天津市第五中学2023-2024学年高一上学期数学12月月考试卷
一、选择题（每题4分，共计48分）
1．（2020高一上·天津期末）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．（2020高一上·天津期末）命题“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
3．（2020高一上·天津期末）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2023高一上·天津市月考）半径为1，圆心角为的扇形的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020高三上·海淀期中）已知函数 ，在下列区间中，包含 零点的区间是（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
6．（2023高一上·天津市月考）已知角的终边上有一点的坐标是，其中，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2023高一上·天津市月考）已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023高一上·天津市月考）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023高一上·天津市月考）若函数和都是上的奇函数，，若，则（ ）
A．1 B． C． D．5
10．（2022·天津市）化简的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
11．（2023高一上·天津市月考）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023高一上·天津市月考）已知函数，，若函数有2个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共计24分）
13．（2020高一上·天津期末） ．
14．（2023高一上·天津市月考）若幂函数的图象经过点，则的解析式为 .
15．（2023高一上·天津市月考）已知，，则 ．
16．（2020高一上·天津期末）已知 ， ，则 ．
17．（2023高一上·天津市月考）函数的最小值为 ．
18．（2020高一上·天津期末）若f(x)＝ 是定义在R上的减函数，则a的取值范围是 .
三、解答题（共计28分）
19．（2023高一上·天津市月考）若不等式的解集是，
（1）求的值；
（2）求不等式的解集.
20．（2023高一上·天津市月考）已知函数
（1）当时，求的定义域和单调递减区间；
（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围.
21．（2023高一上·天津市月考）已知函数，且函数为奇函数
（1）求函数的定义域；
（2）求实数的值
（3）用定义证明函数在上单调递减
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由题可知， ， ，
由交集的运算可得 .
故答案为：A.
【分析】根据题意由交集的定义即可得出答案。
2．【答案】A
【知识点】全称量词命题；命题的否定
【解析】【解答】因为命题“ ， ”是全称命题，全称命题的否定是存在命题，
所以命题“ ， ”的否定是“ ， ”
故答案为：A
【分析】利用特称命题的否定是全称命题结合题意即可得出答案。
3．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；含绝对值不等式的解法
【解析】【解答】解不等式 ，可得 ；解不等式 ，可得 .
因为， ，因此，“ ”是“ ”的充分而不必要条件.
故答案为：A.
【分析】首先由绝对值不等式以及一元二次不等式的解法求出条件和结论的不等式的解集，然后由充分和必要条件的定义即可得出答案。
4．【答案】D
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：因为扇形的半径为1，圆心角为，
所以扇形的面积为.
故答案为：D.
【分析】本题考查扇形的面积公式.利用扇形的面积公式即可得解.
5．【答案】C
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】函数 ，是增函数且为连续函数，
又 （2） ，
f（3） ，
可得
所以函数 包含零点的区间是 ．
故答案为：C．
【分析】判断函数的单调性，以及 （2）， （3）函数值的符号，利用零点存在性定理判断即可．
6．【答案】D
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：因为，所以，
因为角的终边上有一点的坐标是，
所以.
故答案为：D.
【分析】本题考查任意角三角函数的定义.利用三角函数的定义即可得解.
7．【答案】A
【知识点】指数函数的图象与性质；利用对数函数的单调性比较大小；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由题意，得，
，即，
，
所以.
故答案为：A.
【分析】本题考查利用指数函数和对数函数单调性比较大小.利用指数函数与对数函数的单调性即可得解.
8．【答案】C
【知识点】函数的值域；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：由，则，
所以的值域为.
故答案为：C.
【分析】本题考查函数值域的求法.令，通过配方可得，根据二次函数的性质可求出t的取值范围，再集合指数函数的单调性可求出函数的值域.
9．【答案】B
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：因为函数和都是上的奇函数，所以，，
，
则，.
故答案为：B.
【分析】本题考查函数奇偶性的应用.利用奇函数的性质可得：，进而求出的值，表示出，在整体代入的值可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式的应用
【解析】【解答】原式
，
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合对数的运算法则和换底公式化简求值。
11．【答案】B
【知识点】函数的定义域及其求法；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为，
所以，解得.
