甘肃省天水市第一中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题（含答案)
文档属性
| 名称 | 甘肃省天水市第一中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题（含答案) |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 981.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-10 06:58:22 | ||
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文档简介
天水一中高一级2023－2024学年度第二学期第一次段中检测
数学试题
（满分：150分，时间：120分钟）
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1．若向到，，，则（ ）
A．－1 B．2 C．1 D．0
2．已知，是夹角为的单位向量，则（ ）
A． B． C． D．
3．某工厂生产，，三种不同型号的产品，它们的产量之比为2:3:5，用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本．若样本中型号的产品有30件，则样本容量为（ ）
A．150 B．180 C．200 D．250
4．在中，为边上的中线，，则（ ）
A． B． C． D．
5．在某学校的期中考试中，高一、高二、高三年级的参考人数分别为600，800，600．现用分层抽样的方法从三个年级中抽取样本，经计算得高一、高二、高三年级数学成绩的样本平均数分别为93，81，99，则全校学生数学成绩的总样本平均数为（ ）
A．92 B．91 C．90 D．89
6．给出下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则．其中正确的说法有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知数据，，，，的平均数为，方差为，数据，，，的方差为，则（ ）
A． B．
C． D．与的大小关系无法判断
8．如图，的外接圆圆心为，，，则（ ）
A． B． C．3 D．2
二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分）
9．如图为2022年全国居民消费价格月度涨跌幅情况，则（ ）
A．环比涨跌幅的极差小于同比涨跌幅的极差
B．环比涨跌幅的平均数为0.1%
C．环比涨跌幅的方差小于同比涨跌幅的方差
D．同比涨跌幅的第三四分位数为1.55%
10．已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．若向量与向量共线，则
C．与共线的单位的量的坐标为 D．在方向上的投影向量为
11．在中，，，，是的外接圆的圆心，是角的平分线和边的交点那么（ ）
A． B．
C．的外接圆的面积为 D．
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知两个单位向量，满足，则，的夹角为______．
13．在中，，，则______．
14．如图，已知直线，是，之间的一个定点，点到，的距离分别为1，2，是直线上一个动点，过点作，交直线于点平面内动点满足，则面积的最小值是______．
四、解答题（共5小题，共77分）
15．（13分）平面内给定三个向量，，．
（1）求满足的实数和；
（2）若，求实数．
16．（15分）已知，，分别为三个内角，，的对边，．
（1）若，，求；
（2）若的面积为，，求．
17．（15分）某科研课题组通过一款手机APP软件，调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量（简称“周跑量”），得到如下的频数分布表：
周跑量/千米
人数 100 120 130 180 220 150 60 30 10
（1）补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图；
（2）根据图表数据，试求样本数据的中位数（精确到0.1）；
（3）根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成三类，不同类别的跑者购买的装备的价格不一样，如下表：
周跑量/千米
类别 休闲跑者 核心跑者 精英跑者
装备价格/元 2500 4000 4500
根据以上数据，估计该市跑步爱好者购买装备的平均价格．
18．（17分）已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，且．
（1）求角；
（2）若，，求的面积．
19．（17分）如图，已知点是边长为1的正三角形的中心，线段经过点，并绕点转动，分别交边，于点，，设，，其中，．
（1）求的值；
（2）求面积的最小值，并指出相应的，的值．
数学
一、单选题
1－4 DDAA 5－8 CACA 9．AC 10．ABD
11．ABD
7．【详解】由题设，，即，
，，即有．
8．【详解】因的外接圆圆心为，，，由圆的性质得有，，同理，所以．故选：A
11．【详解】对A，由题意，，A正确；
对B，在中，由余弦定理可得，结合A可知，在中，由余弦定理可得，B正确；
对C，由正弦定理可知，的外接圆直径，则其外接圆面积为，C错误；
对D，设，因为点为的外心，结合平面向量数量积的定义可知，
，则，因为，所以，故D正确．
三、填空题
12． 13．2 14．
14．【详解】由，得．取的中点，的中点，有，设，，由于，，而，则，由，，得，，则，当且仅当，即时取等号，此时的面积的最小值为．
四、解答题
15．（1）， （2）
【详解】（1）解：因为，，，
所以，又
则有，解得，故，．
（2）解：根据题意，，，
因为，所以，解得，故．
16．（1）2 （2）
【详解】（1）因为，所以，由正弦定理，可得．
（2）因为的面积为，所以，
因为，，所以，解得．
由余弦定理可得，即．
17．（1）直方图见解析 （2）29.2 （3）3720元
【详解】（1）由第二组的频数得频率为，从而第二组矩形的高为，
由第四组的频数得频率为，从而第二组矩形的高为，
补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图，如下：
（2）由，，
可知中位数位于区间内，设中位数为，则由，
解得；即样本数据的中位数约为29.2；
（3）依题意可知，被调查的1000人中，休闲跑者共有（人），
核心跑者共有（人），精英跑者共有（人），
