江苏省如皋市2023-2024学年高二下学期教学质量调研（一）数学试卷（含答案)

2023—2024学年度高二年级第二学期教学质量调研（一）
数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．设为曲线：上的点，且曲线在点处切线倾斜角的取值范围是，则点横坐标的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．四等分切割如图所示的圆柱，再将其重新组合成一个新的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积是（ ）
A． B． C．10 D．20
3．第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生和4名教授从中选5人前往场馆开展志愿服务工作．若要求志愿者中既要有教授又要有大学生，则共有（ ）种分配方法．
A．120 B．124 C．125 D．126
4．若曲线在处的切线与曲线也相切，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
5．已知函数若函数有三个零点，则实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
6．设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．《九算算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑中，平面，，，，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为（ ）
A． B． C． D．
8．我们曾用组合模型发现了组合恒等式：，，这里所使用的方法，实际上是将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同得到等式，这是一种非常有用的思想方法，叫作“算两次”，对此我们并不陌生，如列方程时就要从不同的侧面列出表示同一个量的代数式，几何中常用的等积法也是“算两次”的典范．再如，我们还可以用这种方法，结合二项式定理得到很多排列和组合恒等式，如由等式可知，其左边的项的系数和右边的项的系数相等，得到如下恒等式为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
9．下列有关导数的运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．若，则下列说法正确的是（ ）
A．的展开式中奇数项的二项式系数之和为
B．
C．
D．的展开式中二项式系数最大项为
11．甲、乙、丙、丁、戊、已6人从左向右排成一排，则下列说法正确的是（ ）
A．若甲、乙相邻，则不同的排法有240种
B．若丙、丁相隔一个，则不同的排法数有96种
C．若甲不在排头，乙不在排尾，则不同的排法有504种
D．甲排在乙，丙左边的概率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．如果随机变量，且，则的值为_________．
13．若展开式中的常数项为60，则常数的值为_________．
14．不等式的解集为_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答过程写出文字说明、证明过程或者演算过程．
15．（本小题满分13分）
如图，是边长为2的正方形，，，，．
（1）求证：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
16．（本小题满分15分）
已知函数的定义域为，其中为自然对数底数
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围．
17．（本小题满分15分）
会员足够多的某知名咖啡店，男会员占60％，女会员占40％．现对会员进行服务质量满意度调查．根据调查结果得知，男会员对服务质量满意的概率为，女会员对服务质量满意的概率为．
（1）随机选取一名会员，求其对服务质量满意的概率；
（2）从会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务质量满意的人数为，求的分布列和数学期望．
18．（本小题满分17分）
已知函数的最大值为1．
（1）求实数的值；
（2）若函数有极值，求实数的取值范围．
19．（本小题满分17分）
现有两个静止且相互独立的粒子经过1号门进入区域一，运行一段时间后，再经过2号门进入区域二，继续运行。两粒子经过1号门后由静止等可能变为“旋转”运动状态或“不旋转”运动状态，并在区域一中保持此运动状态直到两粒子到2号门，经过2号门后，两粒子运动状态发生改变的概率为（运动状态发生改变即由区域一中的“旋转”运动状态变为区域二中的“不旋转”运动状态或区域一中的“不旋转”运动状态变为区域二中的“旋转”运动状态），并在区域二中一直保持此运动状态．
（1）求两个粒子经过1号门后为“旋转”运动状态的条件下，经过2号门后状态不变的概率；
（2）若经过2号门后“旋转”运动状态的粒子个数为2，求两个粒子经过1号门后均为“旋转”运动状态的概率；
（3）将一个“旋转”运动状态的粒子经过2号门后变为“不旋转”运动状态，则停止经过2号门，否则将一个“旋转”运动状态的粒子再经过2号门，直至其变为“不旋转”运动状态．设停止经过2号门时，粒子经过2号门的次数为（，2，3，4，…，）．求的数学期望（用表示）．
如皋市2023—2024学年度高二年级第二学期教学质量调研（一）
数学答案
一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
B A C B B D A A
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
BD ABD ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．0.2 13．4 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（1）连接
因为且，所以
因为，所以
因为四边形是正方形，所以
又因为，，、平面
所以平面
因为平面，所以
又因为，、平面，
所以平面
因为平面，所以
（2）以为原点，，，分别为轴轴轴，建立空间直角坐标系
由题意得，，，，，，
则，，，
经计算，平面法向量为，平面法向量为
则平面与平面的夹角余弦值为．
16．（1），
①当时，，则在上单调递增
②当时，令，则，
当即时，，则在上单调递增
当即时，当时，，
当时，，
则在上单调递减，在上单调递增。
综上，时，在上单调递增
时，在上单调递减，在上单调递增。
（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，，符合要求
当时，在上单调递减，在上单调递增
恒成立，即，即，与题意不符。
所以，
17．（1）记事件：会员为男会员，：会员为女会员
事件：对服务质量满意
则由题可知，，，，，
．
（2）可能的取值为0，1，2，3
，
，
0 1 2 3
赵
18．（1），
令，，
当时，，递增；当时，，递减。
，所以．
（2），
有极值，即在上有零点，
令，即在上有解
当时，，在上单调递增，无极值；
当时，在上有解
，所以
19．（1）记事件：两个粒子经过1号门后旋转，：两个粒子经过2号门后状态不变
则，，，所以
（2）记事件：两个粒子经过1号门后均旋转
则，
（3），
，
……
①
①－②，得
所以