黑龙江省哈尔滨市重点中学2023-2024学年高一上学期12月测试数学试卷
一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2023高一上·哈尔滨月考）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由，即，解得或，
所以或，又，
所以.
故答案为：B.
【分析】本题考查集合的基本运算.先解一元二次不等式可求出集合：或，再利用集合交集的定义可求出答案.
2．（2023高一上·哈尔滨月考）“方程有两个不等实数根”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】充分条件；必要条件
【解析】【解答】解：由方程有两个不等实数根可得，
解得，
观察选项可得“方程有两个不等实数根”的一个充分不必要条件是，
故答案为：C.
【分析】本题考查充分必要条件的概念.一元二次方程有两个不相等的实数根，则，可列出不等式，据此先求出的范围，再根据充分不必要条件的概念可求出答案.
3．（2023高一上·哈尔滨月考）函数的图像大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】奇偶性与单调性的综合；函数的图象；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：的定义域为R，且，
故为偶函数，排除AB，
因为，故函数在上增长速度越来越快，为下凸函数，C正确，D错误.
故答案为：C.
【分析】本题考查函数奇偶性和函数单调性的综合应用.先求出，据此可得判断出函数为偶函数，再根据幂函数的单调性可得：函数在上增长速度越来越快，为下凸函数，综合可选出答案.
4．（2023高一上·哈尔滨月考）若角330°的终边上有一点，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】任意角三角函数的定义；诱导公式
【解析】【解答】解：因为角的终边上有一点，所以，
又，所以，所以.
故答案为：A.
【分析】本题考查任意角三角函数的定义，三角函数的诱导公式.先利用任意角的三角函数的定义：，可得：，又知，利用三角函数的诱导公式可求出答案.
5．（2023高一上·哈尔滨月考）已知，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两角和与差的余弦公式；诱导公式
【解析】【解答】解：
故答案为：A.
【分析】本题考查三角函数的诱导公式，两角和与差的余弦公式.观察可知：，利用三角函数的诱导公式化简可得：原式，再由余弦两角和差公式可求出答案.
6．（2023高一上·哈尔滨月考）已知角终边过点，且，则实数（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【知识点】任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为角的终边过点，所以，
所以，解得.
故答案为：C.
【分析】本题考查任意角三角函数的定义和同角三角函数的基本关系.根据任意三角函数的定义：，可求出，再根据同角三角函数的基本关系分子和分母同时除以将弦化切可得：，代入式子可列出方程，解方程可求出m的值.
7．（2023高一上·哈尔滨月考）已知，，，，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：根据题意，的定义域为，关于原点对称，
且，所以是偶函数，
当时，单调递减，，
因为，，
所以，而在上单调递减，
故有，即.
故答案为：A.
【分析】本题考查函数的奇偶性和单调性的综合应用.先求出，可得：，所以是偶函数，根据指数函数和一次函数的单调性可知：在上单调递减，利用奇偶性可将c化为：，再将与0和1进行比较可得：，结合函数的单调性可比较出a，b，c的大小.
8．（2023高一上·哈尔滨月考）已知是定义在R上的单调函数，关于对称，若实数m，n满足等式，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的值域；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：因为关于对称，所以关于对称，即为奇函数，
因为，所以，
因为奇函数是定义在上的单调函数，所以，
所以，即，所以，
因为，所以，所以，所以，
即的取值范围是.
故答案为：C.
【分析】本题考查函数的奇偶性，函数的单调性以及二次函数的综合应用.根据关于对称可推断出函数为奇函数，再结合单调性的定义可推出：，化简可得：，从而，利用二次函数性质可求出取值范围.
二、多选题（本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的选项中，有多个符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．（2023高一上·哈尔滨月考）下列各式中值为的是（ ）
A． B．
C． D．
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；诱导公式
【解析】【解答】解：A、，A错误；
B、，B正确；
C、，C正确；
D、，D正确；
故答案为：BCD.
【分析】本题考查三角函数的诱导公式，三角函数的二倍角公式.观察可知，，利用三角函数的诱导公式可求出对应的三角函数值，利用正弦的二倍角公式和余弦的二倍角公式进行化简计算可判断BD.
