2022-2023学年江苏省淮安市涟水县郑梁梅高级中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省淮安市涟水县郑梁梅高级中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.已知幂函数，则过定点( )
A. B. C. D.
3.设，，，则( )
A. B. C. D.
4.已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.用表示，两数中的最小值．若函数的图象关于直线对称，则的值为( )
A. B. C. D.
6.的展开式中含的项的系数为( )
A. B. C. D.
7.在数学中，有一个被称为自然常数又叫欧拉数的常数小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数的前位数字，，，，，进行某种排列得到密码如果排列时要求不排第一个，两个相邻，那么小明可以设置的不同的密码个数为( )
A. B. C. D.
8.在棱长为的正方体中，分别取棱，的中点，，点为上一个动点，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于随机变量的说法正确的是( )
A. 若服从正态分布，则
B. 已知随机变量服从二项分布，且，随机变量服从正态分布，若，则
C. 若服从超几何分布，则期望
D. 若服从二项分布，则方差
10.在的展开式中，各项系数和与二项式系数和相等均为，则下列结论正确的是( )
A. B. 二项式系数最大的项为第项
C. 有理项有项 D. 系数最小项为第项
11.如图，底面为边长是的正方形，半圆面底面点为半圆弧上不含，点的一动点下列说法正确的是( )
A. 的数量积恒为
B. 三棱锥体积的最大值为
C. 不存在点，使得
D. 点到平面的距离取值范围为
12.下列说法正确的是( )
A. 直线的方向向量为，平面的法向量为，则
B. 已知向量，，则在上的投影向量为
C. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则
D. 若函数在上单调递增，则的取值范围是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.根据二项式定理，将等式两边分别展开，可得左右两边对应系数相等，试根据上述思想化简式子 ______
14.写出一个同时具有下列性质的函数，则______．
定义域为
在定义域内是偶函数
的图像与轴有三个公共点
15.如图，两个正方形，的边长都是，且二面角为，为对角线靠近点的三等分点，为对角线的中点，则线段 ______．
16.设函数，，其中，若对任意的，，都有，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
设，求下列各式的值．
；
．
18.本小题分
某市销售商为了解、两款手机的款式与购买者性别之间是否有关系，对一些购买者做了问卷调查，得到列联表如表所示：
购买款 购买款 总计
女
男
总计
是否有的把握认为购买手机款式与性别之间有关，请说明理由；
用样本估计总体，从所有购买两款手机的人中，选出人作为幸运顾客，求人中购买款手机的人数不超过人的概率．
附：
参考公式：，．
19.本小题分
某乐队准备从首摇滚歌曲和首校园民谣中随机选择首进行演唱．
求该乐队至少演唱首摇滚歌曲的概率；
假设演唱首摇滚歌曲，观众与乐队的互动指数为为常数，演唱首校园民谣，观众与乐队的互动指数为，求观众与乐队的互动指数之和的分布列．
20.本小题分
某企业研发了一种新药，为评估药物对目标适应症患者的治疗作用和安全性，需要开展临床用药试验，检测显示临床疗效评价指标的数量与连续用药天数具有相关关系．随机征集了一部分志愿者作为样本参加临床用药试验，并得到了一组数据，，，，，，其中表示连续用药天，表示相应的临床疗效评价指标的数值．根据临床经验，刚开始用药时，指标的数量变化明显，随着天数增加，的变化趋缓．经计算得到如下一些统计量的值：，，，，，，其中．
试判断与哪一个适宜作为关于的回归方程类型？并建立关于的回归方程；
新药经过临床试验后，企业决定通过两条不同的生产线每天小时批量生产该商品，其中第条生产线的生产效率是第条生产线的两倍．若第条生产线出现不合格药品的概率为，第条生产线出现不合格药品约概率为，两条生产线是否出现不合格药品相互独立．
