黑龙江省双鸭山市重点中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023高一上·双鸭山月考） 设集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：根据对数函数的定义域得，又因为，所以，
故答案为：A.
【分析】本题考查集合的基本运算.先判断出集合N表示的意义为：函数的定义域，据此可求出集合N，再利用集合交集的定义可求出答案.
2．（2023高一上·双鸭山月考）已知幂函数的图像与坐标轴没有公共点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为为幂函数，
所以，即，解得或，
则或，
又因为的图像与坐标轴没有公共点，
所以，则，
故答案为：C.
【分析】本题考查幂函数的定义.已知为幂函数，可得到方程，解方程可求出的值，再根据的图像与坐标轴没有公共点，可确定函数的解析式，代值计算即可得出答案．
3．（2023高一上·双鸭山月考）已知函数的图象过点，则 （ ）
A． B． C．3 D．-3
【答案】A
【知识点】指数函数的概念与表示
【解析】【解答】解：由题意可知，
所以.
故答案为：A.
【分析】本题考查指数函数的定义.已知函数的图象过点，据此可求出的值，写出函数解析式，再计算函数值可得出答案.
4．（2023高一上·双鸭山月考）在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】任意角三角函数的定义；诱导公式
【解析】【解答】解：由诱导公式可得：
，
即，
由三角函数的定义可得
则．
故答案为：B.
【分析】本题考查三角函数诱导公式，任意角三角函数的定义.已知，根据三角函数的诱导公式可求出点P的坐标，再根据任意角三角函数的定义可得：，可求出的值，利用三角函数的诱导公式可求出答案.
5．（2023高一上·双鸭山月考）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数的图象与性质；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：由已知可得：，故
，，故
，，故
综上所述：
故答案为：A.
【分析】本题考查利用指数函数单调性和对数函数单调性比较大小.先用a，b，c和0进行比较可得：，，，再缩小范围利用b，c和1进行比较可得答案.
6．（2023高一上·黔西月考）函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，即，解得，
故函数的定义域为，定义域关于原点对称，又因为，
所以函数定义在上的奇函数，其图象关于原点对称，故排除；
当时，，即，所以，故排除A.
故答案为：D.
【分析】先求函数的定义域，再利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，排除B，C；最后根据时函数值的正负，排除A，从而得答案.
7．（2023高一上·四会月考） 血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，K为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（ ）（精确到0.1，参考数据：）
A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.9
【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：设使得血氧饱和度达到，则至少还需要（ t-1）小时.
因为 ，所以，
所以.
所以 给氧时间至少还需要0.5小时.
故答案为：B.
【分析】将已知条件代入，两边取对数，根据对数运算法则计算即可.
8．（2023高一上·双鸭山月考） 已知函数的图象经过定点，那么使得不等式在区间上有解的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数恒成立问题；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：，，解得：，；
当时，恒成立，若，则；
由得：，
，即；
令，，，即；
令，则当时，，
，又，，即实数的取值范围为.
故答案为：D.
【分析】本题考查对数函数的单调性，函数恒成立问题.因为函数的图象经过定点 可求出，据此可写出的解析式，根据对数真数大于零可确定；原不等式可转化为，根据对数函数单调性可得：，分离参数可得：，根据不等式有解可推出：，采用换元法令，问题可得转化为求解在上的最大值的问题，利用二次函数性质可求得最大值，结合可得结果.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（2023高一上·双鸭山月考） 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特引入“”和“”符号，对不等式的发展影响深远.下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
【知识点】不等关系与不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：A、，，A错误.
B、当时，由得到，B错误.
C、由基本不等式知，C正确.
D 、不等式两边加上同一个数，不等号方向不改变，D正确.
故答案为：CD.
【分析】本题考查不等式的性质以及基本不等式在求最值中的应用.A和B选项采用取特殊值法：取，，可判断出A和B选出错误；根据基本不等式可判断C选项正确；根据不等式两边加上同一个数，不等号方向不改变，可判断D正确.
10．（2023高一上·宁波期末）下列说法正确的有（ ）
A．若是锐角，则是第一象限角
B．
C．若，则为第一或第二象限角
D．若为第二象限角，则为第一或第三象限角
【答案】A,B,D
【知识点】象限角、轴线角；弧度制、角度制及其之间的换算
【解析】【解答】A选项，是锐角，即，所以是第一象限角，A选项正确.
