2022-2023学年安徽省滁州市定远二中高二（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年安徽省滁州市定远二中高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则( )
A. B.
C. D. ，
2.函数的定义域为( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，则( )
A. B. C. D.
4.的二项展开式中，二项式系数最大的项是第项．( )
A. B. C. 和 D. 和
5.已知甲、乙两名同学在高三的次数学测试的成绩统计如图图标中心点所对纵坐标代表该次数学测试成绩，则下列说法不正确的是( )
A. 甲成绩的极差小于乙成绩的极差
B. 甲成绩的第百分位数大于乙成绩的第百分位数
C. 甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数
D. 甲成绩的方差小于乙成绩的方差
6.已知，，则下列结论中正确的是( )
A. 函数的周期为
B. 函数的最大值为
C. 将的图象向左平移个单位后得到的图象
D. 将的图象向右平移个单位后得到的图象
7.已知函数的定义域为，函数的定义域为( )
A. B.
C. D.
8.已知椭圆的两个焦点为，，过的直线与交于，两点若，，且的面积为，则椭圆的方程为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.费马原理是几何光学中的一条重要原理，可以推导出双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角已知、分别是以为渐近线且过点的双曲线的左、右焦点，在双曲线右支上一点处的切线交轴于点，则( )
A. 双曲线的离心率为
B. 双曲线的方程为
C. 过点作，垂足为，则
D. 点的坐标为
10.杨明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时，样本方差为；骑自行车平均用时，样本方差为，假设坐公交车用时单位：和骑自行车用时单位：都服从正态分布，正态分布中的参数用样本均值估计，参数用样本标准差估计，则( )
A.
B.
C.
D. 若某天只有可用，杨明应选择坐自行车
11.已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，设线段的中点为，以线段为直径的圆交轴于，两点，过且与轴垂直的直线交抛物线于点，则( )
A. 圆与抛物线的准线相切 B. 存在一条直线使
C. 对任意一条直线有 D. 有最大值，且最大值为
12.长方体中，，，，点是空间一动点，是棱的中点，则下列结论正确的是( )
A. 若在侧面内含边界运动，当长度最小时，三棱锥的体积为
B. 若在侧面内含边界运动，存在点，使平面
C. 若在侧面内含边界运动，且，则点的轨迹为圆弧
D. 若在内部运动，过分别作平面，平面，平面的垂线，垂足分别为，，，则为定值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知复数，是虚数单位，则复数的实部为______．
14.甲、乙两名运动员进行羽毛球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为，乙胜的概率为，且各局比赛结果相互独立．当比赛采取局胜制时，甲用局赢得比赛的概率为现甲、乙进行局比赛，设甲胜的局数为，则______．
15.有名同学参加两项课外活动，每位同学必须参加一项活动且不能同时参加两项，每项活动最多安排人，则所有的安排方法有______种．用数学作答
16.平行六面体的棱长均为，，且底面，则对角线与侧面所成角的正弦值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知，，函数．
若，，用列举法表示；
求函数的单调递增区间以及当函数取得最大值时，和的夹角．
18.本小题分
已知椭圆：，，分别为椭圆的左顶点和右焦点，过的直线交椭圆于点，若，且当直线轴时，．
求椭圆的方程；
设直线，的斜率分别为，，问是否为定值？并证明你的结论；
记的面积为，求的最大值．
19.本小题分
已知点，圆：．
判断点与圆的位置关系，并加以证明；
当时，经过点的直线与圆相切，求直线的方程；
若经过点的直线与圆交于、两点，且点为的中点，求点横坐标的取值范围．
20.本小题分
“微信运动”已成为当下热门的运动方式，小王的微信朋友内也有大量好友参与了“微信运动”，他随机选取了其中的人男、女各人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：
