贵州省毕节市金沙县2023-2024学年高一上学期期末质量监测数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2024高一上·金沙期末）已知集合，，则的真子集的个数为（ ）
A．8 B．7 C．4 D．3
2．（2024高一上·金沙期末）命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（2024高一上·金沙期末）设，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024高一上·金沙期末）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024高一上·金沙期末）张遂（僧一行，公元年），中国唐代著名的天文学家.他发明了一种内插法近似计算原理，广泛应用于现代建设工程费用估算.近似计算公式如下：，其中为计费额的区间，，为对应于的收费基价，为该区间内的插入值，为对应于的收费基价.如下表所示.则的值估计为（ ）
计费额x（单位：万元） 500 700 1000
收费基价（单位：万元） 16.5 m 30.1
A．18.53 B．19.22 C．21.94 D．28.22
6．（2024高一上·金沙期末）若，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一上·金沙期末）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高一上·金沙期末）若函数若有4个不同实根，设4个不同实根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．（2024高一上·金沙期末）已知幂函数在上单调递减，若在上不单调，则实数的可能取值为（ ）
A． B．0 C．1 D．3
10．（2024高一上·金沙期末）对于下列四种说法，其中正确的是（ ）
A．的最小值为4 B．的最小值为1
C．的最小值为4 D．最小值为
11．（2024高一上·金沙期末）已知函数的定义域为，若关于对称，为奇函数，则（ ）
A．是奇函数
B．的图象关于点对称.
C．
D．若在上单调递减，则在上单调递增
12．（2024高一上·金沙期末）将函数的图象沿轴向右平移个单位长度（纵坐标不变），得到的函数满足，则下列正确的选项为（ ）
A．的周期为
B．
C．在上单调递增
D．为的一个对称轴
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（2024高一上·金沙期末）函数的图象恒过定点的坐标为 .
14．（2024高一上·金沙期末）已知角终边上一点坐标，则 .
15．（2024高一上·金沙期末）已知函数的定义域和值域都是，则 .
16．（2024高一上·金沙期末）已知函数，若，则的最大值为 .
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2024高一上·金沙期末）已知二次函数满足，且，.
（1）求函数的解析式；
（2）若，比较与的大小.
18．（2024高一上·金沙期末）对任意，函数满足 ▲ ，且当时，.
在以下两个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答此题.
①，.
②，.对，.
注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.
（1）证明：在上是增函数；
（2）求不等式的解集.
19．（2024高一上·金沙期末）已知函数.
（1）求的最小正周期和图象的对称轴方程；
（2）当时，的最小值和最大值之和为，求的值．
20．（2024高一上·金沙期末）已知函数.
（1）设，若，试判断是否有最小值，若有，求出最小值；若没有，说明理由；
（2）若，使成立，求实数的取值范围．
21．（2024高一上·金沙期末）已知某种设备年固定研发成本为40万元，每生产一台需另投入60元.设某公司一年内生产该设备万台且全部售完，每万台的销售收入为（万元）.已知当年产量小于或等于10万台时，；当年产量超过10万台时，.
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式；
（2）试分析该公司年利润是否能达到2000万元？若能，求出年产量为多少；若不能，说明理由.（注：利润=销售收入-成本）
22．（2024高一上·金沙期末）已知函数.
（1）解不等式；
（2）若对于，恒成立，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】子集与真子集；并集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】解：，
，，
∴，它是真子集有7个．
故选：B．
【分析】本题考查补集的概念，集合交集运算.先解一元二次不等式可得：，进而得出，根据补集的概念可得，根据集合交集运算可得：，据此可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：根据全称命题与存在性命题的关系可得，
命题：“，”的否定是“，”.
故选：D.
【分析】本题考查全称量词和存在量词命题的否否.全称量词和存在量词命题的否否：先改量词，再否定结论，进而可得.
3．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：由不等式，可得，解得，
又由不等式，即，可得，解得，
因为集合是集合的真子集，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：B.
【分析】本题考查指数函数与对数函数的单调性，充分条件和必要条件的判定.利用对数函数的单调性解不等式可得：；利用指数函数的单调性可解不等式可得；集合是集合的真子集，根据充分条件、必要条件的判定方法可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：由函数可得函数的定义域为，
由可知函数为奇函数，
其图象关于坐标原点对称，故舍去B，D两项；
又由可得C项不合题意，故A项正确.
故选：A.