B选项，根据弧度制的定义可知，B选项正确.
C选项，当时，，但不是象限角，C选项错误.
D选项，为第二象限角，即，
所以为第一或第三象限角，D选项正确.
故答案为：ABD
【分析】利用已知条件结合象限角的求解方法、角度与弧度的互化公式三角函数值在各象限的符号，进而找出说法正确的选项。
11．（2023高一上·双鸭山月考）关于函数的零点，下列选项说法正确的是（ ）
A．是的一个零点
B．在区间内存在零点
C．至少有2零点
D．的零点个数与的解的个数相等
【答案】B,C,D
【知识点】函数与方程的综合运用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、因为，所以是的一个零点，A错误；
B、因为，，
所以在区间内存在零点，B正确；
C、令，得，
因为方程的判别式，且不是的根，
所以有3个零点，C正确；
D、由零点的定义可知D也是正确的，D正确.
故答案为：BCD.
【分析】本题考查函数与方程的应用，函数零点的定义.通过计算，根据函数零点的定义可判断是的一个零点.通过计算可得，，根据零点存在性定理可判断函数在区间内存在零点.令，因式分解可得：，又知方程的判别式，据此可判断函数的零点个数.由函数零点的定义可判断D选项.
12．（2023高一上·双鸭山月考）有一种附中精神叫“平民本色，精英气质”.若函数满足对任意，都有，则称为“精英”函数.下列选项正确的是（ ）
A．，为“精英”函数
B．若为“精英”函数，则，其中且
C．若为“精英”函数，则且，有
D．，，则为“精英”函数
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：A、因为，
所以
，
故，故是“精英”函数，A正确；
B、因为为“精英”函数，故，即，
，故，
同理可得，……，，其中且，B正确；
C、若且，有，则单调递增，
而举例，满足，
即，为“精英”函数，但在上单调递减，C错误；
D、，，即，
则在上单调递减，
任取，，
则，
即，
变形为，
两式相加得：，
因为，所以，
则为“精英”函数，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】本题考查函数单调性的应用.根据“精英”函数的定义可得：，A选项：，据此可推断是“精英”函数；根据“精英”函数的定义计算可得：，，，……，据此可猜想：，所以B选项正确；采用特例法令，通过二次函数的单调性判断可知：在上单调递减，据此可判断C选项；，变形可得：，所以在上单调递减，通过变形化简可，则为“精英”函数，根据精英函数的定义可知判断D选项.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2023高一上·双鸭山月考）如果，为第三象限角，则 ．
【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【解答】解：由诱导公式可知，
又且为第三象限角，所以，
所以，
故答案为：.
【分析】本题考查同角三角函数的基本关系和三角函数诱导公式的应用.应用同角三角函数的基本关系：可求出的值，根三角函数的诱导公式可得，代入数据可求出答案.
14．（2023高一上·双鸭山月考）函数的定义域为 ．
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数有意义，
需且，
故且
所以且，解得：，
故函数的定义域是．
故答案为：.
【分析】本题考查函数定义域的求法.根据二次根式的被开方数大于等于0，分母不等于0，对数的真数大于0可得：且，解不等式组可求出函数的定义域.
15．（2023高一上·双鸭山月考）已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为 .
【答案】4
【知识点】幂函数的图象与性质；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：函数的图象恒过定点，所以 ，
因为，所以，
当时，的最小值为4.
故答案为：4.
【分析】本题考查利用基本不等式求最值.根据幂函数的定义可求出函数的图象恒过定点，进而得出，采用1还原法， 先乘以1再将1进行替换可得：，观察可得积为定值，使用基本不等式可求出最小值.
16．（2023高一上·双鸭山月考）已知函数，若方程有四个不同的实根，，，，则m的取值范围是 ；若满足，则的取值范围是 .
【答案】；（0，3）
【知识点】函数的图象；对数函数的图象与性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：作出函数的图象，如图所示：
方程有四个不同的实根，，，，满足，
则，
即：，所以，
，所以，根据二次函数的对称性可得：，
，
考虑函数单调递增，
，
所以时，的取值范围为.
故答案为：；.
【分析】本题考查函数图象、对数函数性质以及二次函数性质，函数与方程的综合应用.先作函数的图象，根据方程有四个不同的实根可确定，结合图像可确定取值范围，根据对数性质可推出，再根据二次函数对称性可推出，代入化为关于的一元函数，，利用二次函数的单调性可求出取值范围.