10．（2023高一上·哈尔滨月考）已知，且，则下列不等式一定成立的有（ ）
A． B． C． D．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：A、因为，，且，所以，所以，A正确；
B、因为，，且，所以由基本不等式可得，则，当且仅当时，等号成立，B正确；
C、，当且仅当时，等号成立，C错误；
D、，
当且仅当即时，等号成立，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】本题考查利用基本不等式求最值.变形可得：利用求解a的范围判断A，已知，可知和为定值，利用基本不等式可直接求出ab的取值范围.应用完全平方公式的变形可得：，结合和可求出其取值范围.由变形可得：，采用1还原法先乘以1，再将1进行替换可得：，观察可知积为定值，使用基本不等式可求出最值.
11．（2023高一上·哈尔滨月考）已知下列等式的左右两边都有意义，则能够恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【知识点】同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【解答】解：A、，A正确；
B、
，B正确；
C、，C错误；
D、
，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】本题考查三角函数的诱导公式，同角三角函数的基本关系.根据诱导公式可得：，，，对式子进行化简可求出答案，根据同角三角函数平方关系化可得：，代入式子化简后可判断D选项.
12．（2023高一上·哈尔滨月考）已知函数，则关于方程根的个数判断正确的是（ ）
A．当时，方程有2个根
B．当时，方程有5个根
C．若方程有3个根，则
D．若方程有4个根，则且
【答案】A,B,D
【知识点】函数的图象；函数与方程的综合运用
【解析】【解答】解：由得
解得或，
作出的图像如下：
A、当时，，根据图像得可产生2个根，无根，A正确；
B、当时，根据图像得可产生2个根，可产生3个根，共5个根，B正确；
C、根据图像得可产生2个根，若方程有3个根，则可产生1个根，故或，即或，C错误；
D、若方程有4个根，则可产生2个根，故且，即且，D正确；
故答案为：ABD.
【分析】本题考查函数图象，函数与方程的综合应用，函数零点的定义.对式子因式分解可得：，解得：或，画出的图像，观函数的图像与的交点个数，函数的图像与函数的交点个数，可判断出对应选项.
三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．（2023高一上·哈尔滨月考）函数的定义域为 ．
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：由题设有，故，
故函数的定义域为.
故答案为：.
【分析】本题考查函数定义域的求法.根据对数的真数大于0，根式下的被开放数大于等于0，可列出不等式组，解不等式组可求出函数的定义域.
14．（2023高一上·哈尔滨月考）已知扇形的半径为3，圆心角的弧度数是2，则扇形的面积与周长的比值为 ．
【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：因为扇形的半径为3，圆心角的弧度数是2，所以扇形的面积为，
又扇形的弧长为，所以扇形的周长为，
所以扇形的面积与周长的比值为.
故答案为：.
【分析】本题考查扇形的弧长和面积公式.根据扇形弧长公式及面积公式可求出扇形的面积公式和弧长公式，代入比例式可求出答案.
15．（2023高一上·哈尔滨月考）函数在区间上的值域为 ．
【答案】
【知识点】函数的值域；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：函数由和复合而成，
当时，，所以，所以，
即函数在区间上的值域为.
故答案为：.
【分析】本题考查函数值域的求法.采用换元法先令又知可求出的取值范围，再根据指数函数的单调性可求出函数的值域.
16．（2023高一上·哈尔滨月考）定义在R上的函数满足（1）在上单调递减；（2）（3）．则不等式的解集为 ．
【答案】
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：因为，所以函数关于对称，
又在上单调递减，且，作出函数的示意图如图：.
令，则不等式等价于，
则或，即或，解得，
即，所以，
即不等式的解集为.
故答案为：.
【分析】本题考查函数单调性的应用.已知，据此可推断出函数关于对称，再结合函数的另外两条性质可作出函数的图像，采用换元法令，原不等式可转化为：.，根据符号法则可转化为：或，结合函数图象解出不等式组的解集.