【分析】本题考查函数图象.先可求出函数的定义域为，再求，根据可判断函数为奇函数，选项B和D为偶函数，B和D排除.再求的函数值：，选项C不符合，故排除.通过排除法可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】“直线上升”模型
【解析】【解答】解：结合题意：，其中，
.
故选：C.
【分析】本题考查函数模型的应用.根据题意可得：，其中，将以上数据代入计算公式可得：，通过计算可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】二倍角的余弦公式；诱导公式
【解析】【解答】解：由，
因为，所以，
所以
.
故选：C.
【分析】本题考查二倍角的余弦公式，三角函数的诱导公式.观察式子可知：，应用三角函数的诱导公式可求出：的值.观察式子又可知：，应用三角函数的诱导公式化简可得：，再利用二倍角的余弦公式展开可，代入数据可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：由对数函数性质知，即，同理，
又，即，
，
所以，即，综上，
故选：D．
【分析】本题考查利用对数函数的单调性比较大小.先将与0和1比较，由对数函数性质知，，.对和进行作差可得：，再基本不等式可证明，进而得出：，即，综上可求出答案．
8．【答案】D
【知识点】函数与方程的综合运用
【解析】【解答】解：作出函数的图象，再作出直线，如图，
由图可得，，因此，
∴，
故选：D．
【分析】本题考查函数与方程的综合应用.先作出函数的图象，方程 根的个数可转化为：函数的图象和直线的交点个数，作出直线，根据二次函数的对称性结合图像可推出：，，将两式代入问题式子可求出答案.
9．【答案】B,C
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由幂函数，可得，即，
解得或，
当时，可得在上单调递减，符合题意；
当时，可得在上单调递增，不符合题意；
又由函数在上不单调，则满足，
即，解得，
结合选项，可得选项BC符合题意.
故选：BC.
【分析】本题考查幂函数的定义，幂函数的性质.已知是幂函数，可得方程，解方程可求出的值，再将的值反代入可判断在上单调性，可求出的值.先求出函数的对称轴，根据函数在上不单调，可列出不等式，结合的值可求出b的取值范围，结合选项可得出答案.
10．【答案】B,D
【知识点】基本不等式；对勾函数的图象与性质
【解析】【解答】解：对于A中，由，
当且仅当时，即，显然不成立，所以A错误；
对于B中，由，
当且仅当，即时，等号成立，所以B正确；
对于C中，由，令，
可得，则函数在为单调递减函数，
所以，所以C不正确；
对于D中，由，令，
可得，根据对勾函数的性质，可得在为单调递增函数，
所以，所以D正确.
故选：BD.
【分析】本题考查利用基本不等式求最值.利用基本不等式求最值的条件为：一正，二定，三相等.观察可知积为定值，可使用基本不等式求值，取等号条件可求出，不符合，故不能取到最小值；观察可知积为定值，可使用基本不等式求最值，取等号的条件可求出，符合题意，故能取到最小值；化简可得：可，采用换元法令，可得，利用对勾函数的单调性可求出的最小值；采用换元法令，可得，利用对勾函数的性质可取出的最小值.
11．【答案】A,B,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；奇偶性与单调性的综合；函数的周期性
【解析】【解答】解：A、因为为奇函数，所以，
因为关于对称，所以，
所以，则，
所以，的一个周期为8，
故，所以，
将代替为得，
即，为奇函数，A正确；
B、因为为奇函数，所以的一个对称中心为，
又的一个周期为8，故为的一个对称中心，B正确；
C、因为的一个对称中心为，
所以，
故，C错误；
D、因为在上单调递减，关于对称，
所以在上单调递增，
的一个周期为8，故在上单调递增，D正确.
故选：ABD
【分析】本题考查函数的对称性，函数的奇偶性，函数的周期性，函数的单调性.根据函数的对称性和奇偶性可推出的一个周期为8，，据此判断函数为奇函数；B选项，根据为奇函数可推出的一个对称中心为，再结合的周期，可推出为的一个对称中心；利用对称中心可推出，代入数据可判断C选项；已知在上单调递减，根据函数的对称性，再结合周期，可推出在上的单调性.