性别
步数
男
女
已知某人一天的走路步数超过步被系统评定为“积极型“”，否则为“懈怠型”，根据题意完成下面的列联表，并据此判断能否有以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？
积极型 懈怠型 总计
男
女
总计
若小王以这位好友该日走路步数的频率分布来估计其所有微信好友每日走路步数的概率分布，现从小王的所有微信好友中任选人，其中每日走路不超过步的有人，超过步的有人，设，求的分布列及数学期望．
附：，．
21.本小题分
如图，在三棱柱中，平面平面，是边长为的正三角形，是的中点，，直线与平面所成的角为．
求证：平面；
求二面角的余弦值．
22.本小题分
已知双曲线离心率为，，分别是左、右顶点，点是直线上一点，且满足，直线，分别交双曲线右支于，两点记，的面积分别为，．
求双曲线的方程；
求的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由中不等式变形得：，
解得：或，即，
与中，，得到，即，
则．
故选：．
求出中不等式的解集确定出，求出中的范围确定出，根据全集求出的补集即可．
此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．
2.【答案】
【解析】解：由题意得：，解得，
故的定义域为．
故选：．
由分式和偶次根式有意义的基本要求可得不等式，解不等式可求得定义域．
本题主要考查函数的定义域及其求法，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为，所以，又，所以．
故选：．
根据空间向量的坐标运算公式求解即可．
本题考查了空间向量的坐标运算，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：展开式中共有项，
据展开式中中间项的二项式系数最大，
故第项的二项式系数最大，
故选：．
直接根据展开式中间项的二项式系数最大得出第项的二项式系数最大．
本题考查二项式系数的性质，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：从图表可以看出甲成绩的波动情况小于乙成绩的波动情况，则甲成绩的方差小于乙成绩的方差，且甲成绩的极差小于乙成绩的极差，AD正确；
将甲成绩进行排序，又，故从小到大，选择第二个成绩作为甲成绩的第百分位数，估计值为分，
将乙成绩进行排序，又，故从小到大，选择第个成绩成绩作为乙成绩的第百分位数，估计值大于分，
从而甲成绩的第百分位数小于乙成绩的第百分位数，B错误；
甲成绩均集中在分左右，而乙成绩大多数集中在分左右，故C正确．
故选：．
分析图中数据，结合方差，极差的求法和意义，结合百分位数的求解，得到答案．
本题主要考查方程、极差、百分位数的定义，属于基础题．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了两角和与差的三角函数公式和平移变换问题，是基础题．
将函数，根据两角和与差的三角函数公式化简，再求出的解析式，
得到的最小正周期和最大值，判定、正误；
依据三角函数平移变换法则对，进行验证对错．
【解答】
解：，
，
对于，函数，周期为，A错误；
对于，函数的最大值是，B错误；
对于，将的图象向左平移个单位后，
得到，C错误；
对于，将的图象向右平移个单位后，
得到，D正确．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：因为函数的定义域为，
所以，所以，
所以，解得，
所以函数的定义域为．
故选：．
函数的定义域都是的取值范围，根据函数的结构特点确定函数的定义域．
本题考查抽象函数的定义域问题，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：设，则，，则，
由椭圆的定义可知，
所以，
所以，，，
，
在中，，
则，所以，
在中，，
即，
整理可得，
因为三角形的面积为，
故，
即，
得，
所以，，
所以椭圆的方程为，
故选：．
设，则，，由椭圆的定义得，在中，由余弦定理得，根据同角三角函数的平方关系得，在中，由余弦定理得，再结合的面积为，即可求出，进而得出椭圆的方程．
本题考查椭圆的几何性质，化归转化思想，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，设双曲线方程为，由题意知，，所以双曲线方程为，
由于，所以，A错误；
对于，由上可知B正确；
对于，当点横坐标趋于无穷大时，其切线近似为渐近线，不妨设其切线为，
则直线为，联立二式解得，，此时，C错误；
对于，将变形为，左右同时对求导得，
