22.3相似三角形的性质课时练习题
参考答案
一、精心选一选
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
A
B
B
D
C
B
B
D
1﹒若两个相似多边形的面积之比为1：3，则它们的周长之比为（ ）
A.1:3 B.3:1 C.:3 D. :1
解答：根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比，得它们的周长之比＝＝，
故选：C.
2﹒在△ABC中，D、E为边AB、AC的中点，已知△ADE的面积为4，那么△ABC的面积是（ ）21教育名师原创作品
A.8 B.12 C.16 D.20
解答：如图，∵D、E为边AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝()2＝()2＝，
∴S△ABC＝16，
故选：C.
3﹒如果一个三角形保持形状不变，但面积扩大为原来的4倍，那么这个三角形的边长扩大为原来的（ ）21*cnjy*com
A.2倍 B.4倍 C.8倍 D.16倍
解答：由题意知：这两个三角形的面积之比等于4:1，则它们的相似比为2：1，因此边长扩大到原来的2倍，
故选：A.
4﹒如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是（ ）
A.AB2＝BCBD B.AB2＝ACBD C.ACBD＝ABAD D.ABAC＝ADBC
解答：∵△ABC∽△DBA，
∴＝＝，
∴AB2＝BCBD，ACBD＝ABAD，ABAC＝ADBC，
故选：B.
5﹒如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD相交于点O，设△OCD的面积为m，△OEB的面积为，则下列结论中正确的是（ ）
A.m＝5 B.m＝4 C.m＝3 D.m＝10
解答：∵AB∥CD，
∴△OCD∽△OEB，
又∵E是AB的中点，
∴2EB＝AB＝CD，
∴＝()2，即＝()2，
解得：m＝4，
故选：B.
6﹒如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（ ）21cnjy.com
A. B. C. D.
解答：∵S△BDE：S△CDE＝1：3，
∴BE：EC＝1：3，
∴BE：BC＝1：4，
∵DE∥AC，∴△DOE∽△AOC，
∴＝＝，
∴S△DOE：S△AOC＝()2＝，
故选：D.
7﹒如图，在等边△ABC中，点D为边BC上一点，点E为边AC上一点，且∠ADE＝60°，BD＝4，CE＝，则△ABC的面积为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A.8 B.15 C.9 D.12
解答：∵△ABC是等边三角形，∠ADE＝60°，
∴∠B＝∠C＝∠ADE＝60°，AB＝AC，
∵∠ADB＝∠DAC+∠C，∠DEC＝∠ADE+∠DAC，
∴∠ADB＝∠DEC，
∴△ADB∽△DCE，∴＝，
设AB＝x，则DC＝x－4，
∴＝，解得：x＝6，即AB＝6，
过点A作AF⊥BC于F，则BF＝AB＝3，
在Rt△ABF中，AF＝＝3，
∴S△ABC＝BCAF＝×6×3＝9，
故选：C.
8﹒如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB＝1：2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC和BC上，则CE：CF＝（ ）
A. B. C. D.21·cn·jy·com
解答：设AD＝k，则DB＝2k，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC＝3k，∠A＝∠B＝∠C＝∠EDF＝60°，
∴∠EDA+∠FDB＝120°，
又∠FDB+∠AED＝120°，
∴∠FDB＝∠AED，∴△AED∽△BDF，
∴＝＝，
设CE＝x，则ED＝x，AE＝3k－x，
设CF＝y，则DF＝y，FB＝3k－y，
∴＝＝，∴，
∴＝，∴CE：CF＝4：5，
故选：B.
9﹒如图，小明晚上由路灯A下的点B处走到点C处时，测得自身影子CD的长为1米，他继续往前走3米到达E处（即CE＝3米），测得自己影子EF的长为2米，已知小明的身高为1.5米，那么路灯A的高度AB是（ ） 21*cnjy*com
A.4.5米 B.6米 C.7.2米 D.8米
解答：由题意知：MC∥AB，∴△DCM∽△DAB，
∴＝，即＝，
∵NE∥AB，∴△FNE∽△FAB，
∴＝，即＝，
∴＝，解得：BC＝3，
∴＝，解得：AB＝6，
即路灯A的高度AB为6米，
故选：B.