12．【答案】A,C,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：
，
A、的周期是，A正确；
B、函数满足，则的图象关于点对称，
所以，，
又，∴，B错误；
C、，
时，，C正确；
D、时，，D正确．
故选：ACD．
【分析】本题考查正弦函数的图象和性质，三角函数的图象变换.利用辅助角公式，降幂升角公式化简可得：.根据平移变换可得求出.根据周期计算公式可求出的周期；根据，可推出的图象关于点对称，利用正弦函数的对称中心公式可求出的值，进而写出函数的解析式.由的范围，可变形出：，根据正弦函数的单调性可判断 在上的单调性 ；当时，可求出为最大值，故 为的一个对称轴 .
13．【答案】
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：令，得，，∴函数图象过定点．
故答案为：．
【分析】本题考查对数函数定点问题.对数函数的定点：对数的真数为1，可得：，解得为定点的横坐标，将横坐标代入函数解析式可求出定点的纵坐标，进而求出定点.
14．【答案】
【知识点】二倍角的正切公式；任意角三角函数的定义；诱导公式
【解析】【解答】解：，
，
∴已知点坐标为，∴，
∴．
故答案为：．
【分析】本题考查三角函数的定义，三角函数的诱导公式，二倍角的正切公式.利用三角函数的诱导公式可求出点坐标为，根据三角函数的定义可求出的值：.由二倍角的正切公式进行展开，代入数据可求出答案.
15．【答案】或
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：当时，易知函数单调递减，由定义域和值域都是，
所以解得所以.
当时，易知函数单调递增，由定义域和值域都是，
所以解得所以.
故答案为：或.
【分析】 本题考查对数函数的单调性.对底数分两种情况进行讨论：当时；当时.当时，根据对数函数的单调性分析函数的单调性，再根据定义域和值域都是，可列出方程组，解方程可求出和的值，进而求出答案；
16．【答案】
【知识点】奇偶函数图象的对称性；基本不等式
【解析】【解答】解：，则，∴，
∴，
即，，又，
所以，即，当且仅当时等号成立，
故答案为：．
【分析】本题考查的对称性，利用基本不等式求最值.根据的解析式，求出，据此推出：，所以，结合题意可列出方程，解得：，和为定值，利用基本不等式可求出最大值，进而得到本题的答案.
17．【答案】（1）设二次函数.
由，得图象的对称轴为，
所以，解得.
由得，，
可得.
由得，，解得.
所以.
（2）
，
当或时，，此时.
当时，，此时.
当或4时，，此时.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；利用不等式的性质比较大小
【解析】【分析】本题考查待定系数法求函数的解析式，作差法比较大小.
（1）先设出二次函数，已知，可推出图象的对称轴为，根据二次函数对称轴公式可求得：，又因 ，. 可求出，，进而得出本题的答案.
（2）作差可得：，化简可得：，分三种情况进行类讨论：当或时；当时；当或4时；确定的符号，可判断的符号，进而得出 与的大小 .
18．【答案】（1）若选①：证明：设，且.
则，所以.
.
所以，
所以，
所以在上是增函数．
若选②：证明：设x1，x2∈，且<，
则，所以.，
又，所以>，
所以函数在上是增函数．
（2）若选①：令，则，
解得，
所以可化为，
根据单调性得，，
解得，
所以不等式的解集为.
若选②：由得，
所以可化为，
根据单调性得，，
解得，
所以不等式的解集为.
【知识点】函数的单调性及单调区间；抽象函数及其应用
【解析】【分析】本题考查抽象函数的应用，函数的单调性.
（1）若选①：取值，作差，变形化简可得：，即以，根据函数单调性的定义可证明结论．若选②：取值，作差，变形可得：，又因为，所以>，根据函数单调性的定义可证明结论．．
（2）选择①：采用赋值法令，先求出的值，原不等式可转化为，根据函数的单调性可列出不等式，解不等式可求出解集；选择②：由可得可求出的值，原不等式可转化为，根据函数的单调性可列出不等式，解不等式可求出解集.
19．【答案】（1）
，
所以的最小正周期.
令，，
解得，.
所以图象的对称轴方程为，.
（2）由（1）知，
当时，.
可得，，
所以，
所以的最小值和最大值之和为，
解得.
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】本题考查正弦函数的图象和性质.
（1）利用辅助角公式和降幂升角公式化简可得：，根据正弦函数的周期计算公式，代入数据可求出周期；根据正弦函数的的对称轴计算公式可得：，解方程可求出对称轴方程；
（2）由变形可得：，根据正弦函数的图象可得，进而得出，所以，列出方程即可求解.
20．【答案】（1）当时，
.