(ⅰ)随机抽取一件该企业生产的药品，求该药品不合格的概率；
(ⅱ)若在抽查中发现不合格药品，求该药品来自第条生产线的概率．
参考公式：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
21.本小题分
已知函数的定义域是，对任意的正实数，满足：且当时，．
判断函数的单调性并加以证明；
若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
22.本小题分
如图，在梯形中，，，，为的中点，以为折痕把折起，连接，，得到如图的几何体，在图的几何体中解答下列两个问题．
证明：；
请从以下两个条件中选择一个作为已知条件，求二面角的余弦值．
四棱锥的体积为；
直线与所成角的余弦值为．
答案和解析
1.【答案】
【解析】时，有，即；
时，可能，也可能，不一定有，
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
由充分条件必要条件的定义，结合不等式的性质判断结论．
本题考查了充分条件必要条件的定义和不等式的性质，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：是幂函数，
，
故，则，
令，即，
得，
故过定点．
故选：．
利用幂函数的定义求出的值，进一步分析的解析式即可．
本题主要考查了幂函数的定义，指数函数的性质，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，且，即，
，，即
，则，
故选：．
三个数分别与，比较大小，即可得．
本题考查利用函数性质比较大小，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：不等式的解集为，
，方程的解集为，，
，解得，
，
，当且仅当，即时，等号成立，
，
由对勾函数性质可知，在上单调递增，
故．
故选：．
根据已知条件，结合韦达定理和基本不等式的公式，推出，，再结合对勾函数的性质，即可求解．
本题主要考查基本不等式及其应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的新定义问题，函数的对称性，属于中档题．
在同一个坐标系中做出两个函数与的图象，结合新定义，根据的对称性，可得答案．
【解答】
解：如图，
在同一个坐标系中画出两个函数与的图象，
函数的图象为两个图象中较低的一个，
分析可得其图象关于直线对称，
要使函数的图象关于直线对称，则的值为．
故选D．
6.【答案】
【解析】解：由题意可知，的展开式中含的项为，
所以含的项的系数为．
故选：．
利用二项式定理求解即可．
本题主要考查了二项式定理的应用，考查了学生对基础知识的掌握，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：根据题意，分种情况讨论：
排在第一位，则第二个数字也是，再从剩下的个位置中选出个，安排两个，最后安排和，
此时有个不同的密码；
不排成第一位，则第一位安排或，将两个看成一个整体，与两个和或中剩下的数排列，
此时有个不同的密码；
则一共有个不同的密码．
故选：．
根据题意，分种情况讨论：排在第一位，不排成第一位，由加法原理计算可得答案．
本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最基本的指导思想，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：在棱长为的正方体中，分别取棱，的中点，，点为上一个动点，如图，
点，分别是棱，的中点，，
平面，平面，
平面，
点到平面的距离即为点或到平面的距离．
该正方体的棱长为，
，为等边三角形，
，
，
设到平面的距离为，
则，即，
，解得，
点到平面的距离为．
故选：．
根据已知条件做出图形，利用三角形的中位线定理及线面平行的判定定理，结合等体积法能求出点到平面的距离．
本题考查正方体结构特征、点到平面的距离等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，由于，所以，根据方差的性质，，故A错误；
对于，服从二项分布，
，
解得，
，根据正态分布的对称性可得，，故B正确；