故答案为：B.
【分析】本题考查函数定义域的求法.根据根式下的被开方数大于等于0，对数的真数大于0可列出不等式组：，解不等式组可求出函数的定义域.
12．【答案】D
【知识点】函数与方程的综合运用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由函数 ，
因为，令，即，
由函数有2个零点，即和有两个交点，
在同一坐标系内画出两个函数的图形，如图所示，
结合函数的图象，要使得函数有2个零点，则，
所以实数的取值范围为.
故答案为：D.
【分析】本题考查函数与方程的综合应用，函数零点的定义先令令函数有2个零点可转化为函数和函数有两个交点，画出两个函数的图形，结合函数的图象，可求出实数的取值范围.
13．【答案】-
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】 .
故答案为 .
【分析】结合余弦函数的诱导公式计算出结果即可。
14．【答案】
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：令幂函数，且过点，则，
所以.
故答案为：.
【分析】本题考查幂函数的定义.先设幂函数，将点代入函数解析式，进而可求出的值，可求出答案.
15．【答案】
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：，，
故答案为：.
【分析】本题考查有理数指数幂的运算性质.根据指数幂的运算律可得：，将数据代入式子可求出答案.
16．【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】由 ， ，
可得 ，
则根据商数关系得 .
故答案为： .
【分析】根据题意由同角三角函数的基本关系式代入数值计算出sinx的值，然后由商数关系计算出结果即可。
17．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：，，
，
当且仅当，即时，等号成立.
所以函数的最小值为.
故答案为：.
【分析】本题考查利用基本不等式求最值.通过观察可知：，采用1的代换法， 先乘以1再将1进行替换可得：，观察可知积为定值，利用基本不等式可求出最值.
18．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；分段函数的应用
【解析】【解答】由题意知， ，
解得 ，所以 .
故答案为：
【分析】由题意结合一次函数的单调性：一次项系数大于零为增函数，一次项系数小于零为减函数；即可得到关于a的不等式组求解出a的取值范围即可。
19．【答案】（1）解：依题意可得：的两个实数根为和2，
由韦达定理得：，解得：；
（2）解：由（1）不等式，
即，解得：，
故不等式的解集是．
【知识点】一元二次不等式及其解法；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】本题考查一元二次方程与一元二次函数，一元二次不等式的关系，以及一元二次不等式的解法.
（1）根据不等式的端点为对应方程的根可得：的两个实数根为和2，利用韦达定理可列出方程组：，据此可求出答案；
（2）将代入不等式，可得不等式，利用一元二次不等式的解法可解出答案．
20．【答案】（1）解：令，．
当时，，由得，解得或．
故的定义域为．
因为函数在定义域上单调递增，
在上单调递减，在单调递增，
所以的单调递减区间为．
（2）解：因为在上单调递增，又在定义域上单调递增，
所以在上单调递增，且恒成立，
因为开口向上，对称轴为，
所以，解得，
故实数的取值范围为.
【知识点】函数的定义域及其求法；复合函数的单调性；对数函数的图象与性质
【解析】【分析】本题考查函数定义域的求法，对数函数的图象与性质，复合函数的单调性.
（1）根据对数的真数大于0可得不等式，据此可求出的定义域，采用换元法令，所以，利用二次函数的性质可判断出的单调性，又知函数在定义域上单调递增，利用复合函数的单调性可求出单调递减区间；
（2）采用换元法令，所以，根据题意函数在上单调递增，利用复合函数单调性的性质可推出在上单调递增，利用二次函数的单调性可得到不等式组，解不等式组可求出答案.
21．【答案】（1）解：由题设，即，故函数的定义域为.
（2）解：由，则，
所以，即恒成立，故.
（3）证明：令，则，
由，，，故，即，
所以函数在上单调递减.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性的判定，用定义法证明函数的单调性.
（1）根据分式的分母不为0可得：，解不等式可求出定义域；
（2）由奇函数性质有，代入解析式化简可得：，解方程可求出 实数的值 .