令，，则.，，
当时，，此时，没有最小值.
（2），
令，，则.
由，得，
即，，使成立，
只需，
因为在上单调递减，所以.，所以，
所以实数的取值范围为.
【知识点】函数的最大（小）值；函数恒成立问题
【解析】【分析】本题考查函数的最值，函数的恒成立问题.
（1）当时，化简可得：，采用换元法：令，则，利用二次函数的性质可求出函数在上的最小值；
（2）变形可得，采用换元法令，则，存在性问题，分离参数可得：，转化为求函数的最大值，利用函数在上的单调性，可求出，进一步可求出实数的取值范围.
21．【答案】（1）
（2）当时，，
（万元）.
当时
，
当且仅当，即时等号成立，
所以（万元）.
因为1570>1160，
所以当年产量为19万台时，该公司获得的利润最大为1570万元.
因此，该公司年利润不能达到2000万元.
【知识点】函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用；二次函数模型
【解析】【分析】 本题考查函数模型的应用，函数的最值，利用基本不等式求最值.
（1）根据利润 =销售收入-每台投入的成本- 固定研发成本可得：，代入数据可得；
（2）当时，，配方可得：，利用二次函数性质可求出时的最大值；当时，利用基本不等式求得最大值，比较两段函数的最大值可求出的最大值，从而可判断 该公司年利润是否能达到2000万元．
22．【答案】（1）等价于，
即，可得.
当时，，即；
当时，无解，即无解；
当时，解得.
综上，当时，的解集为；
当时，无解；
当时，的解集为.
（2）对于，恒有，
转化为对于，，
因为，
所以在上单调递减.
所以，即
即，解得所以实数a的取值范围是
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数恒成立问题
【解析】【分析】本题考查对数函数的单调性，函数的恒成立问题.
（1）由化简可得：.分三种情况进行讨论：当时；当时；当时.当时，将不等式转化为对数式：，解不等式可求求出解集；当时，不等式无解；当时，无意义，据此可写出解集.
（2）题目中的恒成立问题可转化为对于，，借助复合函数的单调性判断可得：在上单调递减.，根据函数的单调性可求出，根据，可列出不等式：，解不等式组可求出实数的取值范围 .
1 / 1贵州省毕节市金沙县2023-2024学年高一上学期期末质量监测数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2024高一上·金沙期末）已知集合，，则的真子集的个数为（ ）
A．8 B．7 C．4 D．3
【答案】B
【知识点】子集与真子集；并集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】解：，
，，
∴，它是真子集有7个．
故选：B．
【分析】本题考查补集的概念，集合交集运算.先解一元二次不等式可得：，进而得出，根据补集的概念可得，根据集合交集运算可得：，据此可求出答案.
2．（2024高一上·金沙期末）命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：根据全称命题与存在性命题的关系可得，
命题：“，”的否定是“，”.
故选：D.
【分析】本题考查全称量词和存在量词命题的否否.全称量词和存在量词命题的否否：先改量词，再否定结论，进而可得.
3．（2024高一上·金沙期末）设，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：由不等式，可得，解得，
又由不等式，即，可得，解得，
因为集合是集合的真子集，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：B.
【分析】本题考查指数函数与对数函数的单调性，充分条件和必要条件的判定.利用对数函数的单调性解不等式可得：；利用指数函数的单调性可解不等式可得；集合是集合的真子集，根据充分条件、必要条件的判定方法可求出答案.
4．（2024高一上·金沙期末）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：由函数可得函数的定义域为，
由可知函数为奇函数，
其图象关于坐标原点对称，故舍去B，D两项；
又由可得C项不合题意，故A项正确.
故选：A.
【分析】本题考查函数图象.先可求出函数的定义域为，再求，根据可判断函数为奇函数，选项B和D为偶函数，B和D排除.再求的函数值：，选项C不符合，故排除.通过排除法可求出答案.
5．（2024高一上·金沙期末）张遂（僧一行，公元年），中国唐代著名的天文学家.他发明了一种内插法近似计算原理，广泛应用于现代建设工程费用估算.近似计算公式如下：，其中为计费额的区间，，为对应于的收费基价，为该区间内的插入值，为对应于的收费基价.如下表所示.则的值估计为（ ）
计费额x（单位：万元） 500 700 1000
收费基价（单位：万元） 16.5 m 30.1
A．18.53 B．19.22 C．21.94 D．28.22
【答案】C
【知识点】“直线上升”模型
【解析】【解答】解：结合题意：，其中，
.