四、解答题：本题共6小题，共70分请在答题卡指定区城内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2023高一上·双鸭山月考） 计算下列各式：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】本题考查指数幂的运算，对数的运算法则.
（1）根据二次根式的运算性质：，再将代入原式运用指数幂的运算法则可求出答案.
（2）根据给定条件，将代入原式利用对数运算法则及对数性质可求出答案.
18．（2023高一上·双鸭山月考） 已知是第三象限角，且.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）解：
为第三象限角
（2）解：
【知识点】同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【分析】本题考查同角三角函数的基本关系式、诱导公式的应用，考查计算能力．
（1） 利用三角函数的诱导公式化简可得：，根据三角函数的诱导公式可得： 进而求出的值，根据同角三角函数的基本关系可得：，代入数据可求出答案.
（2）将代入（1）所化简出来的式子，又因为，利用三角函数的诱导公式化简可求出答案．
19．（2023高一上·双鸭山月考） 已知函数，其中
（1）若的最小值为，求的值；
（2）若存在，使成立，求的取值范围．
【答案】（1）解：因为，，
当时，即当时，函数取得最小值，即，解
（2）解：令，则，由可得，
令，函数在上单调递增，在上单调递减，
因为，，所以，，.
【知识点】函数恒成立问题；指数函数的图象与性质
【解析】【分析】本题考查指数函数的单调性，二次函数的单调性，函数的恒成立问题，
（1）通过配方法可将函数解析式变形为，结合可推出：，进而求出x的值，代入函数解析式可求出实数的值；
（2）采用换元法令，所以，根据可得，令，由可得出，利用二次函数的单调性可求出函数在区间上的最小值，进而求出实数的取值范围.
20．（2023高一上·双鸭山月考）已知且满足.
（1）求的值；
（2）的值.
【答案】（1）解：因为，所以或，又，所以，
即，则
（2）解：.
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】本题考查了构造齐次式求值问题，重点考查了运算能力，属中档题.
（1）解方程 ，先求出，再分子、分母同时除以进行弦化切可得：，代入数据可求出答案；
（2）将除以1，再将1替换为：，分子、分母同时除以进行弦化切可得：，再结合可求出答案.
21．（2023高一上·双鸭山月考） 已知函数
（1）若时，求该函数的值域；
（2）若对恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）解：由题知，，，令，
，，，故函数的值域为.
（2）解：同（1）令，，即恒成立，， ，易知其在上单调递增，，，的取值范围为
【知识点】函数的最大（小）值；函数恒成立问题
【解析】【分析】本题考查二次函数的性质，函数的最值的求法，函数的恒成立问题.
（1）采用换元法，令得，，利用二次函数的单调性可求出函数的值域；
（2）采用换元法，令可得：，分离参数可得：恒成立，即，令，判断函数的单调性可求出最值，进而求出答案.
22．（2020高三上·淮安月考）已知函数 是定义在R上的奇函数.
（1）求a的值；
（2）判断并证明函数 的单调性，并利用结论解不等式： ；
（3）是否存在实数k，使得函数 在区间 上的取值范围是 ？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解： 是定义在R上的奇函数，
，从而得出 ，
时， ，
（2）解： 是R上的增函数，证明如下：
设任意 ， 且 ，
，
， ， ， ，
，
是在 上是单调增函数.
，
又 是定义在R上的奇函数且在 上单调递增，
，
，
（3）解：假设存在实数k，使之满足题意，
由（2）可得函数 在 上单调递增，
，
，n为方程 的两个根，即方程 有两个不等的实根，
令 ，即方程 有两个不等的正根，
于是有 且 且 ，
解得： .
存在实数k，使得函数 在 上的取值范围是 ，并且实数k的取值范围是
【知识点】函数单调性的判断与证明；奇函数与偶函数的性质；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质，求出a的值，再利用奇函数的定义进行验证即可；（2）运用函数单调性的定义，结合指数函数的单调性进行判断函数 的单调性，最后根据单调性的性质，通过解一元二次不等式进行求解即可；（3）根据（2），通过函数的单调性的性质，结合换元法，一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.