四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2023高一上·哈尔滨月考）
（1）已知，求的值；
（2）计算的值．
【答案】（1）因为，所以，
所以
（2）解：原式．
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】本题考查指数幂的运算性质，对数的运算法则.
（1）通过，变形可得：，再结合对数恒等式，利用对数运算法则和换底公式可求出答案；
（2）观察可得： ， ， 利用指数及对数运算法则、诱导公式和特殊角的三角函数值，以及二次根式的性质：，化简后可求出答案.
18．（2023高一上·哈尔滨月考）已知且为第三象限角．
（1）求；
（2）求的值．
【答案】（1）解：由题意得，，∴（舍）
（2）解：原式
【知识点】二倍角的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】本题考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式.
（1）根据题意变形可得出方程，解方程求出的值，再代入二倍角正切公式可求出答案；
（2）先使用三角函数诱导公式进行化简，再除以1，将1替换为：，分子分母同时除以化弦为切，代入数据可求出答案.
19．（2023高一上·哈尔滨月考）已知，，，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）解：∵，∴，
又，，
∴，
∴
.
（2）解：
∵，，
∴，，，
∴，
∴
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】本题考查同角三角函数的基本关系，三角函数的诱导公式，两角和与差的正弦，余弦公式.
（1）首先根据确定的取值范围，再根据同角三角函数的平方关系可求出的值，观察可知，利用三角函数的诱导公式进行化简后可求出的值；
（2）根据同角三角函数的平方关系可求出的值，观察可得，利用两角和的余弦公式进行展开，代入数据可求出的值.
20．（2023高一上·哈尔滨月考）已知关于x的方程的两个根为和，
（1）求的值；
（2）求m的值．
【答案】（1）解：∵，是方程的两个实根∴，
（2）解：∵，
∴，∴
∵，∴，∴符合
∴
【知识点】二次函数与一元二次不等式的对应关系；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】本题考查同角三角函数的基本关系，一元二次方程与二次函数的关系.
（1）先试用韦达定理可推出，，再对原式化切为弦，代入数据可求出式子的值；
（2）根据，将，代入上式，可得出m的方程，解方程可求出答案.
21．（2023高一上·哈尔滨月考）设函数是定义域为R的奇函数，．
（1）求实数k的值并直接写出函数的单调性；
（2）在（1）的条件下，使得不等式有解，求实数t的取值范围．
【答案】（1）解：∵为奇函数，∴
当时，
∴为奇函数
有即
∴在定义域上为增函数
（2）解：由题意可知有解
∵为增函数，∴有解有解
∵∴令∴有解
令，∴
∵在上递增，∴∴
【知识点】函数的最大（小）值；奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】本题考查函数奇偶性，函数的单调性，函数最值的应用.
（1）已知函数为奇函数，根据奇函数的性质可得，可求出，再由条件可推断出，结合指数函数的单调性可判断函数的单调性；
（2）根据题意，由函数的单调性以及奇偶性化简可得有解，分离参数可转化为有解，采用换元法令，原问题可转化为有解，利用二次函数的的性质求出最值，即可求出实数t的取值范围.
22．（2023高一上·哈尔滨月考）已知函数过原点且．
（1）求k值并证明为偶函数；
（2）若方程有且只有一个解，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：解由题意可知
（2）解：
∴令∴方程仅有一个正根
当时，与题意不符；当时，方程恒有一个正根一个负根符合题意；
当时，
若方程有两个不等正根与题意不符，若或
当时，两根均为负；当时两根均为满足题意
综上或
【知识点】函数的奇偶性；函数与方程的综合运用
【解析】【分析】本题考查函数奇偶性的应用，函数与方程的综合应用.
（1）因为函数经过原点，故，可先求出k的值，进而写出函数 的解析式， 先求出，利用偶函数定义可证明结论；
（2）采用换元法令，把问题转化为方程仅有一个正根，对a进行分类讨论：当时，当时，当时，分别讨论一元二次方程根的分布可求出实数a的取值范围.