对于，服从超几何分布，根据超几何分布的期望公式，，故C正确；
对于，服从二项分布，根据二项分布方差公式得，，故D正确．
故选：．
根据正态分布的性质、超几何分布的期望公式、二项分布方差的运算公式，结合方差的性质逐一判断即可．
本题主要考查了正态分布曲线的对称性，考查了超几何分布的期望公式，以及二项分布的方差公式，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由于在的展开式中，各项系数和与二项式系数和相等均为，则，解得：；
对于：当时，各项的系数和为，解得，故A正确；
对于：由于二项展开式一共有项，故二项式系数的最大项为第四项，故B错误；
对于：展开式的通项公式，由于，当，，，时，为有理项，故C错误；
对于：根据二项展开式，展开式的系数有正有负，且第，，项为负值，
第二项的展开式的系数为，第四项的系数为，第六项的系数为，故第二项的系数为最小值，故D正确．
故选：．
直接利用二项式的展开式及组合数判断、、、的结论．
本题考查的知识要点：二项展开式，组合数，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：底面为边长是的正方形，半圆面底面点为半圆弧上不含，点的一动点，
对，因为半圆面底面，，面底面，底面，
根据面面垂直的性质定理，所以平面，
又因为，平面，所以，，
又由圆的性质，，则，
所以的数量积恒为，故A正确；
对，设点到平面的距离为，底面积，
显然当点为弧中点时最大，此时棱锥的体积最大，，
则三棱锥体积的最大值为，故B正确；
对，，
则存在点，使得，故C错误；
对，因为，
又，
所以，，
所以，
所以
，
在中，，
设点到平面的距离为，点到平面的距离为，
半圆面底面点为半圆弧上不含，点的一动点，
作于，因为面底面，根据面面垂直的性质定理，所以面，
所以，
因为，利用等体积思想，即，
所以，
设，则，
，，
则点到平面的距离取值范围为，故D正确，
综上所述，选项ABD正确．
故选：．
由面面垂直的性质结合平面向量的运算可判断；由棱锥的体积公式结合高的范围可判断；由向量的线性运算，，再由数量积运算可判断；由等体积法得出点到平面的距离取值范围，可判断．
本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，因为，，
则，
所以，则，或，故A错误；
对于，因为，，则方向上的单位向量，
则在上的投影向量为，故B正确；
对于，因为为奇函数，则，
又为偶函数，则，
，所以，故C正确；
对于，因为函数在上单调递增，
则必有，解得，或者，故D错误．
故选：．
对于，可先判断向量关系，进而判定直线和平面的位置关系；对于，根据投影向量公式计算即可；对于，根据条件求出的周期，进一步计算即可；对于，根据函数的单调性，列出条件，求解即可．
本题考查命题真假的判断，涉及空间向量的运算和函数单调性、对称性等知识点，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：根据题意，中的系数与中的系数相等，
对于，一共有个因式，从中选出个的方法有种，
则对应的项为，所以的系数为；
对于，，、，
从中选出个，从中选出个的方法有种，
则对应的项为，此时的系数为；
从中选出个，从中选出个的方法有种，
则对应的项为，此时的系数为；
从中选出个，从中选出个的方法有种，
则对应的项为，此时的系数为；
从中选出个，从中选出个的方法有种，
则对应的项为，此时的系数为；
综上：中所有含的项合并后的系数为，
所以，、．
故答案为：．
根据题意，中的系数与中的系数相等，从而利用组合的相关知识分别求得两式中的系数，通过系数对比算出答案．
本题主要考查二项定理及其应用、多项式乘法的原理、组合数公式的应用等知识，属于中档题．
14.【答案】满足条件即可
【解析】解：根据题意定义域为，且为偶函数，与轴分别有，，三个公共点，满足题意．
故答案为：满足条件即可．
写出一个符合题意的函数即可．
本题考查根据函数性质寻找函数解析式，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：因为四边形和四边形都是正方形，所以，，
所以即为二面角的平面角，即．
因为是对角线的中点，所以，
又因为是对角线靠近点的三等分点，
所以．
所以，
所以，
所以
．
所以，即线段．
故答案为：．
用表示，平方求模长即可．