1 / 1黑龙江省双鸭山市重点中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023高一上·双鸭山月考） 设集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023高一上·双鸭山月考）已知幂函数的图像与坐标轴没有公共点，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023高一上·双鸭山月考）已知函数的图象过点，则 （ ）
A． B． C．3 D．-3
4．（2023高一上·双鸭山月考）在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023高一上·双鸭山月考）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2023高一上·黔西月考）函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023高一上·四会月考） 血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，K为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（ ）（精确到0.1，参考数据：）
A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.9
8．（2023高一上·双鸭山月考） 已知函数的图象经过定点，那么使得不等式在区间上有解的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（2023高一上·双鸭山月考） 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特引入“”和“”符号，对不等式的发展影响深远.下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
10．（2023高一上·宁波期末）下列说法正确的有（ ）
A．若是锐角，则是第一象限角
B．
C．若，则为第一或第二象限角
D．若为第二象限角，则为第一或第三象限角
11．（2023高一上·双鸭山月考）关于函数的零点，下列选项说法正确的是（ ）
A．是的一个零点
B．在区间内存在零点
C．至少有2零点
D．的零点个数与的解的个数相等
12．（2023高一上·双鸭山月考）有一种附中精神叫“平民本色，精英气质”.若函数满足对任意，都有，则称为“精英”函数.下列选项正确的是（ ）
A．，为“精英”函数
B．若为“精英”函数，则，其中且
C．若为“精英”函数，则且，有
D．，，则为“精英”函数
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2023高一上·双鸭山月考）如果，为第三象限角，则 ．
14．（2023高一上·双鸭山月考）函数的定义域为 ．
15．（2023高一上·双鸭山月考）已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为 .
16．（2023高一上·双鸭山月考）已知函数，若方程有四个不同的实根，，，，则m的取值范围是 ；若满足，则的取值范围是 .
四、解答题：本题共6小题，共70分请在答题卡指定区城内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2023高一上·双鸭山月考） 计算下列各式：
（1）
（2）
18．（2023高一上·双鸭山月考） 已知是第三象限角，且.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
19．（2023高一上·双鸭山月考） 已知函数，其中
（1）若的最小值为，求的值；
（2）若存在，使成立，求的取值范围．
20．（2023高一上·双鸭山月考）已知且满足.
（1）求的值；
（2）的值.
21．（2023高一上·双鸭山月考） 已知函数
（1）若时，求该函数的值域；
（2）若对恒成立，求的取值范围.
22．（2020高三上·淮安月考）已知函数 是定义在R上的奇函数.
（1）求a的值；
（2）判断并证明函数 的单调性，并利用结论解不等式： ；
（3）是否存在实数k，使得函数 在区间 上的取值范围是 ？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：根据对数函数的定义域得，又因为，所以，
故答案为：A.
【分析】本题考查集合的基本运算.先判断出集合N表示的意义为：函数的定义域，据此可求出集合N，再利用集合交集的定义可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为为幂函数，
所以，即，解得或，
则或，
又因为的图像与坐标轴没有公共点，
所以，则，
故答案为：C.
【分析】本题考查幂函数的定义.已知为幂函数，可得到方程，解方程可求出的值，再根据的图像与坐标轴没有公共点，可确定函数的解析式，代值计算即可得出答案．
3．【答案】A
【知识点】指数函数的概念与表示
【解析】【解答】解：由题意可知，
所以.
故答案为：A.
【分析】本题考查指数函数的定义.已知函数的图象过点，据此可求出的值，写出函数解析式，再计算函数值可得出答案.
4．【答案】B
【知识点】任意角三角函数的定义；诱导公式
【解析】【解答】解：由诱导公式可得：
，
即，
由三角函数的定义可得
则．
故答案为：B.
【分析】本题考查三角函数诱导公式，任意角三角函数的定义.已知，根据三角函数的诱导公式可求出点P的坐标，再根据任意角三角函数的定义可得：，可求出的值，利用三角函数的诱导公式可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】指数函数的图象与性质；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：由已知可得：，故
，，故
，，故
综上所述：
故答案为：A.
【分析】本题考查利用指数函数单调性和对数函数单调性比较大小.先用a，b，c和0进行比较可得：，，，再缩小范围利用b，c和1进行比较可得答案.
6．【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，即，解得，
故函数的定义域为，定义域关于原点对称，又因为，
所以函数定义在上的奇函数，其图象关于原点对称，故排除；
当时，，即，所以，故排除A.