（3）根据函数单调性的定义：先取，通过变形可得：，通过符号法则可判断出，根据函数单调性可证明结论.
1 / 1天津市第五中学2023-2024学年高一上学期数学12月月考试卷
一、选择题（每题4分，共计48分）
1．（2020高一上·天津期末）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由题可知， ， ，
由交集的运算可得 .
故答案为：A.
【分析】根据题意由交集的定义即可得出答案。
2．（2020高一上·天津期末）命题“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【知识点】全称量词命题；命题的否定
【解析】【解答】因为命题“ ， ”是全称命题，全称命题的否定是存在命题，
所以命题“ ， ”的否定是“ ， ”
故答案为：A
【分析】利用特称命题的否定是全称命题结合题意即可得出答案。
3．（2020高一上·天津期末）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；含绝对值不等式的解法
【解析】【解答】解不等式 ，可得 ；解不等式 ，可得 .
因为， ，因此，“ ”是“ ”的充分而不必要条件.
故答案为：A.
【分析】首先由绝对值不等式以及一元二次不等式的解法求出条件和结论的不等式的解集，然后由充分和必要条件的定义即可得出答案。
4．（2023高一上·天津市月考）半径为1，圆心角为的扇形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：因为扇形的半径为1，圆心角为，
所以扇形的面积为.
故答案为：D.
【分析】本题考查扇形的面积公式.利用扇形的面积公式即可得解.
5．（2020高三上·海淀期中）已知函数 ，在下列区间中，包含 零点的区间是（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
【答案】C
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】函数 ，是增函数且为连续函数，
又 （2） ，
f（3） ，
可得
所以函数 包含零点的区间是 ．
故答案为：C．
【分析】判断函数的单调性，以及 （2）， （3）函数值的符号，利用零点存在性定理判断即可．
6．（2023高一上·天津市月考）已知角的终边上有一点的坐标是，其中，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：因为，所以，
因为角的终边上有一点的坐标是，
所以.
故答案为：D.
【分析】本题考查任意角三角函数的定义.利用三角函数的定义即可得解.
7．（2023高一上·天津市月考）已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数的图象与性质；利用对数函数的单调性比较大小；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由题意，得，
，即，
，
所以.
故答案为：A.
【分析】本题考查利用指数函数和对数函数单调性比较大小.利用指数函数与对数函数的单调性即可得解.
8．（2023高一上·天津市月考）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的值域；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：由，则，
所以的值域为.
故答案为：C.
【分析】本题考查函数值域的求法.令，通过配方可得，根据二次函数的性质可求出t的取值范围，再集合指数函数的单调性可求出函数的值域.
9．（2023高一上·天津市月考）若函数和都是上的奇函数，，若，则（ ）
A．1 B． C． D．5
【答案】B
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：因为函数和都是上的奇函数，所以，，
，
则，.
故答案为：B.
【分析】本题考查函数奇偶性的应用.利用奇函数的性质可得：，进而求出的值，表示出，在整体代入的值可求出答案.
10．（2022·天津市）化简的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式的应用
【解析】【解答】原式
，
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合对数的运算法则和换底公式化简求值。
11．（2023高一上·天津市月考）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的定义域及其求法；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为，
所以，解得.
故答案为：B.
【分析】本题考查函数定义域的求法.根据根式下的被开方数大于等于0，对数的真数大于0可列出不等式组：，解不等式组可求出函数的定义域.
12．（2023高一上·天津市月考）已知函数，，若函数有2个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数与方程的综合运用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由函数 ，
因为，令，即，
由函数有2个零点，即和有两个交点，
在同一坐标系内画出两个函数的图形，如图所示，
结合函数的图象，要使得函数有2个零点，则，
所以实数的取值范围为.
故答案为：D.
【分析】本题考查函数与方程的综合应用，函数零点的定义先令令函数有2个零点可转化为函数和函数有两个交点，画出两个函数的图形，结合函数的图象，可求出实数的取值范围.
二、填空题（每题4分，共计24分）
13．（2020高一上·天津期末） ．
【答案】-
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】 .
故答案为 .