故选：C.
【分析】本题考查函数模型的应用.根据题意可得：，其中，将以上数据代入计算公式可得：，通过计算可求出答案.
6．（2024高一上·金沙期末）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二倍角的余弦公式；诱导公式
【解析】【解答】解：由，
因为，所以，
所以
.
故选：C.
【分析】本题考查二倍角的余弦公式，三角函数的诱导公式.观察式子可知：，应用三角函数的诱导公式可求出：的值.观察式子又可知：，应用三角函数的诱导公式化简可得：，再利用二倍角的余弦公式展开可，代入数据可求出答案.
7．（2024高一上·金沙期末）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：由对数函数性质知，即，同理，
又，即，
，
所以，即，综上，
故选：D．
【分析】本题考查利用对数函数的单调性比较大小.先将与0和1比较，由对数函数性质知，，.对和进行作差可得：，再基本不等式可证明，进而得出：，即，综上可求出答案．
8．（2024高一上·金沙期末）若函数若有4个不同实根，设4个不同实根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数与方程的综合运用
【解析】【解答】解：作出函数的图象，再作出直线，如图，
由图可得，，因此，
∴，
故选：D．
【分析】本题考查函数与方程的综合应用.先作出函数的图象，方程 根的个数可转化为：函数的图象和直线的交点个数，作出直线，根据二次函数的对称性结合图像可推出：，，将两式代入问题式子可求出答案.
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．（2024高一上·金沙期末）已知幂函数在上单调递减，若在上不单调，则实数的可能取值为（ ）
A． B．0 C．1 D．3
【答案】B,C
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由幂函数，可得，即，
解得或，
当时，可得在上单调递减，符合题意；
当时，可得在上单调递增，不符合题意；
又由函数在上不单调，则满足，
即，解得，
结合选项，可得选项BC符合题意.
故选：BC.
【分析】本题考查幂函数的定义，幂函数的性质.已知是幂函数，可得方程，解方程可求出的值，再将的值反代入可判断在上单调性，可求出的值.先求出函数的对称轴，根据函数在上不单调，可列出不等式，结合的值可求出b的取值范围，结合选项可得出答案.
10．（2024高一上·金沙期末）对于下列四种说法，其中正确的是（ ）
A．的最小值为4 B．的最小值为1
C．的最小值为4 D．最小值为
【答案】B,D
【知识点】基本不等式；对勾函数的图象与性质
【解析】【解答】解：对于A中，由，
当且仅当时，即，显然不成立，所以A错误；
对于B中，由，
当且仅当，即时，等号成立，所以B正确；
对于C中，由，令，
可得，则函数在为单调递减函数，
所以，所以C不正确；
对于D中，由，令，
可得，根据对勾函数的性质，可得在为单调递增函数，
所以，所以D正确.
故选：BD.
【分析】本题考查利用基本不等式求最值.利用基本不等式求最值的条件为：一正，二定，三相等.观察可知积为定值，可使用基本不等式求值，取等号条件可求出，不符合，故不能取到最小值；观察可知积为定值，可使用基本不等式求最值，取等号的条件可求出，符合题意，故能取到最小值；化简可得：可，采用换元法令，可得，利用对勾函数的单调性可求出的最小值；采用换元法令，可得，利用对勾函数的性质可取出的最小值.
11．（2024高一上·金沙期末）已知函数的定义域为，若关于对称，为奇函数，则（ ）
A．是奇函数
B．的图象关于点对称.
C．
D．若在上单调递减，则在上单调递增
【答案】A,B,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；奇偶性与单调性的综合；函数的周期性
【解析】【解答】解：A、因为为奇函数，所以，
因为关于对称，所以，
所以，则，
所以，的一个周期为8，
故，所以，
将代替为得，
即，为奇函数，A正确；
B、因为为奇函数，所以的一个对称中心为，
又的一个周期为8，故为的一个对称中心，B正确；
C、因为的一个对称中心为，
所以，
故，C错误；
D、因为在上单调递减，关于对称，
所以在上单调递增，
的一个周期为8，故在上单调递增，D正确.