本题考查了二面角的定义以及空间中两点间距离的计算，也考查了向量的应用，是中档题．
16.【答案】
【解析】解：当时，函数单调递增，且也单调递增，
所以当时，函数单调递增，
则当时，，
因为对任意的，，都有，
等价于对任意的，都有，即，所以，
令，其中，由函数的单调性可知，
在单调递增，则，
所以．
故答案为：．
根据题意，判断函数的单调性，从而可得函数在的最大值，然后将问题转化为对任意的，都有，分离参数，即可得到结果．
本题利用单调性研究函数的最值，解决不等式恒成立问题，属于中档题．
17.【答案】解：当时，则，
当时，则，
所以，
当时，则，
所以
．
【解析】分别令，建立方程组，由此即可求解；令，结合，化简即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，涉及到赋值法，属于基础题．
18.【答案】解：根据题意可得，
有的把握认为购买手机款式与性别之间有关；
“从所有购买两款手机的人中，选出人“可以看成次独立重复试验，
且每次选出的购买款手机的概率为，
设选出的人中购买款手机的人数为，则，
，，
，
即人中购买款手机的人数不超过人的概率为．
【解析】计算的值，再与临界值比较，从而得解；
根据二项分布及互斥事件的并事件的概率加法公式，即可求解．
本题考查独立性检验原理的应用，二项分布的概率问题，互斥事件的并事件的概率加法公式的应用，属中档题．
19.【答案】解：设“至少演唱首摇滚歌曲”为事件，则事件的对立事件为“没有首摇滚歌曲被演唱”，
所以；
设乐队共演唱首摇滚歌曲，的所有可能值为，，，，
则，，
，，，，
因为，当，，，时，对应，，，，
即的所有可能值为：，，，，
，，，，
所以的分布列为：

【解析】根据给定条件求出没有首摇滚歌曲被演唱的概率，再借助对立事件的概率公式计算即得；
求出首歌曲中演唱摇滚歌曲数的分布，再求互动指数之和的分布列即可得解．
本题考查了“超几何分布列”的概率计算公式数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：刚开始用药时，指标的数量变化明显，随着天数增加，的变化趋缓，故适宜作为关于的回归方程类型．
令，得，于是，
因为，所以，
所以，
即；
设“随机抽取一件该企业生产的药品为不合格”，
“随机抽取一件药品为第条生生产线生产”，“随机抽取一件药品为第条生生产线生产”，
则，，
又，，
于是；
．
【解析】判断出适宜作为关于的回归方程类型，利用公式求出关于的回归方程；
设出事件，利用全概率公式进行求解，在第一问的基础上，利用条件概率进行求解．
本题考查了回归方程以及条件概率的计算，属于中档题．
21.【答案】解：单调递增；
证明：设，
则，所以，
函数在定义域内单调递增；
要使不等式有意义，
，
，
即，
所以原不等式恒成立可转化为在上恒成立，
显然，当时，不等式，
当时，，
综上所述：实数的取值范围为．
【解析】根据单调性的定义设，作差判断符号，即可得单调性；
先化简抽象不等式，利用单调性可得在上恒成立，利用二次函数的性质可得出结果
本题考查了对函数单调性的判断及证明、转化思想、二次函数的性质，属于中档题．
22.【答案】证明：在图中，
因为为中点，
所以，，
所以为平行四边形，
所以，
同理可证，
在图中，取中点，连接，
因为，所以，，
因为，所以平面，
因为平面，
所以；
若选择：因为平面，平面，
所以平面平面且交线为，
所以过点作，
则平面，
因为，
所以四棱锥的体积，
所以，所以与重合，所以平面，
建系如图，则，
平面法向量为，
设平面法向量为，
因为，
所以，得，
设二面角的大小为，
则，
所以二面角的余弦值为；
若选择：因为，所以即为异面直线与所成角，
在中，，
所以，
所以，即，
因为平面，平面，
所以平面平面且交线为，
所以平面，
建系如图，
则，
平面法向量为，
设平面法向量为，
因为，
所以，得，
设二面角的大小为，
则，
所以二面角的余弦值为．
【解析】通过证明线面垂直来证得．
选，结合四棱锥的体积，证得平面；选，结合直线与所成角的余弦值，证得平面；由此建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的余弦值．
本题考查了线线垂直的证明以及二面角的求解，属于中档题．
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