【分析】结合余弦函数的诱导公式计算出结果即可。
14．（2023高一上·天津市月考）若幂函数的图象经过点，则的解析式为 .
【答案】
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：令幂函数，且过点，则，
所以.
故答案为：.
【分析】本题考查幂函数的定义.先设幂函数，将点代入函数解析式，进而可求出的值，可求出答案.
15．（2023高一上·天津市月考）已知，，则 ．
【答案】
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：，，
故答案为：.
【分析】本题考查有理数指数幂的运算性质.根据指数幂的运算律可得：，将数据代入式子可求出答案.
16．（2020高一上·天津期末）已知 ， ，则 ．
【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】由 ， ，
可得 ，
则根据商数关系得 .
故答案为： .
【分析】根据题意由同角三角函数的基本关系式代入数值计算出sinx的值，然后由商数关系计算出结果即可。
17．（2023高一上·天津市月考）函数的最小值为 ．
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：，，
，
当且仅当，即时，等号成立.
所以函数的最小值为.
故答案为：.
【分析】本题考查利用基本不等式求最值.通过观察可知：，采用1的代换法， 先乘以1再将1进行替换可得：，观察可知积为定值，利用基本不等式可求出最值.
18．（2020高一上·天津期末）若f(x)＝ 是定义在R上的减函数，则a的取值范围是 .
【答案】
【知识点】函数单调性的性质；分段函数的应用
【解析】【解答】由题意知， ，
解得 ，所以 .
故答案为：
【分析】由题意结合一次函数的单调性：一次项系数大于零为增函数，一次项系数小于零为减函数；即可得到关于a的不等式组求解出a的取值范围即可。
三、解答题（共计28分）
19．（2023高一上·天津市月考）若不等式的解集是，
（1）求的值；
（2）求不等式的解集.
【答案】（1）解：依题意可得：的两个实数根为和2，
由韦达定理得：，解得：；
（2）解：由（1）不等式，
即，解得：，
故不等式的解集是．
【知识点】一元二次不等式及其解法；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】本题考查一元二次方程与一元二次函数，一元二次不等式的关系，以及一元二次不等式的解法.
（1）根据不等式的端点为对应方程的根可得：的两个实数根为和2，利用韦达定理可列出方程组：，据此可求出答案；
（2）将代入不等式，可得不等式，利用一元二次不等式的解法可解出答案．
20．（2023高一上·天津市月考）已知函数
（1）当时，求的定义域和单调递减区间；
（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：令，．
当时，，由得，解得或．
故的定义域为．
因为函数在定义域上单调递增，
在上单调递减，在单调递增，
所以的单调递减区间为．
（2）解：因为在上单调递增，又在定义域上单调递增，
所以在上单调递增，且恒成立，
因为开口向上，对称轴为，
所以，解得，
故实数的取值范围为.
【知识点】函数的定义域及其求法；复合函数的单调性；对数函数的图象与性质
【解析】【分析】本题考查函数定义域的求法，对数函数的图象与性质，复合函数的单调性.
（1）根据对数的真数大于0可得不等式，据此可求出的定义域，采用换元法令，所以，利用二次函数的性质可判断出的单调性，又知函数在定义域上单调递增，利用复合函数的单调性可求出单调递减区间；
（2）采用换元法令，所以，根据题意函数在上单调递增，利用复合函数单调性的性质可推出在上单调递增，利用二次函数的单调性可得到不等式组，解不等式组可求出答案.
21．（2023高一上·天津市月考）已知函数，且函数为奇函数
（1）求函数的定义域；
（2）求实数的值
（3）用定义证明函数在上单调递减
【答案】（1）解：由题设，即，故函数的定义域为.
（2）解：由，则，
所以，即恒成立，故.
（3）证明：令，则，
由，，，故，即，
所以函数在上单调递减.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性的判定，用定义法证明函数的单调性.
（1）根据分式的分母不为0可得：，解不等式可求出定义域；
（2）由奇函数性质有，代入解析式化简可得：，解方程可求出 实数的值 .
（3）根据函数单调性的定义：先取，通过变形可得：，通过符号法则可判断出，根据函数单调性可证明结论.
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