1 / 1黑龙江省哈尔滨市重点中学2023-2024学年高一上学期12月测试数学试卷
一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2023高一上·哈尔滨月考）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023高一上·哈尔滨月考）“方程有两个不等实数根”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023高一上·哈尔滨月考）函数的图像大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023高一上·哈尔滨月考）若角330°的终边上有一点，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023高一上·哈尔滨月考）已知，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023高一上·哈尔滨月考）已知角终边过点，且，则实数（ ）
A．2 B． C．3 D．
7．（2023高一上·哈尔滨月考）已知，，，，则有（ ）
A． B． C． D．
8．（2023高一上·哈尔滨月考）已知是定义在R上的单调函数，关于对称，若实数m，n满足等式，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的选项中，有多个符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．（2023高一上·哈尔滨月考）下列各式中值为的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023高一上·哈尔滨月考）已知，且，则下列不等式一定成立的有（ ）
A． B． C． D．
11．（2023高一上·哈尔滨月考）已知下列等式的左右两边都有意义，则能够恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2023高一上·哈尔滨月考）已知函数，则关于方程根的个数判断正确的是（ ）
A．当时，方程有2个根
B．当时，方程有5个根
C．若方程有3个根，则
D．若方程有4个根，则且
三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．（2023高一上·哈尔滨月考）函数的定义域为 ．
14．（2023高一上·哈尔滨月考）已知扇形的半径为3，圆心角的弧度数是2，则扇形的面积与周长的比值为 ．
15．（2023高一上·哈尔滨月考）函数在区间上的值域为 ．
16．（2023高一上·哈尔滨月考）定义在R上的函数满足（1）在上单调递减；（2）（3）．则不等式的解集为 ．
四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2023高一上·哈尔滨月考）
（1）已知，求的值；
（2）计算的值．
18．（2023高一上·哈尔滨月考）已知且为第三象限角．
（1）求；
（2）求的值．
19．（2023高一上·哈尔滨月考）已知，，，．
（1）求的值；
（2）求的值．
20．（2023高一上·哈尔滨月考）已知关于x的方程的两个根为和，
（1）求的值；
（2）求m的值．
21．（2023高一上·哈尔滨月考）设函数是定义域为R的奇函数，．
（1）求实数k的值并直接写出函数的单调性；
（2）在（1）的条件下，使得不等式有解，求实数t的取值范围．
22．（2023高一上·哈尔滨月考）已知函数过原点且．
（1）求k值并证明为偶函数；
（2）若方程有且只有一个解，求实数a的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由，即，解得或，
所以或，又，
所以.
故答案为：B.
【分析】本题考查集合的基本运算.先解一元二次不等式可求出集合：或，再利用集合交集的定义可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】充分条件；必要条件
【解析】【解答】解：由方程有两个不等实数根可得，
解得，
观察选项可得“方程有两个不等实数根”的一个充分不必要条件是，
故答案为：C.
【分析】本题考查充分必要条件的概念.一元二次方程有两个不相等的实数根，则，可列出不等式，据此先求出的范围，再根据充分不必要条件的概念可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】奇偶性与单调性的综合；函数的图象；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：的定义域为R，且，
故为偶函数，排除AB，
因为，故函数在上增长速度越来越快，为下凸函数，C正确，D错误.
故答案为：C.
【分析】本题考查函数奇偶性和函数单调性的综合应用.先求出，据此可得判断出函数为偶函数，再根据幂函数的单调性可得：函数在上增长速度越来越快，为下凸函数，综合可选出答案.
4．【答案】A
【知识点】任意角三角函数的定义；诱导公式
【解析】【解答】解：因为角的终边上有一点，所以，
又，所以，所以.
故答案为：A.
【分析】本题考查任意角三角函数的定义，三角函数的诱导公式.先利用任意角的三角函数的定义：，可得：，又知，利用三角函数的诱导公式可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】两角和与差的余弦公式；诱导公式
【解析】【解答】解：
故答案为：A.
【分析】本题考查三角函数的诱导公式，两角和与差的余弦公式.观察可知：，利用三角函数的诱导公式化简可得：原式，再由余弦两角和差公式可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为角的终边过点，所以，
所以，解得.