10.如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，给出下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S△ABF：S四边形CDEF＝2：5，其中正确的结论有（ ）【出处：21教育名师】
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解答：过D作DM∥BE交AC于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，
∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，∴＝，
∵AE＝AD＝BC，
∴＝，∴CF＝2AF，故②正确，
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM＝DE＝BC，∴BM＝CM，
∴CN＝NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，∴DF＝DC，故③正确；
∵△AEF∽△CBF，
∴＝＝，
∴S△AEF＝S△ABF，S△ABF＝S矩形ABCD，
∴S△AEF＝S矩形ABCD，
又∵S四边形CDEF＝S△ACD﹣S△AEF＝S矩形ABCD﹣S矩形ABCD＝S矩形ABCD，
∴S△ABF：S四边形CDEF＝2：5，故④正确；
故选：D．
二、细心填一填
11. 2：3； 12. 4：9； 13. ：1；
14. ； 15. 或； 16. y＝2x；
11.已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2：3，则△ABC与△DEF对应边上的中线的比为___________.21世纪教育网版权所有
解答：∵△ABC与△DEF的相似比为2：3，
∴△ABC与△DEF对应边上的中线的比为2：3，
故答案为：2：3.
12.若两个相似三角形的周长之比为2：3，则它们的面积之比是___________.
解答：∵这两个相似三角形的周长之比为2：3，
∴它们的相似比为2：3，
∴它们的面积之比为4：9，
故答案为：4：9.
13.如图，△ABC和△A1B1C1均在4×4的正方形网格图（每个小正方形的边长都为1）中，△ABC与△A1B1C1的顶点都在网格线的交点处，如果△ABC∽△A1B1C1，那么△ABC与△A1B1C1的相似比是_____.www-2-1-cnjy-com
解答：由图可知：AC与A1C1是对应边，A1C1＝1，
再由勾股定理得：AC＝＝，
∴AC：A1C1＝：1，
即△ABC与△A1B1C1的相似比是：1，
故答案为：：1.
14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC沿BD折叠，点C恰好落在AB上的点 处，折痕为BD，再将其沿DE折叠，使点A落在D的延长线上的处.若△BED∽△ABC，则△BED与△ABC的相似比是__________.2-1-c-n-j-y
解答：∵△BED∽△ABC，
∴∠DBA＝∠A，又∠DBA＝∠DBC，
∴∠A＝∠DBA＝∠DBC＝30°，
设BC为x，则AC＝x，BD＝x，
＝，即△BED与△ABC的相似比是，
故答案为：．
15.如图，在一块直角三角板ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，将另一个含30°角的△EDF的30°角的顶点D放在AB边上，E、F分别在AC、BC上，当点D在AB边上移动时，DE始终与AB垂直，若△CEF与△DEF相似，则AD＝____________.
解答：∵∠EDF＝30°，ED⊥AB于D，
∴∠FDB＝∠B＝60°，
∴△BDF是等边三角形；
∵BC＝1，∴AB＝2；
∵BD＝BF，
∴2－AD＝1－CF；
∴AD＝CF+1．
①若∠FED＝90°，△CEF∽△EDF，
则＝，即＝，
解得，CF＝；
∴AD＝+1＝；
②若∠EFD＝90°，△CEF∽△FED，
则＝，即＝；
解得，CF＝；
∴AD＝+1＝．
故答案为：或．
16.如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD.若△OCD∽△ACO，则直线OA的解析式为____________.【版权所有：21教育】
解答：设OC＝a，
∵点D在y＝上，∴CD＝，
∵△OCD∽△ACO，
∴＝，∴AC＝＝，
∴点A（a，），
∵点B是OA的中点，∴点B的坐标为（，），
∵点B在反比例函数图象上，∴k＝×，
∴a4＝4k2，解得，a2＝2k，
∴点B的坐标为（，a），
设直线OA的解析式为y＝mx，则m×＝a，
解得m＝2，
所以，直线OA的解析式为y＝2x．
故答案为：y＝2x．
三、解答题
17.已知：如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O， E是BO的中点，连接AE并延长交BC于点F，求△BEF与△DEA的周长之比.21·世纪*教育网
解答：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO＝BD，
∵E是BO的中点，
∴BE＝EO＝BO＝BD，
∴ED＝EO+DO＝BD+BD＝BD，
∴BE：ED＝BD：BD＝1：3，
∵BF∥AD，
∴△BEF∽△DEA，
∴△BEF的周长：△DEA的周长＝BE：ED＝1：3.
18.已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O.若＝，S△BOC＝m，试求△AOD的面积.2·1·c·n·j·y
解答：过点D作DE⊥AC于E，
则＝＝，
∴＝，
又∵AO+OC＝AC，
∴＝，
∵AD∥BC，
∴＝()2＝，即＝，
∴S△AOD＝.