故答案为：D.
【分析】先求函数的定义域，再利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，排除B，C；最后根据时函数值的正负，排除A，从而得答案.
7．【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：设使得血氧饱和度达到，则至少还需要（ t-1）小时.
因为 ，所以，
所以.
所以 给氧时间至少还需要0.5小时.
故答案为：B.
【分析】将已知条件代入，两边取对数，根据对数运算法则计算即可.
8．【答案】D
【知识点】函数恒成立问题；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：，，解得：，；
当时，恒成立，若，则；
由得：，
，即；
令，，，即；
令，则当时，，
，又，，即实数的取值范围为.
故答案为：D.
【分析】本题考查对数函数的单调性，函数恒成立问题.因为函数的图象经过定点 可求出，据此可写出的解析式，根据对数真数大于零可确定；原不等式可转化为，根据对数函数单调性可得：，分离参数可得：，根据不等式有解可推出：，采用换元法令，问题可得转化为求解在上的最大值的问题，利用二次函数性质可求得最大值，结合可得结果.
【知识点】不等关系与不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：A、，，A错误.
B、当时，由得到，B错误.
C、由基本不等式知，C正确.
D 、不等式两边加上同一个数，不等号方向不改变，D正确.
故答案为：CD.
【分析】本题考查不等式的性质以及基本不等式在求最值中的应用.A和B选项采用取特殊值法：取，，可判断出A和B选出错误；根据基本不等式可判断C选项正确；根据不等式两边加上同一个数，不等号方向不改变，可判断D正确.
10．【答案】A,B,D
【知识点】象限角、轴线角；弧度制、角度制及其之间的换算
【解析】【解答】A选项，是锐角，即，所以是第一象限角，A选项正确.
B选项，根据弧度制的定义可知，B选项正确.
C选项，当时，，但不是象限角，C选项错误.
D选项，为第二象限角，即，
所以为第一或第三象限角，D选项正确.
故答案为：ABD
【分析】利用已知条件结合象限角的求解方法、角度与弧度的互化公式三角函数值在各象限的符号，进而找出说法正确的选项。
【知识点】函数与方程的综合运用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、因为，所以是的一个零点，A错误；
B、因为，，
所以在区间内存在零点，B正确；
C、令，得，
因为方程的判别式，且不是的根，
所以有3个零点，C正确；
D、由零点的定义可知D也是正确的，D正确.
故答案为：BCD.
【分析】本题考查函数与方程的应用，函数零点的定义.通过计算，根据函数零点的定义可判断是的一个零点.通过计算可得，，根据零点存在性定理可判断函数在区间内存在零点.令，因式分解可得：，又知方程的判别式，据此可判断函数的零点个数.由函数零点的定义可判断D选项.
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：A、因为，
所以
，
故，故是“精英”函数，A正确；
B、因为为“精英”函数，故，即，
，故，
同理可得，……，，其中且，B正确；
C、若且，有，则单调递增，
而举例，满足，
即，为“精英”函数，但在上单调递减，C错误；
D、，，即，
则在上单调递减，
任取，，
则，
即，
变形为，
两式相加得：，
因为，所以，
则为“精英”函数，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】本题考查函数单调性的应用.根据“精英”函数的定义可得：，A选项：，据此可推断是“精英”函数；根据“精英”函数的定义计算可得：，，，……，据此可猜想：，所以B选项正确；采用特例法令，通过二次函数的单调性判断可知：在上单调递减，据此可判断C选项；，变形可得：，所以在上单调递减，通过变形化简可，则为“精英”函数，根据精英函数的定义可知判断D选项.
13．【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【解答】解：由诱导公式可知，
又且为第三象限角，所以，
所以，
故答案为：.
【分析】本题考查同角三角函数的基本关系和三角函数诱导公式的应用.应用同角三角函数的基本关系：可求出的值，根三角函数的诱导公式可得，代入数据可求出答案.
14．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数有意义，
需且，
故且
所以且，解得：，
故函数的定义域是．
故答案为：.
【分析】本题考查函数定义域的求法.根据二次根式的被开方数大于等于0，分母不等于0，对数的真数大于0可得：且，解不等式组可求出函数的定义域.
15．【答案】4
【知识点】幂函数的图象与性质；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：函数的图象恒过定点，所以 ，
因为，所以，
当时，的最小值为4.