这1000名跑步爱好者购买装备的平均价格为（元），
所以估计该市跑步爱好者购买装备的平均价格为3720元．
18．（1）． （2）
【详解】（1）因为向量，且，所以，
由正弦定理可知：，
又，所以，所以，则，又，所以；
（2）因为，，，由余弦定理可得，可得，解得或（舍），所以的面积为．
19．（1） （2）时，取得最小值．
数学试题
（满分：150分，时间：120分钟）
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1．若向到，，，则（ ）
A．－1 B．2 C．1 D．0
2．已知，是夹角为的单位向量，则（ ）
A． B． C． D．
3．某工厂生产，，三种不同型号的产品，它们的产量之比为2:3:5，用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本．若样本中型号的产品有30件，则样本容量为（ ）
A．150 B．180 C．200 D．250
4．在中，为边上的中线，，则（ ）
A． B． C． D．
5．在某学校的期中考试中，高一、高二、高三年级的参考人数分别为600，800，600．现用分层抽样的方法从三个年级中抽取样本，经计算得高一、高二、高三年级数学成绩的样本平均数分别为93，81，99，则全校学生数学成绩的总样本平均数为（ ）
A．92 B．91 C．90 D．89
6．给出下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则．其中正确的说法有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知数据，，，，的平均数为，方差为，数据，，，的方差为，则（ ）
A． B．
C． D．与的大小关系无法判断
8．如图，的外接圆圆心为，，，则（ ）
A． B． C．3 D．2
二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分）
9．如图为2022年全国居民消费价格月度涨跌幅情况，则（ ）
A．环比涨跌幅的极差小于同比涨跌幅的极差
B．环比涨跌幅的平均数为0.1%
C．环比涨跌幅的方差小于同比涨跌幅的方差
D．同比涨跌幅的第三四分位数为1.55%
10．已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．若向量与向量共线，则
C．与共线的单位的量的坐标为 D．在方向上的投影向量为
11．在中，，，，是的外接圆的圆心，是角的平分线和边的交点那么（ ）
A． B．
C．的外接圆的面积为 D．
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知两个单位向量，满足，则，的夹角为______．
13．在中，，，则______．
14．如图，已知直线，是，之间的一个定点，点到，的距离分别为1，2，是直线上一个动点，过点作，交直线于点平面内动点满足，则面积的最小值是______．
四、解答题（共5小题，共77分）
15．（13分）平面内给定三个向量，，．
（1）求满足的实数和；
（2）若，求实数．
16．（15分）已知，，分别为三个内角，，的对边，．
（1）若，，求；
（2）若的面积为，，求．
17．（15分）某科研课题组通过一款手机APP软件，调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量（简称“周跑量”），得到如下的频数分布表：
周跑量/千米
人数 100 120 130 180 220 150 60 30 10
（1）补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图；
（2）根据图表数据，试求样本数据的中位数（精确到0.1）；
（3）根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成三类，不同类别的跑者购买的装备的价格不一样，如下表：
周跑量/千米
类别 休闲跑者 核心跑者 精英跑者
装备价格/元 2500 4000 4500
根据以上数据，估计该市跑步爱好者购买装备的平均价格．
18．（17分）已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，且．
（1）求角；
（2）若，，求的面积．
19．（17分）如图，已知点是边长为1的正三角形的中心，线段经过点，并绕点转动，分别交边，于点，，设，，其中，．
（1）求的值；
（2）求面积的最小值，并指出相应的，的值．
数学
一、单选题
1－4 DDAA 5－8 CACA 9．AC 10．ABD
11．ABD
7．【详解】由题设，，即，
，，即有．
8．【详解】因的外接圆圆心为，，，由圆的性质得有，，同理，所以．故选：A
11．【详解】对A，由题意，，A正确；
对B，在中，由余弦定理可得，结合A可知，在中，由余弦定理可得，B正确；
对C，由正弦定理可知，的外接圆直径，则其外接圆面积为，C错误；
对D，设，因为点为的外心，结合平面向量数量积的定义可知，
，则，因为，所以，故D正确．
三、填空题
12． 13．2 14．
14．【详解】由，得．取的中点，的中点，有，设，，由于，，而，则，由，，得，，则，当且仅当，即时取等号，此时的面积的最小值为．
四、解答题
15．（1）， （2）
【详解】（1）解：因为，，，
所以，又
则有，解得，故，．
（2）解：根据题意，，，
因为，所以，解得，故．
16．（1）2 （2）
【详解】（1）因为，所以，由正弦定理，可得．
（2）因为的面积为，所以，
因为，，所以，解得．
由余弦定理可得，即．
17．（1）直方图见解析 （2）29.2 （3）3720元
【详解】（1）由第二组的频数得频率为，从而第二组矩形的高为，
由第四组的频数得频率为，从而第二组矩形的高为，
补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图，如下：
（2）由，，
可知中位数位于区间内，设中位数为，则由，
解得；即样本数据的中位数约为29.2；
（3）依题意可知，被调查的1000人中，休闲跑者共有（人），
核心跑者共有（人），精英跑者共有（人），
这1000名跑步爱好者购买装备的平均价格为（元），
所以估计该市跑步爱好者购买装备的平均价格为3720元．
18．（1）． （2）
【详解】（1）因为向量，且，所以，
由正弦定理可知：，
又，所以，所以，则，又，所以；
（2）因为，，，由余弦定理可得，可得，解得或（舍），所以的面积为．
19．（1） （2）时，取得最小值．
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