19.如图，在△ABC中，点P是BC边上任意一点（点P与点B，C不重合），平行四边形AFPE的顶点F，E分别在AB，AC上．已知BC＝2，S△ABC＝1．设BP＝x，平行四边形AFPE的面积为y．【来源：21cnj*y.co*m】
（1）求y与x的函数关系式；
（2）上述函数有最大值或最小值吗？若有，则当x取何值时，y有这样的值，并求出该值；若没有，请说明理由．
解答：（1）∵四边形AFPE是平行四边形，
∴PF∥CA，∴△BFP∽△BAC，
∴＝()2，
∵S△ABC＝1，∴S△BFP＝，
同理：S△PEC＝()2＝，
∴y＝1－－，
∴y＝－x2+x；
（2）上述函数有最大值，最大值为 ；理由如下：
∵y＝－x2+x ＝－(x﹣1)2+，又－＜0，
∴y有最大值，
∴当x＝1时，y有最大值，最大值为．
20.已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，E为直角边AC的中点，过D，E作直线交AB的延长线于F.求证：＝.21教育网
解答：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠BAC＝∠ADB＝90°，
又∵∠ABC＝∠ABD，
∴△CBA∽△ABD，
∴∠C＝∠FAD，＝，∴＝，
又∵E为AC的中点，AD⊥BC，
∴ED＝EC＝AC，
∴∠C＝∠EDC，
又∵∠EDC＝∠FDB，
∴∠FAD＝∠FDB，
∵∠F＝∠F，∴△DBF∽△ADF，
∴＝，
∴＝.
21.已知，如图，在△ABC中，P是边AB上一点，AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为D、E，AC＝3，BC＝3，BE＝5，DC＝.求证：
（1）Rt△ACD∽Rt△CBE；
（2）AC⊥BC.
解答：（1）∵AD⊥CP，BE⊥CP，
∴∠E＝∠ADC＝90°，
∵AC＝3，BC＝3，BE＝5，DC＝，
∴＝＝,
∴Rt△ACD∽Rt△CBE；
（2）∵Rt△ACD∽Rt△CBE，
∴∠ACD＝∠CBE，
∵∠CBE+∠ECB＝90°，
∴∠ACD+∠ECB＝90°，即∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC.
22.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F是AD上的点，且AE＝EF＝FD．连接BE、BF，使它们分别与AO相交于点G、H．
（1）求EG：BG的值；
（2）求证：AG＝OG；
（3）设AG＝a，GH＝b，HO＝c，求a：b：c的值．
解答：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝AC，AD＝BC，AD∥BC，
∴△AEG∽△CBG，∴＝＝，
∵AE＝EF＝FD，∴BC＝AD＝3AE，
∴GC＝3AG，GB＝3EG，
∴EG：BG＝1：3；
（2）∵GC＝3AG，
∴AC＝4AG，∴AO＝AC＝2AG，
∴GO＝AO﹣AG＝AG；
（3）∵AE＝EF＝FD，∴BC＝AD＝3AE，AF＝2AE．
∵AD∥BC，∴△AFH∽△CBH，
∴＝＝＝，
∴＝，即AH＝AC．
∵AC＝4AG，
∴a＝AG＝AC，b＝AH－AG＝AC－AC＝AC，
c＝AO－AH＝AC－AC＝AC，
∴a：b：c＝：：＝5：3：2．
23.如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接GA、GB、GC、GD、EF，若∠AGD＝∠BGC.
图1 图2www.21-cn-jy.com
（1）求证：AD＝BC；
（2）求证：△AGD∽△EGF；
（3）如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求的值.
解答：（1）证明：GE是AB的垂直平分线，
∴GA＝GB，同理GD＝GC，
在△AGD和△BGC中，∵GA＝GB，∠AGD＝∠BGC，GD＝GC，
∴△AGD ≌△BGC，
∴AD＝BC.
（2）证明：∵∠AGD＝∠BGC，
∴∠AGB＝∠DGC，
在△AGB和△DGC中， ，∠AGB＝∠DGC.，
∴△AGB∽△DGC，
∴ ，
又∠AGE＝∠DGF，
∴∠AGD＝∠EGF，
∴△AGD∽△EGF.
（3）解：如图①，延长AD交GB于点M，交BC的延长线于点H，则AH⊥BH，
由△AGD≌△BGC，知∠GAD＝∠GBC，
在△GAM和△HBM中，∠GAD＝∠GBC，∠GMA＝∠HMB，
∴∠AGB＝∠AHB＝90o，
∴∠AGE＝∠AGB＝45o，
∴ ＝，
又△AGD∽△EGF，
∴ .