当，，，
所以点切线方程为，令，解得，D正确．
故选：．
求出双曲线的方程而后用点坐标表示出点切线方程即可．
本题主要考查双曲线有关性质，属中档题．
10.【答案】
【解析】解：随机变量的均值为，方差为，则，，，
随机变量的均值为，方差为，则，，，
所以，故A正确；
，
，
因为，
所以，故B正确；
，故C错误；
对于，因为，
所以选择公交车，故D正确．
故选：．
利用正态分布曲线的意义以及对称性，对四个选项逐一分析判断即可．
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：若直线轴，则直线与抛物线有且只有一个交点，不合乎题意．
设点、，设直线的方程为，
联立，整理可得，
，，，
，从而到准线的距离为，
而圆的直径为，，
故圆与抛物线的准线相切，故A正确；
由韦达定理可得，，
，
，
不存在一条直线使，故B不正确；
，，，
，从而，，
由抛物线的定义可得，从而，故C正确；
，，，
圆的直径为，则，
点到轴的距离为，
，
当时，最小，最小值为，故D正确．
故选：．
根据直线和抛物线的关系联立方程组，由韦达定理结合抛物线定义计算焦点弦判断选项；根据焦半径判断，选项；根据图形特征及点到轴距离求角的最值判断选项．
本题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的综合，圆与抛物线的综合，考查运算求解能力，属于难题．
12.【答案】
【解析】解：选项A：当为中点时，长度最小，最小长度为，
，故A正确；
对于：取，的中点，，连接，，，
易得，，易得平面，平面，
，平面平面，面，
平面，当在点处时，有平面，故B正确；
选项C：以为原点，分别以、、为，、轴建立空间直角坐标系如图：
则，，，，
设，，，
则，，，
，
，
又，
则，即，
整理得，则点的轨迹不为圆弧．故C错误．
，，，，
在内部运动，，
，
由题意可得，，，
为定值，故D正确．
故选：．
求得三棱锥的体积判断选项A；取，的中点，，连接，，，可证平面判断；建立空间直角坐标系求得点的轨迹方程判断选项C；由可得点，，的坐标，进而可得为定值判断．
本题考查空间几何体的性质，考查推理论证能力，考查运算求解能力，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：复数．
复数的实部为．
故答案为：．
利用复数的运算法则和实部的意义即可得出．
本题考查了复数的运算法则和实部的意义，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由题意可得，，解得，
随机变量服从二项分布，
．
故答案为：．
由题意可得，，解得，再结合二项分布的方差公式，即可求解．
本题主要考查了二项分布的方差公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由题意知本题是一个分类计数问题，
每项活动最多安排人，
可以有三种安排方法，即
当安排，时，需要选出个人参加共有，
当安排，，时，共有种结果，
当安排，时，共有种结果，
根据分类计数原理知共有种结果，
故答案为：
本题是一个分类计数问题，根据每项活动最多安排人，可以有三种安排方法，当安排，时，需要选出个人参加第一个活动，当安排，，时，共有种结果，当安排，时，共有种结果，相加得到结果．
本题是一个分类计数问题，这是经常出现的一个问题，解题时一定要分清做这件事需要分为几类，每一类包含几种方法，把几个步骤中数字相加得到结果．
16.【答案】
【解析】解：延长，在平面中，过点作，交的延长线于，连接，，如图所示：
因为底面，则平面，
又平面，所以，
因为，所以，
所以平面，
所以即为直线与侧面所成角，
在菱形中，，所以，
在中，，
在中，，
所以在中，，
所以对角线与侧面所成角的正弦值为．
故答案为：．
在平面中，过点做，交的延长线于，根据线面垂直的判定定理，可证平面，所以即为所求，分别求得各个边的长度，根据三角函数的定义，即可得答案．
本题考查了线面角的计算，属于中档题．
17.【答案】解：
，
由得，，，
，，
，且，
；
，
解得，，，
的单调递增区间为，，
当时，取得最大值，此时，，
，
，且，
，且，
．
【解析】进行数量积的坐标运算，并根据两角差的正余弦公式可得出，从而可得出，然后进行交集的运算即可；
解，，即可得出的单调递增区间，可看出时，取得最大值，从而可以得出，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出的值，进而求出该夹角．
本题考查了向量坐标的数量积运算，两角差的正余弦公式，交集的定义及运算，正弦函数的单调递增区间，以及正弦函数的最大值，考查了计算能力，属于基础题．