故选：ABD
【分析】本题考查函数的对称性，函数的奇偶性，函数的周期性，函数的单调性.根据函数的对称性和奇偶性可推出的一个周期为8，，据此判断函数为奇函数；B选项，根据为奇函数可推出的一个对称中心为，再结合的周期，可推出为的一个对称中心；利用对称中心可推出，代入数据可判断C选项；已知在上单调递减，根据函数的对称性，再结合周期，可推出在上的单调性.
12．（2024高一上·金沙期末）将函数的图象沿轴向右平移个单位长度（纵坐标不变），得到的函数满足，则下列正确的选项为（ ）
A．的周期为
B．
C．在上单调递增
D．为的一个对称轴
【答案】A,C,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：
，
A、的周期是，A正确；
B、函数满足，则的图象关于点对称，
所以，，
又，∴，B错误；
C、，
时，，C正确；
D、时，，D正确．
故选：ACD．
【分析】本题考查正弦函数的图象和性质，三角函数的图象变换.利用辅助角公式，降幂升角公式化简可得：.根据平移变换可得求出.根据周期计算公式可求出的周期；根据，可推出的图象关于点对称，利用正弦函数的对称中心公式可求出的值，进而写出函数的解析式.由的范围，可变形出：，根据正弦函数的单调性可判断 在上的单调性 ；当时，可求出为最大值，故 为的一个对称轴 .
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（2024高一上·金沙期末）函数的图象恒过定点的坐标为 .
【答案】
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：令，得，，∴函数图象过定点．
故答案为：．
【分析】本题考查对数函数定点问题.对数函数的定点：对数的真数为1，可得：，解得为定点的横坐标，将横坐标代入函数解析式可求出定点的纵坐标，进而求出定点.
14．（2024高一上·金沙期末）已知角终边上一点坐标，则 .
【答案】
【知识点】二倍角的正切公式；任意角三角函数的定义；诱导公式
【解析】【解答】解：，
，
∴已知点坐标为，∴，
∴．
故答案为：．
【分析】本题考查三角函数的定义，三角函数的诱导公式，二倍角的正切公式.利用三角函数的诱导公式可求出点坐标为，根据三角函数的定义可求出的值：.由二倍角的正切公式进行展开，代入数据可求出答案.
15．（2024高一上·金沙期末）已知函数的定义域和值域都是，则 .
【答案】或
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：当时，易知函数单调递减，由定义域和值域都是，
所以解得所以.
当时，易知函数单调递增，由定义域和值域都是，
所以解得所以.
故答案为：或.
【分析】 本题考查对数函数的单调性.对底数分两种情况进行讨论：当时；当时.当时，根据对数函数的单调性分析函数的单调性，再根据定义域和值域都是，可列出方程组，解方程可求出和的值，进而求出答案；
16．（2024高一上·金沙期末）已知函数，若，则的最大值为 .
【答案】
【知识点】奇偶函数图象的对称性；基本不等式
【解析】【解答】解：，则，∴，
∴，
即，，又，
所以，即，当且仅当时等号成立，
故答案为：．
【分析】本题考查的对称性，利用基本不等式求最值.根据的解析式，求出，据此推出：，所以，结合题意可列出方程，解得：，和为定值，利用基本不等式可求出最大值，进而得到本题的答案.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2024高一上·金沙期末）已知二次函数满足，且，.
（1）求函数的解析式；
（2）若，比较与的大小.
【答案】（1）设二次函数.
由，得图象的对称轴为，
所以，解得.
由得，，
可得.
由得，，解得.
所以.
（2）
，
当或时，，此时.
当时，，此时.
当或4时，，此时.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；利用不等式的性质比较大小
【解析】【分析】本题考查待定系数法求函数的解析式，作差法比较大小.
（1）先设出二次函数，已知，可推出图象的对称轴为，根据二次函数对称轴公式可求得：，又因 ，. 可求出，，进而得出本题的答案.
（2）作差可得：，化简可得：，分三种情况进行类讨论：当或时；当时；当或4时；确定的符号，可判断的符号，进而得出 与的大小 .
18．（2024高一上·金沙期末）对任意，函数满足 ▲ ，且当时，.
在以下两个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答此题.
①，.
②，.对，.
注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.
（1）证明：在上是增函数；
（2）求不等式的解集.
【答案】（1）若选①：证明：设，且.
则，所以.
.
所以，
所以，
所以在上是增函数．
若选②：证明：设x1，x2∈，且<，
则，所以.，
又，所以>，
所以函数在上是增函数．
（2）若选①：令，则，
解得，
所以可化为，
根据单调性得，，
解得，
所以不等式的解集为.