2015～2016学年度九年级上学期数学课时练习题
22.3 相似三角形的性质
一、精心选一选
1﹒若两个相似多边形的面积之比为1：3，则它们的周长之比为（ ）
A.1:3 B.3:1 C.:3 D. :1
2﹒在△ABC中，D、E为边AB、AC的中点，已知△ADE的面积为4，那么△ABC的面积是（ ）21·世纪*教育网
A.8 B.12 C.16 D.20
3﹒如果一个三角形保持形状不变，但面积扩大为原来的4倍，那么这个三角形的边长扩大为原来的（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A.2倍 B.4倍 C.8倍 D.16倍
4﹒如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是（ ）
A.AB2＝BCBD B.AB2＝ACBD
C.ACBD＝ABAD D.ABAC＝ADBC
第4题图 第5题图 第6题图 第7题图
5﹒如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD相交于点O，设△OCD的面积为m，△OEB的面积为，则下列结论中正确的是（ ） 21*cnjy*com
A.m＝5 B.m＝4 C.m＝3 D.m＝10
6﹒如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（ ）21·cn·jy·com
A. B. C. D.
7﹒如图，在等边△ABC中，点D为边BC上一点，点E为边AC上一点，且∠ADE＝60°，BD＝4，CE＝，则△ABC的面积为（ ）【出处：21教育名师】
A.8 B.15 C.9 D.12
8﹒如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB＝1：2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC和BC上，则CE：CF＝（ ）
A. B. C. D.
第8题图 第9题图 第10题图
9﹒如图，小明晚上由路灯A下的点B处走到点C处时，测得自身影子CD的长为1米，他继续往前走3米到达E处（即CE＝3米），测得自己影子EF的长为2米，已知小明的身高为1.5米，那么路灯A的高度AB是（ ）【版权所有：21教育】
A.4.5米 B.6米 C.7.2米 D.8米
10.如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，给出下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S△ABF：S四边形CDEF＝2：5，其中正确的结论有（ ）21教育名师原创作品
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、细心填一填
11.已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2：3，则△ABC与△DEF对应边上的中线的比为___________.21*cnjy*com
12.若两个相似三角形的周长之比为2：3，则它们的面积之比是___________.
13.如图，△ABC和△A1B1C1均在4×4的正方形网格图（每个小正方形的边长都为1）中，△ABC与△A1B1C1的顶点都在网格线的交点处，如果△ABC∽△A1B1C1，那么△ABC与△A1B1C1的相似比是_____.
14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC沿BD折叠，点C恰好落在AB上的点 处，折痕为BD，再将其沿DE折叠，使点A落在D的延长线上的处.若△BED∽△ABC，则△BED与△ABC的相似比是__________.
15.如图，在一块直角三角板ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，将另一个含30°角的△EDF的30°角的顶点D放在AB边上，E、F分别在AC、BC上，当点D在AB边上移动时，DE始终与AB垂直，若△CEF与△DEF相似，则AD＝____________.
16.如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数
y＝（k≠0）在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD.若△OCD∽△ACO，则直线OA的解析式为____________.21世纪教育网版权所有
三、解答题
17.已知：如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，E是BO的中点，连接AE并延长交BC于点F，求△BEF与△DEA的周长之比.21cnjy.com
18.已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O.若＝，S△BOC＝m.试求△AOD的面积.2-1-c-n-j-y
19.如图，在△ABC中，点P是BC边上任意一点（点P与点B，C不重合），平行四边形AFPE的顶点F，E分别在AB，AC上．已知BC＝2，S△ABC＝1．设BP＝x，平行四边形AFPE的面积为y．21教育网
（1）求y与x的函数关系式；
（2）上述函数有最大值或最小值吗？若有，则当x取何值时，y有这样的值，并求出该值；若没有，请说明理由．www.21-cn-jy.com
20.已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，E为直角边AC的中点，过D，E作直线交AB的延长线于F.求证：＝.2·1·c·n·j·y
21.已知，如图，在△ABC中，P是边AB上一点，AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为D、E，AC＝3，BC＝3，BE＝5，DC＝.求证：www-2-1-cnjy-com
（1）Rt△ACD∽Rt△CBE；
（2）AC⊥BC.
22.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F是AD上的点，且AE＝EF＝FD．连接BE、BF，使它们分别与AO相交于点G、H．
（1）求EG：BG的值；
（2）求证：AG＝OG；
（3）设AG＝a，GH＝b，HO＝c，求a：b：c的值．
23.如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接GA、GB、GC、GD、EF，若∠AGD＝∠BGC.
图1 图2【来源：21·世纪·教育·网】
（1）求证：AD＝BC；
（2）求证：△AGD∽△EGF；
（3）如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求的值.