故答案为：C.
【分析】本题考查任意角三角函数的定义和同角三角函数的基本关系.根据任意三角函数的定义：，可求出，再根据同角三角函数的基本关系分子和分母同时除以将弦化切可得：，代入式子可列出方程，解方程可求出m的值.
7．【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：根据题意，的定义域为，关于原点对称，
且，所以是偶函数，
当时，单调递减，，
因为，，
所以，而在上单调递减，
故有，即.
故答案为：A.
【分析】本题考查函数的奇偶性和单调性的综合应用.先求出，可得：，所以是偶函数，根据指数函数和一次函数的单调性可知：在上单调递减，利用奇偶性可将c化为：，再将与0和1进行比较可得：，结合函数的单调性可比较出a，b，c的大小.
8．【答案】C
【知识点】函数的值域；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：因为关于对称，所以关于对称，即为奇函数，
因为，所以，
因为奇函数是定义在上的单调函数，所以，
所以，即，所以，
因为，所以，所以，所以，
即的取值范围是.
故答案为：C.
【分析】本题考查函数的奇偶性，函数的单调性以及二次函数的综合应用.根据关于对称可推断出函数为奇函数，再结合单调性的定义可推出：，化简可得：，从而，利用二次函数性质可求出取值范围.
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；诱导公式
【解析】【解答】解：A、，A错误；
B、，B正确；
C、，C正确；
D、，D正确；
故答案为：BCD.
【分析】本题考查三角函数的诱导公式，三角函数的二倍角公式.观察可知，，利用三角函数的诱导公式可求出对应的三角函数值，利用正弦的二倍角公式和余弦的二倍角公式进行化简计算可判断BD.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：A、因为，，且，所以，所以，A正确；
B、因为，，且，所以由基本不等式可得，则，当且仅当时，等号成立，B正确；
C、，当且仅当时，等号成立，C错误；
D、，
当且仅当即时，等号成立，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】本题考查利用基本不等式求最值.变形可得：利用求解a的范围判断A，已知，可知和为定值，利用基本不等式可直接求出ab的取值范围.应用完全平方公式的变形可得：，结合和可求出其取值范围.由变形可得：，采用1还原法先乘以1，再将1进行替换可得：，观察可知积为定值，使用基本不等式可求出最值.
【知识点】同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【解答】解：A、，A正确；
B、
，B正确；
C、，C错误；
D、
，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】本题考查三角函数的诱导公式，同角三角函数的基本关系.根据诱导公式可得：，，，对式子进行化简可求出答案，根据同角三角函数平方关系化可得：，代入式子化简后可判断D选项.
【知识点】函数的图象；函数与方程的综合运用
【解析】【解答】解：由得
解得或，
作出的图像如下：
A、当时，，根据图像得可产生2个根，无根，A正确；
B、当时，根据图像得可产生2个根，可产生3个根，共5个根，B正确；
C、根据图像得可产生2个根，若方程有3个根，则可产生1个根，故或，即或，C错误；
D、若方程有4个根，则可产生2个根，故且，即且，D正确；
故答案为：ABD.
【分析】本题考查函数图象，函数与方程的综合应用，函数零点的定义.对式子因式分解可得：，解得：或，画出的图像，观函数的图像与的交点个数，函数的图像与函数的交点个数，可判断出对应选项.
13．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：由题设有，故，
故函数的定义域为.
故答案为：.
【分析】本题考查函数定义域的求法.根据对数的真数大于0，根式下的被开放数大于等于0，可列出不等式组，解不等式组可求出函数的定义域.
14．【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：因为扇形的半径为3，圆心角的弧度数是2，所以扇形的面积为，
又扇形的弧长为，所以扇形的周长为，
所以扇形的面积与周长的比值为.
故答案为：.
【分析】本题考查扇形的弧长和面积公式.根据扇形弧长公式及面积公式可求出扇形的面积公式和弧长公式，代入比例式可求出答案.