18.【答案】解：设椭圆的右焦点为，，则，
由，得，
又当直线轴时，，的横坐标为，将代入中，得，
则，
联立，解得，，，
所以椭圆的方程为
为定值证明如下：
显然，直线不与轴垂直，可设的方程为，
联立椭圆方程，消去并整理得，
又设，，由韦达定理得
从而，，
所以，
即，故得证．
由知，
所以
．
令，，
则，设函数，
由知，在上为增函数，
得，即时，，
此时取得最大值为．
【解析】对第问，由，，及可求得，；
对第问，可先设直线的方程与，的坐标，联立直线与椭圆的方程，由韦达定理建立交点坐标的关系，将用坐标表示，再探求定值的存在性；
对第问，根据，将用参数表示，从而得到面积关于函数，根据此函数的形式特点，可求得面积的最大值．
求椭圆的方程，只需确定，，需要建立关于，，的三个不同的方程．
要获得定值，往往需要消参，韦达定理的运用，体现了“设而不求”的思想．
面积的最值问题，一般转化为函数最值问题来处理．常利用函数的单调性求最值，考虑导数方法来研究函数的单调性，过程显得更为简洁．
19.【答案】解：，
所以点在圆外．
当时，点的坐标为，
由圆：知圆心为，，
当直线的斜率不存在，方程为，圆以到直线的距离为，
所以是圆的切线；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
由题意有，解得，
所以直线的方程为，即，
综上所述，过点与圆相切的直线方程为或，
由题意，所以有，
解得，
所以横坐标的取值范围为
【解析】本题考圆与直线的位置关系中的相切问题，和判断点与圆的位置关系，属于中档题．
把点的坐标代入圆的方程的左边计算结果大于，知点在圆外；
分类讨论斜率是否存在时，利用圆心到直线的距离等于其半径求出切线方程；
由经过点的直线与圆交于、两点，且点为的中点，得意，代入可求的范围．
20.【答案】解：根据题表中的数据完成列表如下：
积极型 懈怠型 总计
男
女
总计
，
没有以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关．
由题意得小王的微信好友中任选一人，其每日走路频数不超过步的概率为，
超过步的概率为，
当或时，，
，
当，或，时，，
，
当，或，时，，
，
的分布列为：


．
【解析】根据题表中的数据完成列表，求出，从而没有以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关．
由题意得小王的微信好友中任选一人，其每日走路频数不超过步的概率为，超过步的概率为，当或时，，当，或，时，，当，或，时，，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和．
本题考查独立检验的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
21.【答案】解：证明：连接交于点，连接，
因为四边形是平行四边形，所以是的中点，
又因为是的中点，所以，
因为平面，平面，所以面．
取中点，连接、，因为，所以，
因为平面平面，平面，平面平面，所以平面，
因为是正三角形，是的中点，所以，
建立空间直角坐标系，如图所示，
设，则，，，，，，
所以，，，
又平面的一个法向量，
所以，
因为，解得，设平面的一个法向量，则，
取，可得，，所以，
又平面的一个法向量，所以，
设二面角的平面角为，由图知为钝角，则，
二面角的余弦值为．
【解析】连接交于点，证明，结合线面平行的判定即可得证；
取中点，建立合适的空间直角坐标系，求得平面及平面平面的法向量，利用向量的夹角公式即可得解．
本题以三棱柱为背景，考查线面平行的判定定理，考查利用空间向量求解二面角的余弦值，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．
22.【答案】解：依题意设，，，
若，此时，，
则，，不符合题意，，
则，，
又，，解得，
又，，则，
可得双曲线的方程为；
由可知直线：，：，
联立，得．
由根与系数的关系得，
由，得，解得；
联立，得．
由根与系数的关系得，
由，得，解得．
综上可得．
，
，
又，
而
，
，
，令，，
，
再令，则，，
当时，，可得当时，．
即的最大值为．
【解析】设，可判断，表示出，，即可求出，再根据离心率求出，从而求出，则双曲线方程可求；
由可知直线，的方程．联立直线与双曲线方程求出、，由，代入转化为关于的式子，再换元利用函数的性质即可求得的最大值．
本题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线位置关系的应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，考查运算求解能力，属难题．
第1页，共1页