故答案为：4.
【分析】本题考查利用基本不等式求最值.根据幂函数的定义可求出函数的图象恒过定点，进而得出，采用1还原法， 先乘以1再将1进行替换可得：，观察可得积为定值，使用基本不等式可求出最小值.
16．【答案】；（0，3）
【知识点】函数的图象；对数函数的图象与性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：作出函数的图象，如图所示：
方程有四个不同的实根，，，，满足，
则，
即：，所以，
，所以，根据二次函数的对称性可得：，
，
考虑函数单调递增，
，
所以时，的取值范围为.
故答案为：；.
【分析】本题考查函数图象、对数函数性质以及二次函数性质，函数与方程的综合应用.先作函数的图象，根据方程有四个不同的实根可确定，结合图像可确定取值范围，根据对数性质可推出，再根据二次函数对称性可推出，代入化为关于的一元函数，，利用二次函数的单调性可求出取值范围.
17．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】本题考查指数幂的运算，对数的运算法则.
（1）根据二次根式的运算性质：，再将代入原式运用指数幂的运算法则可求出答案.
（2）根据给定条件，将代入原式利用对数运算法则及对数性质可求出答案.
18．【答案】（1）解：
为第三象限角
（2）解：
【知识点】同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【分析】本题考查同角三角函数的基本关系式、诱导公式的应用，考查计算能力．
（1） 利用三角函数的诱导公式化简可得：，根据三角函数的诱导公式可得： 进而求出的值，根据同角三角函数的基本关系可得：，代入数据可求出答案.
（2）将代入（1）所化简出来的式子，又因为，利用三角函数的诱导公式化简可求出答案．
19．【答案】（1）解：因为，，
当时，即当时，函数取得最小值，即，解
（2）解：令，则，由可得，
令，函数在上单调递增，在上单调递减，
因为，，所以，，.
【知识点】函数恒成立问题；指数函数的图象与性质
【解析】【分析】本题考查指数函数的单调性，二次函数的单调性，函数的恒成立问题，
（1）通过配方法可将函数解析式变形为，结合可推出：，进而求出x的值，代入函数解析式可求出实数的值；
（2）采用换元法令，所以，根据可得，令，由可得出，利用二次函数的单调性可求出函数在区间上的最小值，进而求出实数的取值范围.
20．【答案】（1）解：因为，所以或，又，所以，
即，则
（2）解：.
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】本题考查了构造齐次式求值问题，重点考查了运算能力，属中档题.
（1）解方程 ，先求出，再分子、分母同时除以进行弦化切可得：，代入数据可求出答案；
（2）将除以1，再将1替换为：，分子、分母同时除以进行弦化切可得：，再结合可求出答案.
21．【答案】（1）解：由题知，，，令，
，，，故函数的值域为.
（2）解：同（1）令，，即恒成立，， ，易知其在上单调递增，，，的取值范围为
【知识点】函数的最大（小）值；函数恒成立问题
【解析】【分析】本题考查二次函数的性质，函数的最值的求法，函数的恒成立问题.
（1）采用换元法，令得，，利用二次函数的单调性可求出函数的值域；
（2）采用换元法，令可得：，分离参数可得：恒成立，即，令，判断函数的单调性可求出最值，进而求出答案.
22．【答案】（1）解： 是定义在R上的奇函数，
，从而得出 ，
时， ，
（2）解： 是R上的增函数，证明如下：
设任意 ， 且 ，
，
， ， ， ，
，
是在 上是单调增函数.
，
又 是定义在R上的奇函数且在 上单调递增，
，
，
（3）解：假设存在实数k，使之满足题意，
由（2）可得函数 在 上单调递增，
，
，n为方程 的两个根，即方程 有两个不等的实根，
令 ，即方程 有两个不等的正根，
于是有 且 且 ，
解得： .
存在实数k，使得函数 在 上的取值范围是 ，并且实数k的取值范围是
【知识点】函数单调性的判断与证明；奇函数与偶函数的性质；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质，求出a的值，再利用奇函数的定义进行验证即可；（2）运用函数单调性的定义，结合指数函数的单调性进行判断函数 的单调性，最后根据单调性的性质，通过解一元二次不等式进行求解即可；（3）根据（2），通过函数的单调性的性质，结合换元法，一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.
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