15．【答案】
【知识点】函数的值域；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：函数由和复合而成，
当时，，所以，所以，
即函数在区间上的值域为.
故答案为：.
【分析】本题考查函数值域的求法.采用换元法先令又知可求出的取值范围，再根据指数函数的单调性可求出函数的值域.
16．【答案】
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：因为，所以函数关于对称，
又在上单调递减，且，作出函数的示意图如图：.
令，则不等式等价于，
则或，即或，解得，
即，所以，
即不等式的解集为.
故答案为：.
【分析】本题考查函数单调性的应用.已知，据此可推断出函数关于对称，再结合函数的另外两条性质可作出函数的图像，采用换元法令，原不等式可转化为：.，根据符号法则可转化为：或，结合函数图象解出不等式组的解集.
17．【答案】（1）因为，所以，
所以
（2）解：原式．
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】本题考查指数幂的运算性质，对数的运算法则.
（1）通过，变形可得：，再结合对数恒等式，利用对数运算法则和换底公式可求出答案；
（2）观察可得： ， ， 利用指数及对数运算法则、诱导公式和特殊角的三角函数值，以及二次根式的性质：，化简后可求出答案.
18．【答案】（1）解：由题意得，，∴（舍）
（2）解：原式
【知识点】二倍角的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】本题考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式.
（1）根据题意变形可得出方程，解方程求出的值，再代入二倍角正切公式可求出答案；
（2）先使用三角函数诱导公式进行化简，再除以1，将1替换为：，分子分母同时除以化弦为切，代入数据可求出答案.
19．【答案】（1）解：∵，∴，
又，，
∴，
∴
.
（2）解：
∵，，
∴，，，
∴，
∴
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】本题考查同角三角函数的基本关系，三角函数的诱导公式，两角和与差的正弦，余弦公式.
（1）首先根据确定的取值范围，再根据同角三角函数的平方关系可求出的值，观察可知，利用三角函数的诱导公式进行化简后可求出的值；
（2）根据同角三角函数的平方关系可求出的值，观察可得，利用两角和的余弦公式进行展开，代入数据可求出的值.
20．【答案】（1）解：∵，是方程的两个实根∴，
（2）解：∵，
∴，∴
∵，∴，∴符合
∴
【知识点】二次函数与一元二次不等式的对应关系；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】本题考查同角三角函数的基本关系，一元二次方程与二次函数的关系.
（1）先试用韦达定理可推出，，再对原式化切为弦，代入数据可求出式子的值；
（2）根据，将，代入上式，可得出m的方程，解方程可求出答案.
21．【答案】（1）解：∵为奇函数，∴
当时，
∴为奇函数
有即
∴在定义域上为增函数
（2）解：由题意可知有解
∵为增函数，∴有解有解
∵∴令∴有解
令，∴
∵在上递增，∴∴
【知识点】函数的最大（小）值；奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】本题考查函数奇偶性，函数的单调性，函数最值的应用.
（1）已知函数为奇函数，根据奇函数的性质可得，可求出，再由条件可推断出，结合指数函数的单调性可判断函数的单调性；
（2）根据题意，由函数的单调性以及奇偶性化简可得有解，分离参数可转化为有解，采用换元法令，原问题可转化为有解，利用二次函数的的性质求出最值，即可求出实数t的取值范围.
22．【答案】（1）解：解由题意可知
（2）解：
∴令∴方程仅有一个正根
当时，与题意不符；当时，方程恒有一个正根一个负根符合题意；
当时，
若方程有两个不等正根与题意不符，若或
当时，两根均为负；当时两根均为满足题意
综上或
【知识点】函数的奇偶性；函数与方程的综合运用
【解析】【分析】本题考查函数奇偶性的应用，函数与方程的综合应用.
（1）因为函数经过原点，故，可先求出k的值，进而写出函数 的解析式， 先求出，利用偶函数定义可证明结论；
（2）采用换元法令，把问题转化为方程仅有一个正根，对a进行分类讨论：当时，当时，当时，分别讨论一元二次方程根的分布可求出实数a的取值范围.
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