若选②：由得，
所以可化为，
根据单调性得，，
解得，
所以不等式的解集为.
【知识点】函数的单调性及单调区间；抽象函数及其应用
【解析】【分析】本题考查抽象函数的应用，函数的单调性.
（1）若选①：取值，作差，变形化简可得：，即以，根据函数单调性的定义可证明结论．若选②：取值，作差，变形可得：，又因为，所以>，根据函数单调性的定义可证明结论．．
（2）选择①：采用赋值法令，先求出的值，原不等式可转化为，根据函数的单调性可列出不等式，解不等式可求出解集；选择②：由可得可求出的值，原不等式可转化为，根据函数的单调性可列出不等式，解不等式可求出解集.
19．（2024高一上·金沙期末）已知函数.
（1）求的最小正周期和图象的对称轴方程；
（2）当时，的最小值和最大值之和为，求的值．
【答案】（1）
，
所以的最小正周期.
令，，
解得，.
所以图象的对称轴方程为，.
（2）由（1）知，
当时，.
可得，，
所以，
所以的最小值和最大值之和为，
解得.
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】本题考查正弦函数的图象和性质.
（1）利用辅助角公式和降幂升角公式化简可得：，根据正弦函数的周期计算公式，代入数据可求出周期；根据正弦函数的的对称轴计算公式可得：，解方程可求出对称轴方程；
（2）由变形可得：，根据正弦函数的图象可得，进而得出，所以，列出方程即可求解.
20．（2024高一上·金沙期末）已知函数.
（1）设，若，试判断是否有最小值，若有，求出最小值；若没有，说明理由；
（2）若，使成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）当时，
.
令，，则.，，
当时，，此时，没有最小值.
（2），
令，，则.
由，得，
即，，使成立，
只需，
因为在上单调递减，所以.，所以，
所以实数的取值范围为.
【知识点】函数的最大（小）值；函数恒成立问题
【解析】【分析】本题考查函数的最值，函数的恒成立问题.
（1）当时，化简可得：，采用换元法：令，则，利用二次函数的性质可求出函数在上的最小值；
（2）变形可得，采用换元法令，则，存在性问题，分离参数可得：，转化为求函数的最大值，利用函数在上的单调性，可求出，进一步可求出实数的取值范围.
21．（2024高一上·金沙期末）已知某种设备年固定研发成本为40万元，每生产一台需另投入60元.设某公司一年内生产该设备万台且全部售完，每万台的销售收入为（万元）.已知当年产量小于或等于10万台时，；当年产量超过10万台时，.
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式；
（2）试分析该公司年利润是否能达到2000万元？若能，求出年产量为多少；若不能，说明理由.（注：利润=销售收入-成本）
【答案】（1）
（2）当时，，
（万元）.
当时
，
当且仅当，即时等号成立，
所以（万元）.
因为1570>1160，
所以当年产量为19万台时，该公司获得的利润最大为1570万元.
因此，该公司年利润不能达到2000万元.
【知识点】函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用；二次函数模型
【解析】【分析】 本题考查函数模型的应用，函数的最值，利用基本不等式求最值.
（1）根据利润 =销售收入-每台投入的成本- 固定研发成本可得：，代入数据可得；
（2）当时，，配方可得：，利用二次函数性质可求出时的最大值；当时，利用基本不等式求得最大值，比较两段函数的最大值可求出的最大值，从而可判断 该公司年利润是否能达到2000万元．
22．（2024高一上·金沙期末）已知函数.
（1）解不等式；
（2）若对于，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）等价于，
即，可得.
当时，，即；
当时，无解，即无解；
当时，解得.
综上，当时，的解集为；
当时，无解；
当时，的解集为.
（2）对于，恒有，
转化为对于，，
因为，
所以在上单调递减.
所以，即
即，解得所以实数a的取值范围是
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数恒成立问题
【解析】【分析】本题考查对数函数的单调性，函数的恒成立问题.
（1）由化简可得：.分三种情况进行讨论：当时；当时；当时.当时，将不等式转化为对数式：，解不等式可求求出解集；当时，不等式无解；当时，无意义，据此可写出解集.
（2）题目中的恒成立问题可转化为对于，，借助复合函数的单调性判断可得：在上单调递减.，根据函数的单调性可求出，根据，可列出不等式：，解不等式组可求出实数的取值范围 .
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