立方值，代入后即可求解．
本题考查了复数的运算，属于中档题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了正弦定理及余弦定理在解三角形当中的应用，考查了平面向量的数量积运算及三角形的面积公式，属中档题．
结合已知条件，设，用表示出，，，又，结合正弦定理可得，设，则，根据余弦定理公式可得，，利用、及二者的关系式，化简整理得，易得，当时，取得最小值，此时，运用三角形面积公式求解即可．
【解答】解：如图，
在中，已知，，
不妨设，
则，，，
又，
则，
又在中，由正弦定理可得，则，
设，则，又，
则，则，
又，
当时，取得最小值，则，
则，
则，
则，
故选：．
9.【答案】
【解析】解：选项A，若，则，则，故A正确；
选项B，若，则，即，故B正确；
选项C，若与的夹角为钝角，则，即，
由可知，当时，有，故，故C错误；
选项D，若是与同向的单位向量，则，故D正确．
故选：．
根据向量模的计算，可判定；由向量平行的坐标关系，可判定；将向量夹角为钝角转化为数量积小于进行计算，从而判定；由单位向量的定义可判定．
本题考查向量的模、夹角、单位向量的坐标运算，属基础题．
10.【答案】
【解析】解：，，两边平方可得，选项A正确；
取，，则，但，选项B错误；
，，两边平方可得，
，故，因此存在实数，使，选项C正确；
取，，则，但，选项D错误．
故选：．
结合复数运算法则及复数几何意义化简计算即可．
本题考查复数的运算，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：由正弦边角关系知：，则，
所以，而，则，A正确；
由上知：，即，B错误，C正确；
由知：，则，
又，故，则，即，D正确．
故选：．
利用正弦边角关系可得，结合余弦定理及锐角三角形知、，判断、、正误；再由正弦边角关系，倍角公式判断正误．
本题考查正余弦定理，三角函数性质，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：如图，连接，四边形为圆内接四边形，
，又，，，设，
，
，
解得，故A错误；
，
，，
四边形的面积为，故B正确；
，故C错误；
，
又，
，
选项正确．
故选：．
连接，由四边形为圆内接四边形，可得，接着由余弦定理求出可判断；从而得，，再利用三角形面积公式即可求出四边形的面积可判断；利用向量数量积的求出，即可判断．
本题考查余弦定理，正弦定理，三角形面积公式，向量数量积的几何意义，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：在边长为的等边中，为中线，则，
．
故答案为：．
利用向量的线性运算得，再利用数量积的计算公式计算即可．
本题考查向量数量积的运算，属基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为，所以，
由正弦定理，
得，即，
化简得又，，
所以，故，
又由余弦定理解得或，
当时，又，则，
与矛盾，所以不符合题意，舍去；
当时，．
故答案为：．
由条件结合正弦定理求，由同角关系求，再由余弦定理求，根据三角形面积公式求的面积．
本题主要考查解三角形，正余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：设，，，，
由可得，
即，整理得，
即，
则，，
又复数，，对应的向量为，
则，
则，
，
则，则，则．
故答案为：．
设，，，由得，，进而求得，即可求得．
本题考查了复数和向量的综合应用，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：，，是非零平面向量，，，，，
令，，，
则，
，令，根据几何性质，点在以为圆心，为半径的圆上，
，，
，，，
点的轨迹是以或为圆心，半径为的圆，
的横坐标的最大值为，
，
在上的投影，最大值为．
故答案为：．
分析题目，利用向量数量积结合几何性质解题．
本题考查向量投影的最大值的求法，考查向量的几何意义、向量数量积公式等基础知识，是中档题．
17.【答案】解：设，
由，知，
由，知，
联立，解得，或，，
故．
与垂直，
，即，
，
在方向上的投影向量为．
【解析】设，根据模长和向量共线的条件，可列得关于和的方程，解之即可；
根据向量垂直的条件，求得，再由投影向量的计算公式，代入运算，得解．
本题考查平面向量的坐标运算，熟练掌握平面向量共线和垂直的条件，以及投影向量的计算方法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：证明：复数、，
若存在实数使成立，显然，
则，
可得，，
，即，
化简可得，即为定值．
若，则，
即，
化简可得，求得，
而
，
当时，
；
当时，，
综上可得，的取值范围为
【解析】本题考查共轭复数的概念，复数相等的充要条件，复数的模，复数的四则运算，考查函数与方程思想，运算求解能力，属于中档题．
由条件利用两个复数代数形式的乘除法，两个复数相等的充要条件，求得，从而证得结论．
由，可得；再根据，利用二次函数的性质求得的范围．
19.【答案】解：根据，得，整理得，同理可得．
所以，且，
结合，可得，．
因为与共线，所以，解得；
由的结论，可知，同理可求得，
所以，可得，
因此，，，
因为是边长为的等边三角形，可得，，
所以．
【解析】根据题意以向量为基底，表示出向量、，利用两个向量共线的条件列式算出实数的值；
根据向量的加减与数乘运算法则，推导出，，然后根据是边长为的等边三角形，利用数量积的定义与运算性质，计算出的值．
本题主要考查平面向量的线性运算法则、向量的数量积的定义与运算性质等知识，考查了计算能力、等价转化的数学思想，属于中档题．
20.【答案】解：已知是虚数单位，，，
又复数，，
则，
又为实数，
则，
又，且，
则，
联立可得：或，
即或；
由题意可得：，，
则，
又，
令，，
则，当且仅当时取等号，
即，其最大值为．
【解析】由复数的运算求解即可；
由复数的运算，结合平面向量数量积的运算及三角形的面积的求法求解即可．
本题考查了复数的运算，重点考查了平面向量数量积的运算及三角形的面积的求法，属中档题．
21.【答案】解：设两颗粒子在点相撞，
在中，由余弦定理得，
，
，
，
，，
当且仅当时，等号成立，
两颗粒子运动路程之和的最大值为．
过作，垂足为，
设，则，，
由余弦定理可得，
，
，，
，，
当，即时，即取得最大值为，
由题意知恒成立，
恒成立，
，
的长度至少为分米，才能确保对任意的，
总可以通过调整甲粒子的释放角度，使两颗粒子能成功发生碰撞．
【解析】根据题意在中运用余弦定理以及基本不等式能求出两颗粒子运动路程之和的最大值．
过作，垂足为，设，则，，由余弦定理求出，进而求出，求出，并求出其最大值，再由恒等式，求出的最小值即可．
本题考查余弦定理以及基本不等式等变换等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
22.【答案】解：因为，
所以根据正弦定理，化简得，
根据余弦定理，得，
整理得，
可得，
结合，可知；
由于为锐角三角形，且，可得，
由余弦定理，得，
所以，
可得；
由，利用余弦定理得到是等边三角形，
，，，
，，
，
，，
，，
，，
的取值范围为：．
【解析】由已知结合正弦定理及余弦定理求得，进一步求得；
利用三角函数恒等变换和函数的性质的应用求出三角形周长的取值范围；
由，利用余弦定理得到是等边三角形，把转化为含有、的式子，即可得到的取值范围．
本题考查平面向量的数量积运算，考查三角形的解法，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．
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